北京市2023届各地区高考一模数学分类汇编-03解答题（提升题）1

北京市2023年各地区高考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编（12套）-03解答题（提升题）1目录TOC\o"1-1"\h\u一．三角函数的最值（共1小题） 1二．利用导数研究函数的最值（共1小题） 1三．直线与平面所成的角（共1小题） 1四．二面角的平面角及求法（共2小题） 2五．直线与椭圆的综合（共4小题） 3六．离散型随机变量的期望与方差（共5小题） 4一．三角函数的最值（共1小题） 7二．利用导数研究函数的最值（共1小题） 8三．直线与平面所成的角（共1小题） 9四．二面角的平面角及求法（共2小题） 10五．直线与椭圆的综合（共4小题） 14六．离散型随机变量的期望与方差（共5小题） 19一．三角函数的最值（共1小题）1．（2023•朝阳区一模）设函数f（x）＝Asinωxcosωx+cos2ωx（A＞0，ω＞0），从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得f（x）存在．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值．条件①：f（x）＝f（﹣x）；条件②：f（x）的最大值为；条件③：f（x）的图象的相邻两条对称轴之间的距离为．注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组条件分别解答，按第一组解答计分．二．利用导数研究函数的最值（共1小题）2．（2023•门头沟区一模）已知f（x）＝﹣ln（x+1）+ax（a∈R）．（Ⅰ）当a＝2时，求函数f（x）在（0，0）处的切线方程；（Ⅱ）求证：+x≥ln（x+1）；（Ⅲ）若f（x）≥0在x∈[0，+∞）恒成立，求a的取值范围．三．直线与平面所成的角（共1小题）3．（2023•通州区一模）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC为等边三角形，四边形BCC1B1是边长为2的正方形，，D1为B1C1的中点，D为棱BC上一点，BD1∥平面ADC1．（1）求证：D为BC中点；（2）求直线BC与平面ADC1所成角的正弦值．四．二面角的平面角及求法（共2小题）4．（2023•延庆区一模）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是梯形，AD∥BC，AD⊥面PAB，△PAB是等腰三角形，PA＝PB，AB＝BC＝2AD＝2，E是AB的中点．（Ⅰ）求证：PE⊥CD；（Ⅱ）设PA与CD所成的角为θ1，直线PD与平面ABCD所成的角为θ2，二面角P﹣BC﹣A为θ3，从以下所给的三个条件中选出其中一个作为已知条件，求四棱锥P﹣ABCD的体积．①；②；③．5．（2023•门头沟区一模）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝2，O为AC的中点．（Ⅰ）证明：PB⊥AC；（Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角B﹣PC﹣A的余弦值及点A到平面BPC的距离．①AC＝2；②PO⊥BC．五．直线与椭圆的综合（共4小题）6．（2023•延庆区一模）已知椭圆经过点C（0，1），离心率为，M与x轴交于两点A（a，0），B（﹣a，0），过点C的直线l与M交于另一点D，并与x轴交于点P，直线AC与直线BD交于点Q．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）设O为原点，当点P异于点B时，求证：为定值．7．（2023•海淀区一模）已知椭圆的左、右顶点分别为A1，A2，上、下顶点分别为B1，B2，|B1B2|＝2，四边形A1B1A2B2的周长为．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设斜率为k的直线l与x轴交于点P，与椭圆E交于不同的两点M，N，点M关于y轴的对称点为M’，直线M’N与y轴交于点Q，若△OPQ的面积为2，求k的值．8．（2023•门头沟区一模）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，长轴的左端点为A（﹣2，0）．