2022-2023学年安徽省亳州市光明中学高三数学理模拟试题含解析

2022-2023学年安徽省亳州市光明中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知数列的通项公式为，其前n项和为，则在数列、、…中，有理数项的项数为A．42

B．43

C．44

D．45参考答案：B2.已知集合，，则（

）（A）（B）（C）（D）参考答案：D，所以，即，选D.3.在应用数学归纳法证明凸n变形的对角线为条时，第一步检验n等于（）A.1

B.2

C．3

D．0参考答案：C4.如图所示的△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AC、AD上，且BD＝DC，AE＝2EC，DF＝2AF，则向量A.

B.

C.

D.参考答案：A5.“结绳计数”是远古时期人类智慧的结晶，即人们通过在绳子上打结来记录数量，如图所示的是一位猎人记录自己采摘果实的个数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满四进一，根据图示可知，猎人采摘的果实的个数（用十进制表示）是

A.492 B.382 C.185 D.123参考答案：D由题意满四进一，可得该图示是四进位制，化为十进位制为：.故选D6.小赵、小钱、小孙、小李四位同学被问到谁去过长城时，小赵说：我没去过；小钱说：小李去过；小孙说；小钱去过；小李说：我没去过．假定四人中只有一人说的是假话，由此可判断一定去过长城的是（）A．小赵 B．小李 C．小孙 D．小钱参考答案：D【考点】进行简单的合情推理．【分析】利用3人说真话，1人说假话，验证即可．【解答】解：如果小赵去过长城，则小赵说谎，小钱说谎，不满足题意；如果小钱去过长城，则小赵说真话，小钱说谎，小孙，小李说真话，满足题意；故选：D．7.六个棱长为1的正方体在桌面上堆叠成一个几何体，该几何体的正视图与俯视图如图所示，则其左视图不可能为（）A．B．C．D．参考答案：D考点：简单空间图形的三视图．

专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中六个棱长为1的正方体在桌面上堆叠成一个几何体，结合该几何体的正视图与俯视图，分类讨论其左视图的形状，可得答案．解答：解：由已知中六个棱长为1的正方体在桌面上堆叠成一个几何体，结合该几何体的正视图与俯视图，①当正方体的摆放如下图所示时，（俯视图格中数字表示每摞正方体的个数）：或，几何全的侧视图如图所示：，故排除A；②当正方体的摆放如下图所示时，（俯视图格中数字表示每摞正方体的个数）：，几何全的侧视图如图所示：，故排除B；

③当正方体的摆放如下图所示时，（俯视图格中数字表示每摞正方体的个数）：，几何全的侧视图如图所示：，故排除C；故选：D点评：此题主要考查了左视图以及由三视图判断几何体的形状，主要培养同学们的空间想象能力，想象不出来可以亲手实验．8.某公司10位员工的月工资（单位:元）为x1，x2，''',x10，其均值和方差分别为和s2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这个10位员工下月工资的均值和方差分别为（

） （A），s2+1002

（B）+100,s2+1002

（C）,s2

（D）+100,s2参考答案：D9.已知函数f（x）是定义在R上的增函数，则函数y＝f（｜x－1｜）－1的图象可能是

(

)参考答案：B10.设集合，，则=

（

）

A．

B．

C．

D．

参考答案：A因为，，则，选A.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.点在函数的图象上运动，则2x﹣y的最大值与最小值之比为．参考答案：略12.在的二项式展开式中，常数项为28，则实数的值是

.参考答案：±1略13.（09年扬州中学2月月考）如果复数是实数，则实数_____▲

．参考答案：答案：

14.为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气候仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气候观测，如图所示，A，B，C三地位于同一水平面上，这种仪器在C地进行弹射实验，观测点A，B两地相距100米，∠BAC=60°，在A地听到弹射声音比B地晚秒（已知声音传播速度为340米/秒），在A地测得该仪器至高点H处的仰角为30°，则这种仪器的垂直弹射高度HC=

．参考答案：米

【考点】三角形中的几何计算．【分析】由题意设AC=x米，利用条件和声速表示出BC，利用余弦定理列出方程，化简后求出AC的值，在RT△ACH中，由AC和∠CAH=30°，利用正弦函数求出答案．【解答】解：由题意设AC=x米，∵在A地听到弹射声音的时间比B地晚秒，∴BC=x﹣340×=x﹣40，在△ABC内，由余弦定理得：BC2=BA2+CA2﹣2BA?CA?cos∠BAC，则（x﹣40）2=x2+10000﹣100x，解得x=420，在RT△ACH中，AC=420，∠CAH=30°，所以CH=AC?tan∠CAH=140（米），即该仪器的垂直弹射高度HC为140米，故答案为：米．【点评】本题考查余弦定理，正弦函数的实际运用，考查利用数学知识解决实际问题的能力，属于中档题．15.平面向量的夹角为，，，则

．参考答案：16.已知复数,满足(a,b为实数),则

▲

.

