2021年广东省湛江市徐闻县立品中学高三数学理下学期期末试题含解析

2021年广东省湛江市徐闻县立品中学高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若且满足，则的最小值是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D

解析：2.设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y=f（x）﹣g（x）在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f（x）=x2﹣3x+4与g（x）=2x+m在[0，3]上是“关联函数”，则m的取值范围为（） A．（﹣，﹣2] B．[﹣1，0] C．（﹣∞，﹣2] D．（﹣，+∞）参考答案：A【考点】函数零点的判定定理． 【专题】压轴题；新定义． 【分析】由题意可得h（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣5x+4﹣m在[0，3]上有两个不同的零点，故有，由此求得m的取值范围． 【解答】解：∵f（x）=x2﹣3x+4与g（x）=2x+m在[0，3]上是“关联函数”， 故函数y=h（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣5x+4﹣m在[0，3]上有两个不同的零点， 故有，即，解得﹣＜m≤﹣2， 故选A． 【点评】本题考查函数零点的判定定理，“关联函数”的定义，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题． 3.函数f（x）=|x|（|x﹣1|﹣|x+1|）是（）A．是奇函数又是减函数 B．是奇函数但不是减函数C．是减函数但不是奇函数 D．不是奇函数也不是减函数参考答案：A【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．【分析】首先由奇函数的定义域关于原点对称，且满足f（﹣x）=﹣f（x），可判函数f（x）=|x|（|x﹣1|﹣|x+1|）是奇函数；然后利用分类讨论的方法去绝对值符号，由于奇函数的图象关于原点对称，且对称两侧的单调性相同，所以只需讨论0≤x≤1与x＞1时即可；最后根据化简后的分段函数画出其图象，则f（x）的单调性一目了然．【解答】解：因为函数f（x）=的定义域关于原点对称，且f（﹣x）=|﹣x|（|﹣x﹣1|﹣|﹣x+1|）=|x|（|x+1|﹣|x﹣1|）=﹣f（x），所以f（x）是奇函数．又因为当0≤x≤1时，f（x）=x（﹣x+1﹣x﹣1）=﹣2x2；当x＞1时，f（x）=x（x﹣1﹣x﹣1）=﹣2x，所以f（x）的图象如图：所以f（x）既是奇函数，又是减函数．故选A．【点评】本题考查函数的奇偶性定义及它的图象性质，同时考查数形结合的方法研究函数的单调性．4.从一个棱长为1的正方体中切去若干部分，得到一个几何体，其三视图如下图，则该几何体的体积为A.

B.

C.

D.参考答案：C5.已知集合，集合满足，则集合有（

）A.1个

B.2个

C.3个

D.4个参考答案：D略6.设函数f（x）=log2x，在区间（0，5）上随机取一个数x，则f（x）＜2的概率为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】几何概型．【分析】解不等式f（x）＜2的解，利用几何概型的概率公式即可得到结论．【解答】解：∵log2x，x∈（0，5）．∴由f（x）＜2，得log2x＜2解得0＜x＜4，∴根据几何概型的概率公式可得若从区间（0，5）内随机选取一个实数x，f（x）＜2的概率为：=，故选D．7.设集合A={x|1＜x＜4}，集合B={x|x2﹣2x﹣3≤0}，则A∩（?RB）=（）A．（1，4） B．（3，4） C．（1，3） D．（1，2）∪（3，4）参考答案：B【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】由题意，可先解一元二次不等式，化简集合B，再求出B的补集，再由交的运算规则解出A∩（?RB）即可得出正确选项【解答】解：由题意B={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3}，故?RB={x|x＜﹣1或x＞3}，又集合A={x|1＜x＜4}，∴A∩（?RB）=（3，4）故选B【点评】本题考查交、并、补的混合运算，属于集合中的基本计算题，熟练掌握运算规则是解解题的关键8.函数的大致图象是(

)参考答案：C9.如果执行右面的框图，输入N＝2011，则输出的数等于（

）A.2010×＋2

B.2011×－2C.2010×＋2

D.2011×－2参考答案：A10.设，，若，，，则（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（x+a）10的展开式中，x7的系数为15，则a=．参考答案：【考点】二项式系数的性质．【专题】二项式定理．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得x7的系数，再根据x7的系数为15，求得a的值．【解答】解：（x+a）10的展开式的通项公式为Tr+1=?x10﹣r?ar，令10﹣r=7，求得r=3，可得x7的系数为a3?=120a3=15，∴a=，故答案为：．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．12.不等式的解集为

．参考答案：13.之最小值为＿＿＿＿参考答案：914.已知满足约束条件,则目标函数的最大值是_______.参考答案：15.不等式的解集为__________________。参考答案：略16.已知数列的前项和满足，则数列的通项公式________．参考答案：

17.在某班举行的成人典礼上，甲、乙、丙三名同学中的一人获得了礼物.甲说：“礼物不在我这”；乙说：“礼物在我这”；丙说：“礼物不在乙处”.如果三人中只有一人说的是真的，请问