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）过椭圆c的右焦点的任一直线l与椭圆C分别相交于M，N两点，且AM，AN与直线x＝4，分别相交于D，E两点，求证：以DE为直径的圆恒过x轴上定点，并求出定点．9．（2023•西城区一模）已知椭圆C：x2+2y2＝2，点A，B在椭圆C上，且OA⊥OB（O为原点）．设AB的中点为M，射线OM交椭圆C于点N．（Ⅰ）当直线AB与x轴垂直时，求直线AB的方程；（Ⅱ）求的取值范围．六．离散型随机变量的期望与方差（共5小题）10．（2023•通州区一模）某企业有7个分行业，2020年这7个分行业的营业收入及营业成本情况统计如下表：营业情况分行业营业收入单位（亿元）营业成本单位（亿元）分行业14138分行业2129分行业382分行业465分行业532分行业621分行业70.80.4（一般地，行业收益率＝．）（1）任选一个分行业，求行业收益率不低于50%的概率；（2）从7个分行业中任选3个，设选出的收益率高于50%的行业个数为X，求X的分布列及期望；（3）设7个分行业营业收入的方差为，营业成本的方差为，写出与的大小关系．（结论不要求证明）11．（2023•海淀区一模）网购生鲜蔬菜成为很多家庭日常消费的新选择．某小区物业对本小区三月份参与网购生鲜蔬菜的家庭的网购次数进行调查，从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取10户，分别记为A组和B组，这20户家庭三月份网购生鲜蔬菜的次数如图：假设用频率估计概率，且各户网购生鲜蔬菜的情况互不影响．（Ⅰ）从一单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中随机抽取1户，估计该户三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的概率；（Ⅱ）从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取1户，记这两户中三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数为X，估计X的数学期望E（X）；（Ⅲ）从A组和B组中分别随机抽取2户家庭，记ξ1为A组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数，ξ2为B组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数，比较方差D（ξ1）与D（ξ2）的大小．（结论不要求证明）12．（2023•东城区一模）甲、乙两名同学积极参与体育锻炼，对同一体育项目，在一段时间内甲进行了6次测试，乙进行了7次测试．每次测试满分均为100分，达到85分及以上为优秀．两位同学的测试成绩如表：次数同学第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次甲807882869593—乙76818085899694（1）从甲、乙两名同学共进行的13次测试中随机选取一次，求该次测试成绩超过90分的概率；（2）从甲同学进行的6次测试中随机选取4次，设X表示这4次测试成绩达到优秀的次数，求X的分布列及数学期望E（X）；（3）从乙同学进行的7次测试中随机选取3次，设Y表示这3次测试成绩达到优秀的次数，试判断数学期望E（Y）与（2）中E（X）的大小．（结论不要求证明）13．（2023•西城区一模）根据《国家学生体质健康标准》，高三男生和女生立定跳远单项等级如下（单位：cm）：立定跳远单项等级高三男生高三女生优秀260及以上194及以上良好245～259180～193及格205～244150～179不及格204及以下149及以下从某校高三男生和女生中各随机抽取12名同学，将其立定跳远测试成绩整理如下（精确到1cm）：男生：180205213220235245250258261270275280女生：148160162169172184195196196197208220假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立．（Ⅰ）分别估计该校高三男生和女生立定跳远单项的优秀率；（Ⅱ）从该校全体高三男生中随机抽取2人，全体高三女生中随机抽取1人，设X为这3人中立定跳远单项等级为优秀的人数，估计X的数学期望EX；（Ⅲ）从该校全体高三女生中随机抽取3人，设“这3人的立定跳远单项既有优秀，又有其它等级”为事件A，“这3人的立定跳远单项至多有1个是优秀”为事件B．