高中数学新课标选修回归分析教学设计

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第一课时3。1教学目标（1）通过实例引入线性回归模型，感受产生随机误差的原因；（2)通过对回归模型的合理性等问题的研究，渗透线性回归分析的思想和方法；（3）能求出简单实际问题的线性回归方程．教学重点，难点线性回归模型的建立和线性回归系数的最佳估计值的探求方法．教学过程一．问题情境1．情境：对一作直线运动的质点的运动过程观测了次，得到如下表所示的数据，试估计当x=９时的位置y的值．时刻/s［来源:］位置观测值/cm根据《数学（必修)》中的有关内容,解决这个问题的方法是：先作散点图，如下图所示：［来源：]从散点图中可以看出，样本点呈直线趋势，时间与位置观测值y之间有着较好的线性关系．因此可以用线性回归方程来刻画它们之间的关系．根据线性回归的系数公式，可以得到线性回归方为，所以当时,由线性回归方程可以估计其位置值为2．问题：在时刻时，质点的运动位置一定是吗？二．学生活动思考，讨论:这些点并不都在同一条直线上，上述直线并不能精确地反映与之间的关系，的值不能由完全确定，它们之间是统计相关关系，的实际值与估计值之间存在着误差．三．建构数学1．线性回归模型的定义：我们将用于估计值的线性函数作为确定性函数；的实际值与估计值之间的误差记为,称之为随机误差;将称为线性回归模型．说明:(1）产生随机误差的主要原因有：①所用的确定性函数不恰当引起的误差；②忽略了某些因素的影响;③存在观测误差．（2）对于线性回归模型，我们应该考虑下面两个问题：①模型是否合理；②在模型合理的情况下，如何估计，？2．探求线性回归系数的最佳估计值：对于问题②，设有对观测数据，根据线性回归模型,对于每一个，对应的随机误差项,我们希望总误差越小越好，即要使越小越好．所以，只要求出使取得最小值时的，值作为，的估计值，记为，．注:这里的就是拟合直线上的点到点的距离．用什么方法求，?回忆利用最小二乘法可以得到，的计算公式为，其中，由此得到的直线就称为这对数据的回归直线，此直线方程即为线性回归方程．其中，分别为，的估计值，称为回归截距，称为回归系数,称为回归值．在前面质点运动的线性回归方程中，,．3．线性回归方程中，的意义是:以为基数，每增加1个单位,相应地平均增加个单位；4．化归思想(转化思想）在实际问题中，有时两个变量之间的关系并不是线性关系，这就需要我们根据专业知识或散点图,对某些特殊的非线性关系,选择适当的变量代换,把非线性方程转化为线性回归方程，从而确定未知参数．下面列举出一些常见的曲线方程，并给出相应的化为线性回归方程的换元公式．（1）,令，，则有．（2)，令，，，则有．（3），令，，，则有．（4），令，，，则有．（5），令，,则有．四．数学运用典例分析例1．下表给出了我国从年至年人口数据资料，试根据表中数据估计我国年的人口数．年份人口数/百万解:为了简化数据，先将年份减去,并将所得值用表示，对应人口数用表示，得到下面的数据表：［来源:］作出个点构成的散点图，由图可知,这些点在一条直线附近，可以用线性回归模型来表示它们之间的关系．根据公式（1）可得这里的分别为的估计值,因此线性回归方程为由于年对应的,代入线性回归方程可得（百万），即年的人口总数估计为13.23亿.例2．某地区对本地的企业进行了一次抽样调查,下表是这次抽查中所得到的各企业的人均资本(万元）与人均产出（万元）的数据：人均资本/万元人均［来源：]产出/万元(1）设与之间具有近似关系（为常数），试根据表中数据估计和的值；（2）估计企业人均资本为万元时的人均产出（精确到）．分析：根据,所具有的关系可知，此问题不是线性回归问题，不能直接用线性回归方程处理．但由对数运算的性质可知，只要对的两边取对数，就能将其转化为线性关系．解(1）在的两边取常用对数，可得，设，，，则．相关数据计算如图所示．1人均资本/万元345.56.578910。511。5142人均产出/万元4.124.678.6811.0113.0414。4317.525。4626.6645.230.477120。602060。740360。812910.84510.903090。954241。021191.06071.1461340.61490.669320。938521。041791.115281.159271。243041。405861。425861。65514仿照问题情境可得，的估计值，分别为由可得，即，的估计值分别为和．（2）由（1）知．样本数据及回归曲线的图形如图（见书本页）当时，（万元），故当企业人均资本为万元时,人均产值约为万元．五．回顾小结：1．线性回归模型与确定性函数相比，它表示与之间是统计相关