福建省泉州市山霞中学高三数学理测试题含解析

福建省泉州市山霞中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知△ABC是边长为2的正三角形,则=（

）A．2 B． C．－2 D．参考答案：C由于△ABC是边长为2的正三角形，故选C

2.复数z满足方程=﹣i（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：A【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由=﹣i，得，然后利用复数代数形式的除法运算化简，求出复数z在复平面内对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解：由=﹣i，得，即z=1+i．则复数z在复平面内对应的点的坐标为（1，1）．位于第一象限．故选：A．3.已知集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={x|﹣1＜x＜1}，则(

)A．A?B B．B?A C．A=B D．A∩B=?参考答案：B【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】集合．【分析】先求出集合A，然后根据集合之间的关系可判断【解答】解：由题意可得，A={x|﹣1＜x＜2}，∵B={x|﹣1＜x＜1}，在集合B中的元素都属于集合A，但是在集合A中的元素不一定在集合B中，例如x=∴B?A．故选B．【点评】本题主要考查了集合之间关系的判断，属于基础试题．4.已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y=lg2，则的最小值是（）A．2 B．2 C．4 D．2参考答案：C【考点】基本不等式．【分析】利用对数的运算法则和基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵lg2x+lg8y=lg2，∴lg（2x?8y）=lg2，∴2x+3y=2，∴x+3y=1．∵x＞0，y＞0，∴==2+=4，当且仅当x=3y=时取等号．故选C．5.设A、B是两个集合，定义M*N＝{x|x∈M且x?N}．若M＝{y|y＝log2(－x2－2x＋3)}，N＝{y|，x∈[0,9]}，则M*N＝()A．(－∞，0]

B．(－∞，0)C．[0,2]

D．(－∞，0)∪(2,3]参考答案：B6.已知集合A={x|x≥3或x≤1}，B={x|x2﹣6x+8＜0}，则（?RA）∩B=（）A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4）参考答案：C【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】解不等式求出集合B，根据补集与交集的定义写出（?RA）∩B．【解答】解：集合A={x|x≥3或x≤1}，B={x|x2﹣6x+8＜0}={x|2＜x＜4}，则?RA={x|1＜x＜3}，所以（?RA）∩B={x|2＜x＜3}=（2，3）．故选：C．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．7.设函数,.若实数满足,，则A．

B．

C．

D．参考答案：A8.己知且a>b，则下列不等式中成立的是A.

B.

C.

D.参考答案：D略9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（

）A． B． C． D．参考答案：D由三视图得几何体是半个圆锥和一个三棱锥的组合体，圆锥的底面半径为1，高为2,三棱锥的底面是底边为2，底边高为1的等腰三角形，棱锥的高为2.所以几何体的体积为故答案为：D

10.函数（＞2）的最小值为

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知满足，且目标函数的最小值是5，则的最大值____.

参考答案：10略12.已知全集，集合，则=

▲

.参考答案：{1}13.函数f（x）=的定义域为．参考答案：{x|x＞且x≠1}【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据对数函数的性质以及分母不是0，得到关于x的不等式组，解出即可．【解答】解：由题意得：，解得：x＞且x≠1，故函数的定义域是{x|x＞且x≠1}，故答案为：{x|x＞且x≠1}．14.已知△ABC是锐角三角形，a，b，c分别是A，B，C的对边．若，则（1）角B的取值范围是______．（2）的取值范围是______．参考答案：

(1)

(2)【分析】(1)由题意和内角和定理表示出C,由锐角三角形的条件列出不等式组,求出B的范围,(2)由正弦定理和二倍角的正弦公式化简,由函数的单调性求出结论．【详解】（1）∵,,∴,∵△ABC是锐角三角形,∴,解得,（2）由正弦定理得,,∵,得,即,令.则,又在上单调递增．∴．∴的取值范围是．故答案为：；

．【点睛】本题考查了正弦定理,二倍角的正弦公式,内角和定理、三角函数的单调性,考查转化思想,化简、变形能力,属于中档题．15.已知，照此规律，第五个等式为

。参考答案：略16.在随机数模拟试验中，若（

）,（

）,共做了次试验，其中有次满足，则椭圆的面积可估计为

．（）表示生成0到1之间的随机数参考答案：略17.过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，若，则的中点到轴的距离等于

．参考答案：

略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭C：=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆的短轴端点与双曲线=1的焦点重合，过P（4，0）且不垂直于x轴直线l与椭圆C相交于A、B两点．（Ⅰ）求椭C的方程；（Ⅱ）求的取值范围．参考答案：考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（I）由双曲线=1得焦点，得b=．又，a2=b2+c2，联立解得即可；（II）由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x﹣4），与椭圆方程联立得到，（4k2+3）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0，由△＞0得．设A（x1，y1），B（x2，y2），利用根与系数的关系可得=x1x2+y1y2，进而得到取值范围．解答： 解：（I）由双曲线=1得焦点，得b=．又，a2=b2+c2，联立解得a2=4，c=1．故椭圆C的方程为；（II）由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x﹣4），联立，（4k2+3）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0，由△=（﹣32k2）2﹣4（4k2+3）（64k2﹣12）＞0得．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，∴=，∴=x1x2+y1y2==，∵，∴，∴．故的取值范围为．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到判别式△＞0即根与系数的关系、数量积运算等基础知识与基本技能，属于难题．19.19（本小题满分12分）如图，四棱锥中，，连接并延长交于.求证：；求平面 与平面的夹角的余弦值.

参考答案：20.如图，已知是以为直径的半圆上一点，于点，直线与过点的切线相交于点,为中点，连接并延长交于点，直线交直线于点.（Ⅰ）求证：点是中点；（Ⅱ）求证：是圆的切线.参考答案：(1)证明：∵CH⊥AB，DB⊥AB，∴△AEH∽△AFB，△ACE∽△ADF，∴.又∵HE＝EC，∴BF＝FD.

.........5分(2)证明:如图，连接CB、OC.∵AB是直径，∴∠ACB＝90°.又∵F是BD中点，∴∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO，∴∠OCF=90°，∴CG是⊙O的切线.

..................10分21.设函数，且曲线斜率最小的切线与直线平行.求：（I）的值；(II）函数的单调区间.参考答案：（1）的定义域为R

所以，由条件得，解得或（舍）所以(2）因为，所以，，解得，所以当时，当时，，所以的单调增区间是和（），减区间是（-1，3）.22.（15分）（2013?江苏）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点．（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；（2）求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．参考答案：考点：与二面角有关的立体几何综合题；异面直线及其所成的角．

专题：空间位置关系与距离．分析：（1）以{}为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能求出异面直线A1B与C1D所成角的余弦值．（2）分别求出平面ABA1的法向量和平面ADC1的法向量，利用向量法能求出平面ADC1与ABA1所成二面角的余弦值，再由三角函数知识能求出平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．解答：解：（1）以{}为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz，则由题意知A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A1（0，0，4），D（1，1，0），C1（0，2，4），∴，=（1，﹣1，﹣4），∴cos＜＞===，∴异面直线A1B与C1D所成角