判断A与B是否相互独立．（结论不要求证明）14．（2023•朝阳区一模）某地区组织所有高一学生参加了“科技的力量”主题知识竞答活动，根据答题得分情况评选出一二三等奖若干，为了解不同性别学生的获奖情况，从该地区随机抽取了500名参加活动的高一学生，获奖情况统计结果如下：假设所有学生的获奖情况相互独立．性别人数获奖人数一等奖二等奖三等奖男生200101515女生300252540​（Ⅰ）分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名，求抽到的2名学生都获一等奖的概率；（Ⅱ）用频率估计概率，从该地区高一男生中随机抽取1名，从该地区高一女生中随机抽取1名，以X表示这2名学生中获奖的人数，求X的分布列和数学期望E（X）；（Ⅲ）用频率估计概率，从该地区高一学生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为p0；从该地区高一男生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为p1；从该地区高一女生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为p2，试比较p0与的大小．（结论不要求证明）

北京市2023年各地区高考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编（12套）-03解答题（提升题）1参考答案与试题解析一．三角函数的最值（共1小题）1．（2023•朝阳区一模）设函数f（x）＝Asinωxcosωx+cos2ωx（A＞0，ω＞0），从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得f（x）存在．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值．条件①：f（x）＝f（﹣x）；条件②：f（x）的最大值为；条件③：f（x）的图象的相邻两条对称轴之间的距离为．注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组条件分别解答，按第一组解答计分．【答案】（1）选择条件②③，；（2）最大值为，最小值为0．【解答】解：（1）若选择条件①，因为，所以，由f（x）＝f（﹣x）可得Asin2ωx＝0对x∈R恒成立，与A＞0，ω＞0矛盾，所以选择条件②③，由题意可得f（﹣x）＝Asin（﹣ωx）cos（﹣ωx）+cos2（﹣ωx）＝﹣Asin2ωx+cos2ωx，设，由题意可得，其中，，因为f（x）的最大值为，所以，解得，所以，，由f（x）的图象的相邻两条对称轴之间的距离为可得，所以，解得ω＝1，所以．（2）由正弦函数的图象可得当时，，，所以f（x）在区间上的最大值为，最小值为0．二．利用导数研究函数的最值（共1小题）2．（2023•门头沟区一模）已知f（x）＝﹣ln（x+1）+ax（a∈R）．（Ⅰ）当a＝2时，求函数f（x）在（0，0）处的切线方程；（Ⅱ）求证：+x≥ln（x+1）；（Ⅲ）若f（x）≥0在x∈[0，+∞）恒成立，求a的取值范围．【答案】（Ⅰ）y＝x；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）a≥1．【解答】（Ⅰ）解：当a＝2时，f'（x）＝x﹣+2，∴f'（0）＝1，则f（x）在（0，0）处的切线方程为y＝x；（Ⅱ）证明：设g（x）＝x2+x﹣ln（x+1），∴g'（x）＝x+1﹣＝，x∈（﹣1，0）时，g'（x）＜0，g（x）在（﹣1，0）上单调递减，x∈（0，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）在（0，+∞）上单调递增，∴g（x）min＝g（0）＝0，所以g（x）≥g（0）＝0，则x2+x﹣ln（x+1）≥0，即+x≥ln（x+1）；（Ⅲ）解：当a≥1时，由（Ⅱ）得f（x）≥x2﹣（x2+x）+ax＝（a﹣1）x≥0，当a＜1时，f'（0）＝a﹣1＜0，设m（x）＝f'（x），m'（x）＝1+＞0，则f'（x）在[0，+∞）上单调递增，f'（x）＝＝0，得x1＝，则f'（x）在[0，x1）上，f'（x）＜0，f（x）在[0，x1）上单调递减，f（x）＜f（0）＝0，f（x）≥0在x∈[0，+∞）不恒成立，不合题意．