高中数学圆锥曲线复习（二）-双曲线

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精圆锥曲线复习（二）—---双曲线一。双曲线的定义第一定义：平面内与两个定点距离的差的绝对值等于的点的轨迹。第二定义:平面内与一个定点F和一条定直线的距离的比是常数的动点的轨迹.2双曲线的标准方程及几何性质标准方程图形性质焦点F1(—，F2（F1（，F2（焦距|F1F2｜=2c范围对称关于x轴，y轴和原点对称顶点（-a,0)。（a，0)（0,—a）（0，a）轴实轴长2a,虚轴长2b离心率准线渐近线到焦点的二、常见的结论：（1）与双曲线共同的焦点的双曲线(2)与双曲线（a〉0，b〉0），有共同渐近线的双曲线系方程为（a>0,b>0，λ≠0）,当λ〉0时，所求双曲线的焦点与已知的在同一坐标轴上当λ〈0时，所求双曲线的焦点与已知的在同一坐标轴上(3）等轴双曲线的性质：离心率为，渐近线方程为y=±x等轴双曲线可以设为x2-y2=λ≠0（4）双曲线形状与的关系：,越大，即渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔，即双曲线的离心率越大,它的开口就越阔。三、求双曲线标准方程常用的方法是待定系数法或定义法（强调取一支还是两支).四、直线和双曲线的位置关系，将直线与双曲线方程联立消去y（或消去x)得:或（1)或相交；（2）相切；（3）相离直线与双曲线只有一个公共点时，不一定相切，也可以相交。此相交时，代数意义：就是二次项系数为零，几何意义:该直线与渐近线平行。五、例题分析题型一：求双曲线的标准方程例1、根据下列条件,求双曲线方程：（1)与双曲线有共同渐近线，且过点；（2）与双曲线有公共焦点，且过点.（3）双曲线中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点。解：(1)设所求双曲线方程为,将点代入得，所以双曲线方程为.（2)设双曲线方程为，将点代入得，所以双曲线方程为。(3）设双曲线的方程为x2—y2=λ≠0，将点代入，得λ=6，所以所求的双曲线方程为x2-y2=6题型二、利用双曲线的定义解题例2、(1）设P是双曲线上一点，双曲线的一条渐街线方程是，是双曲线的左右焦点，若则(）。A．1或5B。1或9C.1D.9解：D因为所以点P只在左支上，所以只有9（2)如果分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线左支上过点的弦,且，则的周长是28（3）．设点P在双曲线上，若F1、F2为此双曲线的两个焦点，且|PF1｜∶|PF2｜＝1∶3，则△F1PF2的周长等于（）A．22 B．16 C．14 D．12解析：本题考查双曲线的方程及定义等知识．由题意，a＝3，b＝4， ∴c＝5，根据题意，点P在靠近焦点F1的那支上，且|PF2｜＝3|PF1｜， 所以由双曲线的定义，｜PF2|－｜PF1｜＝2｜PF1｜＝2a＝6,∴｜PF1|＝3,｜PF2|＝9，故△F1PF2的周长等于3＋9＋10＝22.答案:A（4)已知定圆C1：（x＋3）2＋y2＝16和C2：（x－3)2＋y2＝4,动圆C和C1、C2都外切，求动圆圆心C的轨迹方程．解答:设动圆半径为r，圆心C的坐标为（x,y），根据已知条件 ①－②得，|CC1｜－｜CC2｜＝2， ∴所求动圆圆心C的轨迹是以C1（－3，0)，C2(3,0)为焦点， 实轴长为2的双曲线的右支． 又a＝1,c＝3，则b2＝8， 因此所求动圆圆心的轨迹方程为1（x≥1）．（5）由双曲线上的一点与左、右两焦点、构成,求的内切圆与边的切点坐标。（±3,0）题型三、双曲线的几何性质的应用例3（1）已知双曲线(）的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为（2）双曲线的两个焦点为F1,F2,若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2｜，则双曲线离心率的取值范围为 （3）设，则双曲线的离心率的取值范围是（B)A． B． C． D．题型四、直线与双曲线例4、(1)过P(3，4)点与双曲线有且仅有一个公共点的直线的条数是________．答案:2(2）过双曲线的右焦点作直线交双曲线于、两点，若，则这样的直线有(A）条条条不存在例5、（1）求直线被双曲线截得的弦长；(2）求过定点的直线被双曲线截得的弦中点轨迹方程.解析：由得得（*）设方程（*）的解为，则有得，（2）方法一：若该直线的斜率不存在时与双曲线无交点，则设直线的方程为，它被双曲线截得的弦为对应的中点为，由得（＊)设方程（*）的解为，则,∴，且，∴，得或。方法二:设弦的两个端点坐标为，弦中点为,则得：，∴,即，即(图象的一部分)例6、已知点M（－2,0)，N(2，0)，动点P满足条件|PM|－|PN｜＝2记动点P的轨迹为W.（1）求W的方程;(2）若A，B是W上的不同两点，O是坐标原点，求的最小值.六、课后巩固一、选择题1．方程表示双曲线，则的取值范围是 (D）A． B． C． D．或2．双曲线的焦距是 （C）A．4 B． C．8 D．与有关xyoxyoxyoxyo3xyoxyoxyoxyo能是 （）ABCD4。设是等腰三角形，,则以为焦点且过点的双曲线的离心率为（B）A． B． C． D．5、在平面直角坐标系中，双曲线中心在原点，焦点在轴上，一条渐近线方程为，则它的离心率为(A）A．B．C．D．6、已知双曲线的两个焦点为，，P是此双曲线上的一点，且，，则该双曲线的方程是（C）A．B．C．D．7、已知定点A、B且｜AB|=4,动点P满足｜PA|－｜PB|=3，则｜PA|的最小值是（C） A．B．C．D．58、设F1，F2分别是双曲线的左右焦点，若点P在双曲线上，且，则（B）(A) (B)2（C）(D)29、已知双曲线的左右焦点分别为,为的右支上一点,且，则的面积等于（C)（Ａ)(Ｂ）（Ｃ）（Ｄ)10、双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则（A）A．B．C．D．11、已知双曲线的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则（D)A．1 B．2 C．3 D．412、已知双曲线的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且则点M到x轴的距离为（C) A． B． C． D．13、如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且△是等边三角形，则双曲线的离心率为（D）（A) (B） （C） （D）14、已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则点在CA、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限二、填空题：15、已知双曲线的离心率是。则＝416、已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为，且焦距与虚轴长之比为，则双曲线的标准方程是____________________.17、过双曲线的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点,则双曲线的离心率等于____2______．18、已知圆．以圆与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为 19、若双曲线的一个顶点坐标为（3，0），焦距为10，则它的标准方程为_______20、双曲线的右顶点为A，右焦点为F。过点F平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为______________三、解答题21、已知分别是双曲线的左右焦点,是双曲线上的一点，且=