贵州省遵义市银江中学2022-2023学年高三数学理测试题含解析

贵州省遵义市银江中学2022-2023学年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b（a＜b），其全程的平均时速为v，则参考答案：【知识点】基本不等式.E6【答案解析】A

解析：设小王从甲地到乙地按时速分别为a和b，行驶的路程S

则,,,,

,∴,综上可得，a＜v＜.故选A【思路点拨】设小王从甲地到乙地按时速分别为a和b，行驶的路程S，则,及，利用基本不等式及作差法可比较大小2.在等差数列的前5项和S5=（

）

A．7

B．15

C．20

D．25参考答案：B3.函数的两个零点分别位于区间（A）和内 （B）和内 （C）和内 （D）和内参考答案：A略4.设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（A）若

（B）若（C）若

（D）若参考答案：B5.设双曲线的左准线与两条渐近线交于A，B两点，左焦点为在以AB为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为（）A．（0，） B．（1，） C．（，1） D．（，+∞）参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出渐近线方程及准线方程；求得它们的交点A，B的坐标；利用圆内的点到圆心距离小于半径，列出参数a，b，c满足的不等式，求出离心率的范围．【解答】解：渐近线y=±x准线x=±，求得A（）．B（），左焦点为在以AB为直径的圆内，得出，，b＜a，c2＜2a2∴，故选B．【点评】本题考查双曲线的准线、渐近线方程形式、考查圆内的点满足的不等条件、注意双曲线离心率本身要大于1．6.“微信抢红包”自2015年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为9元，被随机分配为1.49元，1.31元，2.19元，3.40元，0.61元，共5份，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率是（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】基本事件总数n==10，再利用列举法求出其中甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的情况种数，帖经能求出甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率．【解答】解：所发红包的总金额为10元，被随机分配为1.49元，1.81元，2.19元，3.41元，0.62元，0.48元，共6份，供甲、乙等6人抢，每人只能抢一次，基本事件总数n==10，其中甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的情况有：（0.61，3.40），（1.49，3.40），（1.31，3.40），（2.19，3.40），共有4种，∴甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率p==．故选：A．7.已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面ABC内的射影为的中心，则与底面ABC所成的角的正弦值为A．

B．

C．

D．参考答案：D8.

若，当，时，，若在区间，内有两个零点，则实数的取值范围是(

).，

.，

.，

.，

参考答案：D9.已知锐角满足，,则=（

）A.

B.π

C.或π

D.参考答案：A试题分析：由于为锐角，，，，，故答案为A.考点：三角函数给值求角.10.已知数列{an}{n=1，2，3…，2015}为等差数列，圆C1：x2+y2﹣4x﹣4y=0，圆C2：x2+y2﹣2anx﹣2a2016﹣ny=0，若圆C2平分圆C1的周长，则{an}的所有项的和为（

）

A．2014

B．2015

C．4028

D．4030参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设抛物线的焦点为F，点，若线段FA的中点B在抛物线上，则点B到该抛物线准线的距离为

．参考答案：解析：,,将代入解得到该抛物线准线的距离为12.在△ABC中，已知若cosA=，则tanB=．参考答案：﹣【考点】平面向量数量积的运算．【分析】设△ABC的三边分别是a，b，c，运用向量数量积的定义和正弦定理，结合同角的平方关系和商数关系，化简即可得到所求值．【解答】解：设△ABC的三边分别是a，b，c，由，可得cbcosA=﹣2cacosB，由正弦定理可得，sinBcosA=﹣2sinAcosB，则tanB==﹣=﹣2tanA，由cosA=，可得sinA==，则tanA==，即有tanB=﹣．故答案为：﹣．13.已知的展开式中，的系数为，则

．参考答案：2二项展开式的通项为，由得，，即，因为的系数为80，所以，即。14.若集合A={x|（x﹣1）2＜3x+7，x∈R}，则A∩Z中有个元素．参考答案：6略15.已知是原点，点的坐标满足，则的取值范围为

．参考答案：答案：[－3，3]16.若复数是纯虚数，则实数=

.参考答案：1将复数表示为的形式，然后由即可求；17.函数f（x）=ax﹣xlna（0＜a＜1），若对于任意x∈[﹣1，1]，不等式f（x）≤e﹣1恒成立，则实数a的取值范围是．参考答案：[，1）【考点】函数恒成立问题．【专题】转化思想；配方法；构造法；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】求函数的导数，判断函数的单调性，求出函数f（x）在[﹣1，1]上的最大值即可，利用构造法进行求解．【解答】解：函数的导数f′（x）=axlna﹣lna=lna?（ax﹣1），∵0＜a＜1，∴lna＜0，由f′（x）＞0得lna?（ax﹣1）＞0，即ax﹣1＜0，则x＞0，此时函数单调递增，由f′（x）＜0得lna?（ax﹣1）＜0，即ax﹣1＞0，则x＜0，此时函数单调递减，即当x=0时，函数取得最小值，f（0）=1，当x=1，则f（1）=a﹣lna当x=﹣1，则f（﹣1）=a﹣1+lna，则f（1）﹣f（﹣1）=a﹣﹣2lna，设g（a）=a﹣﹣2lna，则g′（a）=1+﹣=（﹣1）2＞0，则g（a）在（0，1）上为增函数，则g（a）＜g（1）=1﹣1﹣2ln1=0，即g（a）＜0，则f（1）﹣f（﹣1）＜0，即f（1）＜f（﹣1），即函数f（x）在x∈[﹣1，1]上的最大值为f（﹣1）=a﹣1+lna，若对于任意x∈[﹣1，1]，不等式f（x）≤e﹣1恒成立，则f（﹣1）=a﹣1+lna≤e﹣1，即+lna≤e﹣1，设h（a）=+lna，则h′（a）=﹣+=﹣（）2+，∵0＜a＜1，∴＞1，∴当h′（a）＜h′（1）=0，即h（a）=+lna在0＜a＜1上为减函数，由+lna=e﹣1得a=．则+lna≤e﹣1等价为h（a）≤h（），即≤a＜1，故答案为：[，1）．【点评】本题主要考查函数恒成立问题，求函数的导数，判断函数的单调性求出函数的最值是解决本题的关键．本题的难点在于多次构造函数，多次进行进行求导，考查学生的转化和构造能力和意识．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝2，BB1＝2，D为AC上的动点。（I）求五面体A－BCC1B1的体积；（II）当D在何处时，AB1∥平面BDC1，请说明理由；（III）当AB1∥平面BDC1时，求证：平面BDC1⊥平面ACC1A1。参考答案：（Ⅰ）如图可知五面体是四棱锥，∵侧面垂直于底面，∴正三角形的高就是这个四棱锥的高，又，．于是．…4分（Ⅱ）当点D为AC中点时，∥平面．连结连结，∵四边形是矩形，∴为中点，∵∥平面，平面平面＝DO，∴DO∥AB1，∴D为AC的中点．