(填“甲”、“乙”或“丙”)获得了礼物.参考答案：甲三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.近年来郑州空气污染较为严重，现随机抽取一年（365天）内100天的空气中PM2.5指数的监测数据，统计结果如下：PM2.5[0，50]（50，100]（100，150]（150，200]（200，250]（250，300]＞300空气质量优良轻微污染轻度污染中度污染中度重污染重度污染天数413183091115记某企业每天由空气污染造成的经济损失为S（单位：元），PM2.5指数为x．当x在区间[0，100]内时对企业没有造成经济损失；当x在区间（100，300]内时对企业造成经济损失成直线模型（当PM2.5指数为150时造成的经济损失为500元，当PM2.5指数为200时，造成的经济损失为700元）；当PM2.5指数大于300时造成的经济损失为2000元．（1）试写出S（x）的表达式；（2）试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于500元且不超过900元的概率；（3）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面列联表，并判断是否有95%的把握认为郑州市本年度空气重度污染与供暖有关？附：P（K2≥k0）0.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k01.322.072.703.745.026.637.8710.828，其中n=a+b+c+d．

非重度污染重度污染合计供暖季22830非供暖季63770合计8515100参考答案：【分析】（1）根据在区间[0，100]对企业没有造成经济损失；在区间（100，300]对企业造成经济损失成直线模型（当PM2.5指数为150时造成的经济损失为500元，当PM2.5指数为200时，造成的经济损失为700元）；当PM2.5指数大于300时造成的经济损失为2000元，可得函数关系式；（2）由500＜S≤900，得150＜ω≤250，频数为39，即可求出概率；（3）根据所给的数据，列出列联表，根据所给的观测值的公式，代入数据做出观测值，同临界值进行比较，即可得出结论．【解答】解：（1）根据在区间[0，100]对企业没有造成经济损失；在区间（100，300]对企业造成经济损失成直线模型（当PM2.5指数为150时造成的经济损失为500元，当PM2.5指数为200时，造成的经济损失为700元）；当PM2.5指数大于300时造成的经济损失为2000元，可得：（2）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元”为事件A，由200＜S≤600，得150＜w≤250，频数为39，，（3）根据以上数据得到如下列联表：

非重度污染重度污染合计供暖季22830非供暖季63770合计8515100K2的观测值，所以有95%的把握认为空气重度污染与供暖有关．【点评】本题考查概率知识，考查列联表，观测值的求法，是一个独立性检验，我们可以利用临界值的大小来决定是否拒绝原来的统计假设，若值较大就拒绝假设，即拒绝两个事件无关．19.（本小题满分13分）如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1A底面ABCD．四边形ABCD为梯形，AD∥BC，且AD=2BC.过A1，C，D三点的平面记为，BB1与的交点为Q.（I）证明：Q为BB1的中点；（Ⅱ）求此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比；（Ⅲ）若AA1=4，CD=2，梯形ABCD的面积为6，求平面与底面ABCD所成二面角的大小.参考答案：（Ⅰ）证：因为∥，∥，∩=，∩=，所以平面∥平面，从而平面与这两个平面的交线相互平行，即∥，故与的对应边相互平行，于是∽，所以，即是的中点．（Ⅱ）解：如图1，连接，，设，梯形ABCD的高为，四棱柱被平面所分成上下两部分的体积分别为和，，则．图1，，所以=+=，又，所以=-=-=，故．（Ⅲ）解法1如图1，在中，作AE⊥DC，垂足为E，连接A1E，又DE⊥AA1，且AA1∩AE=A．所以DE⊥平面AEA1，于是DE⊥A1E．所以∠AEA1为平面与底面ABCD所成二面角的平面角．因为BC∥AD，AD=2BC，所以．又因为梯形ABCD的面积为6，DC=2，所以，AE=4．于是，．故平面与底面ABCD所成二面角的大小为．解法2如图2，以D为原点，,分别为轴和轴正方向建立空间直角坐标系．设．因为，所以，从而，．所以，．设平面的法向量，由得，，所以．又因为平面ABCD的法向量，所以，故平面与底面ABCD所成二面角的大小为．

20.（本题满分12分）如图1,在直角梯形中,,,,为线段的中点.将沿折起,使平面平面,得到几何体,如图2所示.(Ⅰ)

求证:平面；(Ⅱ)

求二面角的余弦值.参考答案：解法一：（Ⅰ）在图1中,可得,从而,故

……………-3分∵面面,面面,面,从而平面……………6分（Ⅱ）取的中点，的中点,连结,解法二:（Ⅰ）在图1中,可得,从而,故

……………2分取中点连结,则,又面面,面面,面,从而平面,…………4分∴

又,,∴平面

……………6分（Ⅱ）建立空间直角坐标系如图所示,则,,,……8分设为面的法向量,则即,解得令,可得……………10分又为面的一个法向量∴∴二面角的余弦值为.…12分21.已知<<<,(Ⅰ)求的值.