综上，当a≥1时，f（x）≥0在x∈[0，+∞）恒成立．三．直线与平面所成的角（共1小题）3．（2023•通州区一模）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC为等边三角形，四边形BCC1B1是边长为2的正方形，，D1为B1C1的中点，D为棱BC上一点，BD1∥平面ADC1．（1）求证：D为BC中点；（2）求直线BC与平面ADC1所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解答】解：（1）证明：因为BD1∥平面ADC1，BD1⊂平面BB1C1C，平面ADC1∩平面BB1C1C＝DC1，所以BD1∥DC1，又因为BD∥D1C1，因为四边形BD1C1D为平行四边形，且因为D1为B1C1的中点，所以，故D为BC中点．（2）根据勾股定理可知，，且，再根据勾股定理可得，故AD⊥DC1，又因为AD⊥BC，BC⋂DC1＝D，BC，DC1⊂平面BB1C1C，所以AD⊥平面BB1C1C，如图建立以D为坐标原点，AD为z轴，DB为x轴，DD1为y轴的空间直角坐标系，B（1，0，0），C（﹣1，0，0），，D（0，0，0），，C1（﹣1，2，0），，，设平面ADC1的法向量为，则，令y＝1，解得，，故直线BC与平面ADC1所成角的正弦值为．四．二面角的平面角及求法（共2小题）4．（2023•延庆区一模）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是梯形，AD∥BC，AD⊥面PAB，△PAB是等腰三角形，PA＝PB，AB＝BC＝2AD＝2，E是AB的中点．（Ⅰ）求证：PE⊥CD；（Ⅱ）设PA与CD所成的角为θ1，直线PD与平面ABCD所成的角为θ2，二面角P﹣BC﹣A为θ3，从以下所给的三个条件中选出其中一个作为已知条件，求四棱锥P﹣ABCD的体积．①；②；③．【答案】（Ⅰ）证明见解答；（Ⅱ）2．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵PA＝PB，E是AB的中点，∴PE⊥AB，∵AD⊥面PAB，PE⊂面PAB，∴AD⊥PE，∵AD∩AB＝A，∴PE⊥平面ABCD，∵CD⊂平面ABCD，∴PE⊥CD；（Ⅱ）选①；F是BC的中点，连接AF，PF，∵AD＝CF，AD∥CF，∴四边形ADCF是平行四边形，∴AF＝CD，AF∥CD，∴∠PAF是PA与CD所成的角，∠PAF＝θ1，设PE＝x，则PA＝PB＝，PF＝，AF＝，∵PF2＝PA2+AF2﹣2PA•AFcosθ1，∴x2+2＝x2+1+5﹣2•×，解得x＝2，∴VP﹣ABCD＝Sh＝×（1+2）×2×2＝2．选②；连接DE，∵PE⊥平面ABCD，∴DE是PD在平面ABCD内的投影，∴∠PDE是PD与平面ABCD所成的角，∠PDE＝θ2，且θ2∈（0°，90°），∵AE＝AD＝1，∴DE＝，∵，∴cosθ2＝，∴tanθ2＝，∴＝，∴PE＝2，∴VP﹣ABCD＝Sh＝×（1+2）×2×2＝2．选③；∵AD∥BC，AD⊥平面PAB，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，BC⊥AB，∴∠PBA就是二面角P﹣BC﹣A的平面角，∠PBA＝θ3，∵cosθ3＝＝＝，∴PB＝，∴PE＝＝2，∴VP﹣ABCD＝Sh＝×（1+2）×2×2＝2．5．（2023•门头沟区一模）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝2，O为AC的中点．（Ⅰ）证明：PB⊥AC；（Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角B﹣PC﹣A的余弦值及点A到平面BPC的距离．①AC＝2；②PO⊥BC．【答案】（Ⅰ）证明过程见解析；（Ⅱ）若选择条件①AC＝2，得二面角B﹣PC﹣A的余弦值为；点A到平面BPC的距离d＝．若选择条件②PO⊥BC，得二面角B﹣PC﹣A的余弦值为；点A到平面BPC的距离d＝．