……8分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知当∥平面时，D为AC的中点．∵△ABC为正三角形，D为AC的中点，∴BD⊥AC，由CC1⊥平面ABC，∴，又，∴⊥平面，又平面，∴平面⊥平面．

……12分19.（14分）已知函数f（x）=x2+ax﹣lnx，a∈R（1）若函数f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围（2）令g（x）=f（x）﹣x2，是否存在实数a，当x∈（0，e]时，函数g（x）的最小值是3？若存在，求出a的值，若不存在，说明理由（3）当x∈（0，e]时，求证：e2x2﹣x＞（x+1）lnx．参考答案：【考点】二次函数的性质；函数恒成立问题．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）先求出函数f（x）的导数，得到不等式组，解出a的范围即可；（2）假设存在实数a，求出函数g（x）的导数，通过讨论g（x）的单调性，求出函数的最小值，从而求出a的值；（3）令F（x）=e2x﹣lnx，令ω（x）=+，通过讨论它们的单调性得到e2x﹣lnx＞+即可．【解答】解：（1）f′（x）=2x+a﹣=≤0在[1，2]上恒成立，令h（x）=2x2+ax﹣1，∴，解得：a≤﹣；（2）假设存在实数a，使得g（x）=f（x）﹣x2=ax﹣lnx，x∈（0，e]有最小值3，g′（x）=a﹣=，①0＜＜e，即a＞e时，令g′（x）＞0，解得：x＞，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜，∴函数g（x）在（0，）递减，在（，e]递增，∴g（x）min=g（）=1+lna=3，解得：a=e2，满足条件；②≥e，即a≤时，g′（x）＜0，g（x）在（0，e]单调递减，∴g（x）min=g（e）=ae﹣1=3，解得：a=（舍去）；综上，存在实数a=e2，使得x∈（0，e]时，函数g（x）有最小值3；（3）令F（x）=e2x﹣lnx，由（2）得：F（x）min=3，令ω（x）=+，ω′（x）=，当0＜x≤e时，ω′（x）≥0，ω（x）在（0，e]递增，故e2x﹣lnx＞+，即：e2x2﹣x＞（x+1）lnx．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，考查二次函数的性质，是一道中档题．20.某家电公司根据销售区域将销售员分成A，B两组.2017年年初，公司根据销售员的销售业绩分发年终奖，销售员的销售额（单位：十万元）在区间[90,95)，[95,100)，[100,105)，[105,110]内对应的年终奖分别为2万元，2.5万元，3万元，3.5万元.已知销售员的年销售额都在区间[90,110]内，将这些数据分成4组：[90,95)，[95,100)，[100,105)，[105,110]，得到如下两个频率分布直方图：以上面数据的频率作为概率，分别从A组与B组的销售员中随机选取1位，记X，Y分别表示A组与B组被选取的销售员获得的年终奖.（1）求X的分布列及数学期望；（2）试问A组与B组哪个组销售员获得的年终奖的平均值更高？为什么？参考答案：解：（1）∵组销售员的销售额在，，，的频率分别为：0.2，0.3，0.2，0.3，则的分布列为：（元）200002500030000350000.20.30.20.3故（元）.（2）组销售员的销售额在，，，的频率分别为：0.1，0.35，0.35，0.2，则的分布列为：（元）200002500030000350000.10.350.350.2故（元）.∵，∴组销售员获得的年终奖的平均值更高.

21.（本小题满分14分）设椭圆(a＞b＞0)的右顶点为A，上顶点为B.已知椭圆的离心率为，|AB|=.（I）求椭圆的方程；（II）设直线l:y=kx(k＜0)与椭圆交于P，Q两点，l与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限.若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，求k的值.参考答案：本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力.满分14分.（I）解：设椭圆的焦距为2c，由已知得，又由，可得由,从而.所以，椭圆的方程为.（II）解：设点P的坐标为，点M的坐标为，由题意，，点的坐标为由的面积是面积的2倍，可得，从而，即.易知直线的方程为，由方程组消去y，可得.由方程组消去，可得.由，可得，两边平方，整理得，解得，或.当时，，不合题意，舍去；当时，，，符合题意.所以，的值为.

22.已知函数f（x）=ax2+2x﹣lnx，讨论f（x）的单调性． 参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；函数单调性的判断与证明；二次函数的性质． 【专题】分类讨论；转化思想；函数的性质及应用；导数的综合应用． 【分析】求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系进