江苏省苏州市东山中学高三数学理下学期期末试题含解析

江苏省苏州市东山中学高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设x，y满足约束条件，则的取值范围是（） A．[2，5] B． [1，5] C． [，5] D． [，2]参考答案：A略2.给出下列四个函数：①y=x－1；

②y=x2；

③y=lnx；

④y=x3.其中偶函数的序号是A．① B．② C．③ D．④参考答案：B3.若椭圆的左、右焦点分别为、，线段被抛物线的焦点分成的两段，则此椭圆的离心率为

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D4.满足条件|z-i|=|3+4i|复数z在复平面上对应点的轨迹是（A）一条直线

（B）两条直线

（C）圆

（D）椭圆参考答案：答案：C5.的外接圆半径为1，圆心为，且，则的值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：【知识点】向量在几何中的应用．F2F3A

解析：因为3+4+5=，所以，所以，因为A，B，C在圆上，所以．代入原式得，所以==．故选：A．【思路点拨】先将一个向量用其余两个向量表示出来，然后借助于平方使其出现向量模的平方，则才好用上外接圆半径，然后进一步分析结论，容易化简出要求的结果．6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C7.若是锐角，且cos（）=﹣，则sin的值等于（）A．B．C．D．参考答案：B8.2012年伦敦奥运会某项目参赛领导小组要从甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中甲、乙只能从事前三项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（

）

A．18种

B．36种

C．48种

D．72种参考答案：D9.计算：的结果为

A．

B．

C．

D．参考答案：C略10.已知球O的半径是R，A、B、C是球面上三点，且A与B、A与C、B与C的球面距离分别为，则四面体OABC的体积为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A∵

面OBC，将OBC作为底，OA作为高。二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知实数x，y满足约束条件，求目标函数的最小值__________.参考答案：-1【分析】首先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各交点的坐标，即可求出目标函数的最小值。【详解】由实数，满足约束条件可得如图可行域：得到可行域为，点，，，由图可得目标函数过可行域内的点时的值最小，所以目标函数的最小值为-1。【点睛】本题主要考查线性规划问题，借助于平面区域特征，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想，属于基础题。12.如果对定义在上的函数，对任意两个不相等的实数，都有，则称函数为“函数”.给出下列函数:①;②;③;④.以上函数是“函数”的所有序号为

.参考答案：②③13.集合中最小整数位

.参考答案：不等式，即，，所以集合，所以最小的整数为。14.已知集合A={(x，y)|y=sinx，(0，2π)}，B={(x，y)|y=，R}，则集合A∩B的子集个数量多有

个.参考答案：415.己知i是虚数单位，则的虚部是．参考答案：﹣1【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，则复数的虚部可求．【解答】解：=，∴的虚部是﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．16.已知直线与函数及函数的图象分别相交于、两点，则、两点之间的距离为

.参考答案：17.（不等式选做题）设,且，则的最小值为

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数f（x）=lnx﹣﹣bx（Ⅰ）当a=b=时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）令F（x）=f（x）+＜x≤3），其图象上任意一点P（x0，y0）处切线的斜率k≤恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）当a=0，b=﹣1时，方程f（x）=mx在区间[1，e2]内有唯一实数解，求实数m的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；压轴题．【分析】（I）先求导数fˊ（x）然后在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的区间为单调增区间，fˊ（x）＜0的区间为单调减区间．（II）先构造函数F（x）再由以其图象上任意一点P（x0，y0）为切点的切线的斜率k≤恒成立，知导函数≤恒成立，再转化为所以a≥（﹣，x02+x0）max求解．（III）先把程f（x）=mx有唯一实数解，转化为有唯一实数解，再利用单调函数求解．【解答】解：（Ⅰ）依题意，知f（x）的定义域为（0，+∞）．当a=b=时，f（x）=lnx﹣x2﹣x，f′（x）=﹣x﹣=．令f′（x）=0，解得x=1．当0＜x＜1时，f′（x）＞0，此时f（x）单调递增；当x＞1时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减．所以函数f（x）的单调增区间（0，1），函数f（x）的单调减区间（1，+∞）．（Ⅱ）F（x）=lnx+，x∈（0，3]，所以k=F′（x0）=≤，在x0∈（0，3]上恒成立，所以a≥（﹣x02+x0）max，x0∈（0，3]当x0=1时，﹣x02+x0取得最大值．所以a≥．（Ⅲ）当a=0，b=﹣1时，f（x）=lnx+x，因为方程f（x）=mx在区间[1，e2]内有唯一实数解，所以lnx+x=mx有唯一实数解．∴，设g（x）=，则g′（x）=．令g′（x）＞0，得0＜x＜e；g′（x）＜0，得x＞e，∴g（x）在区间[1，e]上是增函数，在区间[e，e2]上是减函数，g（1）=1，g（e2）=1+=1+，g（e）=1+，所以m=1+，或1≤m＜1+．【点评】本题主要考查函数的单调性、极值、不等式、方程的解等基本知识，同时考查运用导数研究函数性质的方法，分类与整合及化归与转化等数学思想．19.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲已知在中，是上一点，的外接圆交于，．（1）求证：；（2）若平分，且，求的长.参考答案：（1）连接，∵四边形是圆的内接四边形，∴，又，∴∽，∴，又，∴

5分（2）由（1）∽，知，又，∴，∵，∴，而是的平分线∴，设，根据割线定理得即，解得，即．

10分20.）已知函数为自然对数的底数）．（Ⅰ）求曲线在处的切线方程；（Ⅱ）若是的一个极值点，且点，满足条件：.（ⅰ）求的值；（ⅱ）求证：点，，是三个不同的点，且构成直角三角形．

参考答案：解：（Ⅰ），

……2分，又，

…………4分所以曲线在处的切线方程为，即．

…………5分（Ⅱ）（ⅰ）对于，定义域为．当时，，，∴；当时，；当时，，，∴，

………………8分所以存在唯一的极值点，∴，则点为．

…9分（ⅱ）若，则，，与条件不符，从而得．同理可得．

………………10分若，由，此方程无实数解，从而得．

………11分由上可得点，，两两不重合．又

从而，点，，可构成直角三角形．

………14分略21.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.(1)求角A的值：(2)若，求△ABC的面积．参考答案：（1）（2）【分析】（1）由，利用正弦定理边化正弦，化简可求得，从而可得结果；（2）由余弦定理可得，求出，再利用三角形面积公式可得结果.【详解】（1）因为，所以,所以，即，

因为，所以；

（2）因为，所以，所以