【解答】（Ⅰ）证明：连接PO，BO，∵AB＝BC，PA＝PC，O为AC的中点，∴BO⊥AC，PO⊥AC，又PO∩BO＝O，∴AC⊥平面POB，而PB⊂平面POB，∴PB⊥AC；（Ⅱ）解：若选择条件①AC＝2，在△ABC中，∵AB＝BC＝2，AC＝2，∴AB2+BC2＝AC2，即AB⊥BC，∵PA＝PB＝PC，∴P在底面ABC上的射影为底面三角形的外心，即P的射影为O，可得PO⊥平面ABC，又OB⊥AC，∴OB、OC、OP两两互相垂直，以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则A（0，﹣，0），B（，0，0），C（0，，0），P（0，0，），平面PAC的一个法向量为，，，，设平面PBC的一个法向量为，由，取z＝1，可得，∴cos＝＝，由图可知，二面角B﹣PC﹣A的平面角为锐角，则二面角B﹣PC﹣A的余弦值为；点A到平面BPC的距离d＝．若选择条件②PO⊥BC，由（Ⅰ）知，PO⊥AC，又PO⊥BC，且AC∩BC＝C，∴PO⊥平面ABC，∵PA＝PB＝PC，∴OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心，而O为AC的中点，可知AB⊥BC，在△ABC中，∵AB＝BC＝2，可得AC＝2，又OB⊥AC，∴OB、OC、OP两两互相垂直，以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则A（0，﹣，0），B（，0，0），C（0，，0），P（0，0，），平面PAC的一个法向量为，，，，设平面PBC的一个法向量为，由，取z＝1，可得，∴cos＝＝，由图可知，二面角B﹣PC﹣A的平面角为锐角，则二面角B﹣PC﹣A的余弦值为；点A到平面BPC的距离d＝．五．直线与椭圆的综合（共4小题）6．（2023•延庆区一模）已知椭圆经过点C（0，1），离心率为，M与x轴交于两点A（a，0），B（﹣a，0），过点C的直线l与M交于另一点D，并与x轴交于点P，直线AC与直线BD交于点Q．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）设O为原点，当点P异于点B时，求证：为定值．【答案】（Ⅰ）+y2＝1．（Ⅱ）证明见解答．【解答】解：（Ⅰ）由已知得b＝1，＝，由a2＝c2+b2＝c2+1，解得a＝，故椭圆方程为+y2＝1．（Ⅱ）证明：当直线l与x轴垂直时，D（0，﹣1），此时kAC＝kBD＝﹣，AC∥BD，不符合题意．当直线斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx+1（k≠0）．代入椭圆方程得（2k2+1）x2+4kx＝0．解得x1＝0，x2＝，代入直线l的方程得y1＝1，y2＝kx2+1＝k×+1＝，所以D点的坐标为（，）．kBD＝＝＝，直线BD的方程为y＝（x+），kAC＝﹣＝﹣，直线AC的方程为y＝﹣x+1，联立直线AC，BD的方程，得x＝﹣2k，y＝k+1，因此Q（﹣2k，k+1），又P（﹣，0）．所以＝（﹣，0）•（﹣2k，k+1）＝2．故为定值．7．（2023•海淀区一模）已知椭圆的左、右顶点分别为A1，A2，上、下顶点分别为B1，B2，|B1B2|＝2，四边形A1B1A2B2的周长为．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设斜率为k的直线l与x轴交于点P，与椭圆E交于不同的两点M，N，点M关于y轴的对称点为M’，直线M’N与y轴交于点Q，若△OPQ的面积为2，求k的值．【答案】（Ⅰ）+y2＝1；（Ⅱ）±．【解答】解：（Ⅰ）依题意可得，解得，∴椭圆E的方程为+y2＝1；（Ⅱ）依题意，可设直线l的方程为y＝kx+m（km≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程，可得（5k2+1）x2+10kmx+5m2﹣5＝0，Δ＝（10km）2﹣4（5k2+1）（5m2﹣5）＝100k2﹣20m2+20＞0，即5k2＞m2﹣1，∴x1+x2＝﹣，x1x2＝，在直线l的方程中，令y＝0，得x＝﹣，得P（﹣，0），依题意得M′（﹣x1，y1），得直线M′N的方程为y＝（x+x1）+y1，令x＝0，得yQ＝，∴S△OPQ＝|xP|•|yQ|＝||•||，∴x1y2+x2y1＝x1（kx2+m）+x2（kx1+m）＝2kx1x2+m（x1+x2）＝2k×﹣m×＝，∴S△OPQ＝||•||＝2，解得k＝±．∴k的值为±．8．（2023•门头沟区一模）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，长轴的左端点为A（﹣2，0）．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）过椭圆c的右焦点的任一直线l与椭圆C分别相交于M，N两点，且AM，AN与直线x＝4，分别相交于D，E两点，求证：以DE为直径的圆恒过x轴上定点，并求出定点．