广西壮族自治区梧州市苍梧第一中学高三数学理联考试卷含解析

广西壮族自治区梧州市苍梧第一中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】球的体积和表面积；简单空间图形的三视图．【专题】综合题；转化思想；综合法；立体几何．【分析】三视图复原的几何体是长方体的一个角，扩展为长方体，它的外接球的直径就是长方体的对角线的长，求出对角线长，即可求出外接球的体积．【解答】解：三视图复原的几何体是长方体的一个角；把它扩展为长方体，则长、宽、高分别为1，2，2，则它的外接球的直径就是长方体的对角线的长，所以长方体的对角线长为：=3，所以球的半径为：R=cm．这个几何体的外接球的体积是：πR3=π．故选：B．【点评】本题是基础题，考查几何体的外接球的问题，空间想象能力，逻辑思维能力，和计算能力，注意本题中三棱锥的外接球与长方体的外接球是同一个球．2.已知抛物线的焦点为F，过F的直线交C于A，B两点，点A在第一象限，P(0，6)，O为坐标原点，则四边形OPAB面积的最小值为A． B． C．3 D．4参考答案：B设且,易知，设直线由所以易知在上为减函数，所以当时，,故选B3.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若，且，则下列关系一定不成立的是（）A．a=c B．b=c C．2a=c D．a2+b2=c2参考答案：B【考点】余弦定理．【专题】解三角形．【分析】利用余弦定理表示出cosA，将已知第一个等式代入求出cosA的值，确定出A度数，再利用正弦定理化简第二个等式，求出sinB的值，确定出B的度数，进而求出C的度数，确定出三角形ABC形状，即可做出判断．【解答】解：∵b2+c2﹣a2=bc，∴cosA==，∴A=30°，由正弦定理化简b=a，得到sinB=sinA=，∴B=60°或120°，当B=60°时，C=90°，此时△ABC为直角三角形，得到a2+b2=c2，2a=c；当B=120°时，C=30°，此时△ABC为等腰三角形，得到a=c，综上，b=c不一定成立，故选：B．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及直角三角形与等腰三角形的性质，熟练掌握定理是解本题的关键．4.如果实数x，y满足条件，那么2x﹣y的最大值为（）A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣3参考答案：B【考点】简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x﹣y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，当直线2x﹣y=t过点A（0，﹣1）时，t最大是1，故选：B．5.函数的反函数（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C略6.已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为=1，双曲线C2的方程为=1，C1与C2的离心率之积为，则C1、C2的离心率分别为(

) A．，3 B． C．，2 D．参考答案：B考点：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出椭圆与双曲线的离心率，然后推出ab关系，即可求解双曲线的渐近线方程．解答： 解：a＞b＞0，椭圆C1的方程为=1，C1的离心率为：，双曲线C2的方程为=1，C2的离心率为：，∵C1与C2的离心率之积为，∴=，∴（）2=，，则C1的离心率==则C2的离心率：==故选：B．点评：本题考查椭圆与双曲线的基本性质，离心率以及渐近线方程的求法，基本知识的考查．7.画在同一坐标系内的曲线的交点坐标是A. B.C. D.

参考答案：C略8.已知的最大值为A，若存在实数x1，x2使得对任意实数x总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则A|x1﹣x2|的最小值为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】三角函数的化简求值；正弦函数的图象．【分析】根据题意，利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的周期性和最值，即可求出A|x1﹣x2|的最小值．【解答】解：=sin2017xcos+cos2017xsin+cos2017xcos+sin2017xsin=sin2017x+cos2017x+cos2017x+sin2017x=sin2017x+cos2017x=2sin．或==2sin．∴f（x）的最大值为A=2；由题意得，|x1﹣x2|的最小值为=，∴A|x1﹣x2|的最小值为．故选：B．9.设集合，，则A∩B=（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】解不等式，化简的表示方法，利用集合交集的定义求出.【详解】解：∵集合，，∴.故选：C．【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力.10.已知在复平面内，复数z对应的点是Z(1，－2)，则复数z的共轭复数（

）A．2－i

B．2+i

C．1－2i

D．1+2i参考答案：D∵复数对应的点是∴∴复数的共轭复数故选D.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.双曲线E：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点M是双曲线E的渐近线上的一点，MF1⊥MF2，sin∠MF1F2=，则该双曲线的离心率为

．参考答案：【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意设M是渐近线y=x上的一点，∠MOF2=2∠MF1F2，求出tan∠MOF2==，可得=，即可求出e===．【解答】解：由题意，设M是渐近线y=x上的一点，∠MOF2=2∠MF1F2，∵sin∠MF1F2=，∴tan∠MF1F2=，∴tan∠MOF2==，∴=，∴e===，故答案为．12.若（2x2+1）5=a0+a1x2+a2x4+…+a5x10，则a3的值为

