2021年辽宁省营口市雁南中学高三数学理期末试卷含解析

2021年辽宁省营口市雁南中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.右图是一容量为的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本重量的中位数为

A．

B．

C．

D．参考答案：C略2.设，均为单位向量，当，的夹角为时，在方向上的投影为（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】根据向量投影计算公式，计算出所求的投影.【详解】在上的投影为，故选：B.【点睛】本小题主要考查向量投影的概念和运算，考查单位向量，属于基础题.3.已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2=2px（p＞0）的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点，若双曲线C的离心率为2，△AOB的面积为，则△AOB的内切圆半径为(

) A．﹣1 B．+1 C．2﹣3 D．2+3参考答案：C考点：双曲线的简单性质．专题：解三角形；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由双曲线的离心率公式及a，b，c的关系可得b=a，由双曲线的渐近线方程和抛物线的准线方程解得A，B，求出三角形AOB的面积，进而解得p=2，即有A，B的坐标，进而得到三角形AOB的三边，再由内切圆的半径与三角形的面积之间的关系，计算即可得到r．解答： 解：由e====2，可得=．由，求得A（﹣，），B（﹣，﹣），所以S△AOB=??=．将=代入，得p2=4，解得p=2．所以A（﹣1，），B（﹣1，﹣），则△AOB的三边分别为2，2，2，设△AOB的内切圆半径为r，由（2+2+2）r=，解得r=2﹣3，故选C．点评：本题考查双曲线和抛物线的综合应用．求解这类问题关键是结合两个曲线的位置关系，找到它们对应的几何量，然后利用图形中的平面几何性质解答问题．4.已知函数f（x）=（a＞0，且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程|f（x）|=2﹣x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（）A．（0，] B．[，] C．[，]∪{} D．[，）∪{}参考答案：C【考点】分段函数的应用；根的存在性及根的个数判断．【分析】利用函数是减函数，根据对数的图象和性质判断出a的大致范围，再根据f（x）为减函数，得到不等式组，利用函数的图象，方程的解的个数，推出a的范围．【解答】解：y=loga（x+1）+1在[0，+∞）递减，则0＜a＜1，函数f（x）在R上单调递减，则：；解得，；由图象可知，在[0，+∞）上，|f（x）|=2﹣x有且仅有一个解，故在（﹣∞，0）上，|f（x）|=2﹣x同样有且仅有一个解，当3a＞2即a＞时，联立|x2+（4a﹣3）x+3a|=2﹣x，则△=（4a﹣2）2﹣4（3a﹣2）=0，解得a=或1（舍去），当1≤3a≤2时，由图象可知，符合条件，综上：a的取值范围为[，]∪{}，故选：C．5.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，则异面直线CP与BA1所成的角的取值范围是()A.

B. C.

D.参考答案：D略6.如图直角坐标系中，角、角的终边分别交单位圆于A、B两点，若B点的纵坐标为，且满足，则的值A. B. C. D.参考答案：B7.执行如图的程序框图，则输出x的值是（）A．2016 B．1024 C． D．﹣1参考答案：D【考点】EF：程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，y的值，当y=1024时，不满足条件退出循环，输出x的值即可得解．【解答】解：模拟执行程序框图，可得x=2，y=0满足条件y＜1024，执行循环体，x=﹣1，y=1满足条件y＜1024，执行循环体，x=，y=2满足条件y＜1024，执行循环体，x=2，y=3满足条件y＜1024，执行循环体，x=﹣1，y=4…观察规律可知，x的取值周期为3，由于1024=341×3+1，可得：满足条件y＜1024，执行循环体，x=﹣1，y=1024不满足条件y＜1024，退出循环，输出x的值为﹣1．故选：D．8.已知某三棱锥的三视图如图所示，则在该三棱锥中，最长的棱长为（

）A．

B．

C.

3

D．参考答案：C9.已知函数f（x）=2sinxsin（x++φ）是奇函数，其中φ∈（0，π），则函数g（x）=cos（2x﹣φ）的图象（）A．关于点（，0）对称B．可由函数f（x）的图象向右平移个单位得到C．可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到D．可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到参考答案：C【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由条件利用诱导公式，正弦函数、余弦函数的奇偶性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：由于函数f（x）=2sinxsin（x++φ）是奇函数，故y=sin（x++φ）是偶函数，故φ+=kπ+，k∈Z，即φ=kπ+，结合φ∈（0，π），可得φ=，故f（x）=2sinxsin（x++）=sin2x=cos（2x﹣）．故函数g（x）=cos（2x﹣）=cos2（x﹣）的图象，∵﹣=﹣+，可以由f（x）=cos（2x﹣）=cos2（x﹣）的图象向左平移个单位得到的，故选：C．10.若则A.a＜b＜c

B.a＜c＜b

C.c＜a＜b

D.b＜c＜a参考答案：B，因为，所以，选B.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的顶点和底面圆周在球O的球面上，则该圆

锥的表面积与球O的表面积的比值为_____________参考答案：略12.已知定义在R上的偶函数满足：，且当时，单调递减，给出以下四个命题：①；②直线为函数图象的一条对称轴；③函数在上单调递增；④若关于的方程在上的两根为，则。以上命题中所有正确命题的序号为

．参考答案：①②④13.若实数x，y满足：，则的最大值是________；参考答案：5【分析】根据可行域求的最大值。【详解】由题意作图可知，在点（3,4）处取得最大值，。【点睛】本题考查线性规划，属于基础题。14.函数的图象恒过定点,若点在直线上，其中，则的最小值为

▲

。参考答案：815.将边长为的正方形ABCD沿对角线AC折起，使BD=，则三棱锥D-ABC的体积为__________.参考答案：略16.设数列是集合中所有的数从小到大排列成的数列，即,,,,,,…,将数列中各项按照上小下大、左小右大的原则排场如图所示的等腰直角三角形数表，则

（含的式子表示）参考答案：略17.化简的结果为____________.参考答案：25略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（09年聊城一模理）（12分）设.（Ⅰ）确定的值，使的极小值为0；（II）证明：当且仅当时，的极大值为3.参考答案：解析：（Ⅰ）由于所以………2分令,当a=2时，所以2－a≠0.①

当2－a>0，即a<2时，的变化情况如下表1：

x0(0,2－a)2－a(2－a,+∞)－0+0－↘极小值↗极大值↘此时应有f(0)=0，所以a=0<2；②当2－a<0，即a>2时，的变化情况如下表2：x2－a(2－a,0)0(0,+∞)－0+0－↘极小值↗极大值↘此时应有而综上可知，当a=0或4时，的极小值为0.………6分（II）若a<2，则由表1可知，应有

也就是设由于a<2得所以方程

无解.………8分若a>2，则由表2可知，应有f(0)=3，即a=3.………10分综上可知，当且仅当a=3时，f(x)的极大值为3.………12分19.设若，求实数的取值范围。参考答案：解；1：当时，由得：

解得

2：当时，，解得

综上所述，实数m的取值范围是：。略20.（12分）数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+1=2Sn(n∈N*)．

（1）求数列{an}的通项an；

（2）求数列{nan}的前n项和Tn．参考答案：解析：（Ⅰ），，．又，数列是首项为，公比为的等比数列，．当时，，

（6分）

（Ⅱ），当时，；当时，，…………①，………②得：．．又也满足上式，．（6分）21.(12分)在中，三内角、、及其对边、、，满足（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，求面积的最大值．参考答案：解析：（Ⅰ）又（Ⅱ）由余弦定理得：，而即．当且仅