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析，定点分别为（1，0）（7，0）．【解答】解：（Ⅰ）因为椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，长轴的左端点为A（﹣2，0），所以，得，所以椭圆C的方程：；（Ⅱ）证明：椭圆右焦点坐标为（1，0），由题直线斜率不为零，设直线l方程为x＝my+1，设M（x1，y1），N（x2，y2），由题，联立方程组，消去x得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，所以，直线，得，同理，直线，得，设x轴上一点P（t，0），则，同理得：，所以，因为（x1+2）（x2+2）＝（my1+3）（my2+3），所以，解得：t﹣4＝±3，即t＝1或t＝7，所以以DE为直径的圆恒过x轴上定点，定点分别为（1，0），（7，0）．9．（2023•西城区一模）已知椭圆C：x2+2y2＝2，点A，B在椭圆C上，且OA⊥OB（O为原点）．设AB的中点为M，射线OM交椭圆C于点N．（Ⅰ）当直线AB与x轴垂直时，求直线AB的方程；（Ⅱ）求的取值范围．【答案】（Ⅰ）x＝±；（Ⅱ）∈[，]．【解答】解：（Ⅰ）由题意设直线AB的方程为x＝t，设A（t，y1），B（t，﹣y1），因为OA⊥OB，由同样的对称性可知t＝y1，即A（t，t），代入椭圆的方程：t2+2t2＝2，解得t＝±，即直线AB的方程为：x＝±；（Ⅱ）当直线AB的斜率不存在时，则AB的中点M（±，0），若M（，0），由题意可得N（，0），这时＝＝；由椭圆的对称性，当M（﹣，0）时，＝；当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx+m，k≠0，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理可得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2＝0，Δ＝16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）＞0，可得m2＜1+2k2，且x1+x2＝﹣，x1x2＝，y1+y2＝k（x1+x2）+2m＝，y1y2＝k2x1x2+km（x1+x2）+m2＝+km•+m2＝，因为OA⊥OB，所以x1x2+y1y2＝0，即+＝0，可得3m2﹣2k2＝2，且M（﹣，），k≠0，|OM|＝＝，设线OM的方程为y＝﹣x，代入椭圆的方程可得x2+x2＝2，解得x2＝，y2＝•＝，所以|ON|＝＝，所以＝＝＝•＜，当k→0时，→，当k＝0时，m2＝，可得m＝±，即M（0，±），当M（0，）时，则射线OM的方程为：x＝0，可得N（0，1），所以＝＝，由椭圆的对称性可知当M（0，﹣）时，＝，综上所述：∈[，]．六．离散型随机变量的期望与方差（共5小题）10．（2023•通州区一模）某企业有7个分行业，2020年这7个分行业的营业收入及营业成本情况统计如下表：营业情况分行业营业收入单位（亿元）营业成本单位（亿元）分行业14138分行业2129分行业382分行业465分行业532分行业621分行业70.80.4（一般地，行业收益率＝．）（1）任选一个分行业，求行业收益率不低于50%的概率；（2）从7个分行业中任选3个，设选出的收益率高于50%的行业个数为X，求X的分布列及期望；（3）设7个分行业营业收入的方差为，营业成本的方差为，写出与的大小关系．（结论不要求证明）【答案】（1）；（2）分布列见解析；；（3）．【解答】解：（1）分行业1行业收益率：，分行业2行业收益率：，分行业3行业收益率：，分行业4行业收益率：，分行业5行业收益率：，分行业6行业收益率：，分行业7行业收益率：，行业收益率不低于50%的有4个行业，故任选一个分行业，行业收益率不低于50%的概率为．（2）有（1）可知X的取值有0、1、2、3，，，，，分布列如下：X0123P，（3）7个分行业营业收入的平均值为：，，7个分行业营业成本的平均值为：，，故．11．（2023•海淀区一模）网购生鲜蔬菜成为很多家庭日常消费的新选择．