参考答案：2略17.已知向量a，b，满足|a|＝1，|b|＝，a＋b＝(，1)，则向量

a＋b与向量a－b的夹角是

▲

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数，曲线在点处的切线方程为.（I）求、的值；（II）如果当，且时，，求的取值范围.参考答案：解：（Ⅰ） 由于直线的斜率为，且过点，故即 解得，………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以。考虑函数，则。ks5u(i)设，由知，当时，。而，故当时，，可得；ks5u当x（1，+）时，h（x）<0，可得h（x）>0从而当x>0,且x1时，f（x）-（+）>0，即f（x）>+.（ii）设0<k<1.由于当x（1，）时，（k-1）（x2+1）+2x>0,故(x）>0,而h（1）=0，故当x（1，）时，h（x）>0，可得h（x）<0,与题设矛盾。（iii）设k1.此时（x）>0,而h（1）=0，故当x（1，+）时，h（x）>0，可得h（x）<0,与题设矛盾。

综合得，k的取值范围为（-，0]……14分19.（本小题满分14分）已知为常数，且，函数的最小值和函数的最小值都是函数R的零点.（1）用含的式子表示，并求出的取值范围；（2）求函数在区间上的最大值和最小值.参考答案：（1），；（2）最大值为，最小值为.试题分析：（1）先求函数和的最小值，再利用函数的零点即可得用含的式子表示，进而根据一元二次方程的根的分布情况即可得的取值范围；（2）先对函数求导，再判断函数在上的单调性即可得函数在区间上的最大值和最小值.试题解析：（1）解：由于，，则，当且仅当，即时，.

…1分，当时，.………2分∵，∴，.由于，结合题意，可知，方程的两根是，，

………3分故，.

………4分∴.∴.

………5分而方程的一个根在区间上，另一个根在区间上.令，则

………6分即解得

………7分∴.

………8分∴，.求的取值范围的其它解法：另法1：由，得，

………6分∵，∴．………７分∵，∴．………8分另法2：设，，

则，………6分故函数在区间上单调递减．∴．………７分∴．………8分（2）解：由（1）得，则.………………9分∵，∴二次函数的开口向下，对称轴.故函数在区间上单调递减. ………10分又，

………11分∴当时，.∴函数在区间上单调递减.

………12分∴函数的最大值为，最小值为.………14分考点：1、利用导数研究在闭区间上函数的最值；2、利用导数研究函数的单调性；3、函数的零点；4、基本不等式；5、一元二次方程的根的分布.20.已知函数，若存在，则称是函数的一个不动点，设

(Ⅰ）求函数的不动点；

(Ⅱ）对（Ⅰ）中的二个不动点、（假设），求使恒成立的常数的值；参考答案：（Ⅰ）设函数

(Ⅱ）由（Ⅰ）可知可知使恒成立的常数.21.（本小题满分12分）已知函数.（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）若曲线与有三个不同的交点，求实数的取值范围.参考答案：解：（Ⅰ）

------------------------------------2分令，解得或.

------------------------------------4分当时，；当时，

∴的单调递增区间为，单调递增区间为--------------6分（Ⅱ）令，即

∴

设，即考察函数与何时有三个公共点------------------------------------8分令，解得或.当时，当时，

∴在单调递增，在单调递减

----------------------9分

------------------------------------10分根据图象可得.

------------------------------------12分22.已知函数f（x）=ax2﹣（2a+1）x+lnx，a∈R．（1）当a=1时，求f（x）的单调区间和极值；（2）若关于x的方程f（x）=2ax2﹣2（a+1）x恰有两个不等的实根，求实数a的取值范围；（3）设g（x）=ex﹣x﹣1，若对任意的x1∈（0，+∞），x2∈R，不等式f（x1）≤g（x2）恒成立，求实数a的取值范围．参考答案：考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（1）当a=1时，函数f（x）=x2﹣3x+lnx，求出f（x）的导数，令f'（x）=0，列出表格即可得出函数的单调性，极值；（2）问题转化为求函数y=ax2﹣x与y=lnx的解得个数问题，通过讨论a的范围即可求出；（3）对于任意的x1∈（0，+∞），x2∈R，不等式f（x1）≤g（x2）恒成立，则有f（x）max≤g（x）min．利用导数分别在定义域内研究其单调性极值与最值即可．解答： 解：（1）当a=1时，函数f（x）=x2﹣3x+lnx，f′（x）=，令f′（x）=0得：x1=，x2=1，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：x（0，）（，1）1（1，+∞）f'（x）+0﹣0+f（x）单调递增极大单调递减极小单调递增∴f（x）在（0，）单调递增，在（，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，当x=时：f（x）有极大值，且f（x）极大值=f（）=﹣﹣ln2；当x=1时：f（x）有极小值，且f（x）极小值=﹣2；（2）∵f（x）=2ax2﹣2（a+1）x，∴ax2﹣（2a+1）x+lnx=2ax2﹣2（a+1）x，∴ax2﹣x=lnx，x∈（0，+∞），显然a≤0时，y=ax2﹣x与y=lnx只有1个交点，不合题意，当a=1时，函数y=x2﹣x=﹣，x=时：ymin=﹣，而y=ln＜ln，∴0＜a＜≤1时，y=ax2﹣x与y=lnx只有1个交点，不合题意，a＞1时，画出函数y=ax2﹣x与y=lnx的图象，如图示：，图象有2个交点，综上：a＞1；（3）由g（x）=ex﹣x﹣1，则g′（x）=ex﹣1，令g′（x）＞0，解得x＞0；令g′（x）＜0，解得x＜0．∴g（x）在（﹣∞，0）是减函数，在（0，+∞）是增函数，即g（x）最小值=g（0）=0．对于任意的x1∈（0，+∞），x2∈R，不等式f（x1）≤g（x2）恒成立，则有f（x1）≤g（0）即可．即不等式f（x）≤0对于任意的x∈（0，+∞）恒成立，f′（x）=，（1）当a=0时，f′（x）=，令f′（x）＞0，解得0＜x＜1；令f′（x）＜0，解得x＞1．∴f（x）在（0，1）是增函数，在（1，+∞）是减函数，∴f（x）最大值=f（1）=﹣1＜0，∴a=0符合题意．（2）当a＜0时，f′（x）=，令f'（x）＞0，解得0＜x＜1；令f′（x）＜0，解得x＞1．∴f（x）在（0，1）是增函数