．参考答案：80【考点】二项式系数的性质．【分析】由题意可得a3的值即为x6的系数，再根据通项公式求得x6的系数．【解答】解：由题意可得a3的值即为x6的系数，故在（1+2x2）5=a0+a1x2+a2x4+…+a5x10的通项公式中，令r=3，即可求得a3的值为?23=80，故答案为：80．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．13.已知i是虚数单位，复数__________．参考答案：2略14.已知点,自点Ｍ向圆引切线，则切线方程是___________．参考答案：和解：当斜率存在时，可以求得方程为；当斜率不存在时，可以求得方程为．

故可填：和.15.已知实数m是2和8的等比中项，则抛物线y=mx2的焦点坐标为参考答案：

【知识点】抛物线的简单性质．H7解析：∵实数m是2和8的等比中项，∴m2=16，m=±4，由y=mx2，得，若m=4，则，即2p=，，焦点坐标为（0，）；若m=﹣4，则，即2p=，，焦点坐标为．∴抛物线y=mx2的焦点坐标为：．故答案为：．【思路点拨】由等比中项概念求得m的值，代入抛物线方程，分m=4和m=﹣4求得抛物线的焦点坐标．16.（5分）（2015?济宁一模）某单位用3.2万元购买了一台实验仪器，假设这台仪器从启用的第一天起连续使用，第n天的维修保养费为元，若使用这台仪器的日平均费用最少，则一共使用了天．参考答案：800【考点】：根据实际问题选择函数类型；基本不等式在最值问题中的应用．【专题】：计算题．【分析】：因为这台仪器从启用的第一天起连续使用，第n天的维修保养费为则日平均费用设为f（n），据题意得：f（n）=利用基本不等式得到f（n）为最小值时n的值即可．解：日平均费用设为y，据题意得：f（n）==×=×（n++99）≥×（2+99）当且仅当n=即n=800时取等号．故答案为：800【点评】：考查学生根据实际问题选择函数类型的能力，及基本不等式在最值问题中的应用能力．17.已知数列的各项均为正数，为其前项和，且对任意N，均有、、成等差数列，则

．参考答案：∵，，成等差数列，∴当时，

又

∴当时，，∴，∴，又，∴，∴是等差数列，其公差为1，∵，∴．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，AB是☉O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交☉O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F．（Ⅰ）求证：DE是☉O的切线；（Ⅱ）若=，求的值．参考答案：考点：与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明．专题：立体几何．分析：（Ⅰ）连结OD，由圆的性质得OD∥AE，由AE⊥DE，得DE⊥OD，由此能证明DE是⊙O切线．（Ⅱ）过D作DH⊥AB于H，则有cos∠DOH=cos∠CAB==，设OD=5x，则AB=10x，OH=2x，AH=7x，由已知得△AED≌AHD，△AEF∽△DOF，由此能求出．解答： （Ⅰ）证明：连结OD，由圆的性质得∠ODA=∠OAD=∠DAC，OD∥AE，又AE⊥DE，∴DE⊥OD，又OD为半径，∴DE是⊙O切线．（Ⅱ）解：过D作DH⊥AB于H，则有∠DOH=∠CAB，cos∠DOH=cos∠CAB==，设OD=5x，则AB=10x，OH=2x，∴AH=7x，∵∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，DH⊥AB，交AB于H，∴△AED≌AHD，∴AE=AH=7x，又OD∥AE，∴△AEF∽△DOF，∴====．点评：本题考查圆的切线的证明，考查圆内两线段的比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角形全等和三角形相似的性质的合理运用．19.已知函数R.（1）讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)有两个零点，求实数a的取值范围．参考答案：(1)的定义域为，.………1分(i)当时，恒成立，时，，在上单调递增；时，，在上单调递减；……2分(ii)当时，由得，（舍去），①当，即时，恒成立，在上单调递增；……3分②当，即时，或时，恒成立，在，单调递增；时，恒成立，在上单调递减；……………4分③当即时，或时，恒成立，在单调递增；时，恒成立，在上单调递减；……………5分综上，当时，单调递增区间为，单调递减区间为；当时，单调递增区间为，无单调递减区间；当时，单调递增区间为，，单调递减区间为；当时，单调递增区间为，单调递减区间为．…………………6分(2)由(1)知，当时，单调递增区间为，单调递减区间为，又因为，

…………………7分取，令，，则在成立，故单调递增，，，（注：此处若写“当时，”也给分）所以有两个零点等价于，得，所以．……………8分当时，，只有一个零点，不符合题意；当时，在单调递增，至多只有一个零点，不符合题意；………9分当且时，有两个极值，，，记，

…………………10分，令，则.当时，，在单调递增；当时，，在单调递减．故，在单调递增．时，，故．……11分又，由(1)知，至多只有一个零点，不符合题意．综上，实数的取值范围为.

……12分20.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.(1)求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；(2)设点，直线l与曲线C相交于两点A，B，求的值.参考答案：（1）因为，所以，

………………1分将，，代入上式，可得.

…………3分直线的普通方程为；

………………5分（2）将直线的参数方程代入曲线的普通方程，可得，……6分设两点所对应的参数分