某小区物业对本小区三月份参与网购生鲜蔬菜的家庭的网购次数进行调查，从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取10户，分别记为A组和B组，这20户家庭三月份网购生鲜蔬菜的次数如图：假设用频率估计概率，且各户网购生鲜蔬菜的情况互不影响．（Ⅰ）从一单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中随机抽取1户，估计该户三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的概率；（Ⅱ）从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取1户，记这两户中三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数为X，估计X的数学期望E（X）；（Ⅲ）从A组和B组中分别随机抽取2户家庭，记ξ1为A组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数，ξ2为B组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数，比较方差D（ξ1）与D（ξ2）的大小．（结论不要求证明）【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）1；（Ⅲ）D（ξ1）＝D（ξ2）．【解答】解：（Ⅰ）设C事件为“该户三月份网购生鲜蔬菜次数大于20“，又在A组10户中超过20次的有3户，∴由样本估计总体可得所求概率为P（C）＝；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：从一单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中随机抽取1户，则该户网购生鲜蔬菜次数超过20次的概率为，同理：从二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中随机抽取1户，则该户网购生鲜蔬菜次数超过20次的概率为，∴X＝0，1，2，又P（X＝0）＝（1﹣）×（1﹣）＝，P（X＝1）＝×（1﹣）+（1﹣）×＝，P（X＝2）＝＝，∴E（X）＝＝1；（Ⅲ）根据题意可得ξ1，ξ2的取值可能为0，1，2，且得ξ1，ξ2服从超几何分布，又P（ξ1＝0）＝＝，P（ξ1＝1）＝＝，P（ξ1＝2）＝＝，P（ξ2＝2）＝＝，P（ξ1＝1）＝＝，P（ξ1＝0）＝＝，∴E（ξ1）＝＝，E（ξ2）＝＝，∴D（ξ1）＝＝，D（ξ2）＝＝，∴D（ξ1）＝D（ξ2）．12．（2023•东城区一模）甲、乙两名同学积极参与体育锻炼，对同一体育项目，在一段时间内甲进行了6次测试，乙进行了7次测试．每次测试满分均为100分，达到85分及以上为优秀．两位同学的测试成绩如表：次数同学第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次甲807882869593—乙76818085899694（1）从甲、乙两名同学共进行的13次测试中随机选取一次，求该次测试成绩超过90分的概率；（2）从甲同学进行的6次测试中随机选取4次，设X表示这4次测试成绩达到优秀的次数，求X的分布列及数学期望E（X）；（3）从乙同学进行的7次测试中随机选取3次，设Y表示这3次测试成绩达到优秀的次数，试判断数学期望E（Y）与（2）中E（X）的大小．（结论不要求证明）【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）由题意可知：甲、乙两名同学共进行的13次测试中，测试成绩超过90分的共4次，由古典概型的概率计算公式可得，所以从甲、乙两名同学共进行的13次测试中随机选取一次，该次测试成绩超过90分的概率；（2）由题意可知：从甲同学进行的6次测试中随机选取4次，这4次测试成绩达到优秀的次数X的可能取值为1，2，3，则；；，所以X的分布列为：X123P所以．（3）由题意可知：从乙同学进行的7次测试中随机选取3次，这3次测试成绩达到优秀的次数Y的可能取值为0，1，2，3，则；；；，所以Y的分布列为：Y0123P所以，E（X）＞E（Y）．13．（2023•西城区一模）根据《国家学生体质健康标准》，高三男生和女生立定跳远单项等级如下（单位：cm）：立定跳远单项等级高三男生高三女生优秀260及以上194及以上良好245～259180～193及格205～244150～179不及格204及以下149及以下从某校高三男生