2022年云南省曲靖市宣威市热水乡第三中学高三数学理月考试卷含解析

2022年云南省曲靖市宣威市热水乡第三中学高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.过点的直线与圆交于两点，若，则直线的方程为（

）

A．B．C．D．参考答案：A略2.下图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)在区间上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y＝sinx(x∈R)的图象上所有的点()A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变参考答案：A3.下列函数中，周期为1的奇函数是（）

参考答案：D4.已知,且,则的最小值为_____________.参考答案：5.《算法统宗》是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，其意大致为：有一七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有381盏灯，则塔从上至下的第三层有（）盏灯．A．14 B．12 C．8 D．10参考答案：B【考点】等比数列的前n项和．【分析】设第一层有a盏灯，则由题意知第一层至第七层的灯的盏数构成一个以a1为首项，以为公比的等比数列，由此能求出结果．【解答】解：设第一层有a盏灯，则由题意知第一层至第七层的灯的盏数构成一个以a1为首项，以为公比的等比数列，∴=381，解得a1=192，∴a5=a1×（）4=192×=12，故选：B．【点评】本题考查顶层有几盏灯的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．6.某几何体三视图如下图所示，则该几何体的体积是A.

B.

C.

D.参考答案：A3.若sin=，则cosa=A.-

B.-

C.

D.参考答案：C8.有四个关于三角函数的命题：

p1：sinx=siny=>x+y=或x=y，

其中真命题是

A.p1，p3B.p2，p3C.p1，p4D.p2，p4参考答案：D

【知识点】命题的真假判断与应用．A2解析：p1：若sinx=siny?x+y=π+2kπ或x=y+2kπ，k∈Z，故错误；p2：根据同角三角函数基本关系的平方关系，可得：?x∈R，sin2+cos2=1，故正确；p3：x，y∈R，cos（x﹣y）=cosxcosy+sinxsiny，与cosx﹣cosy不一定相等，故错误；p4：?x∈[0，]，==|cosx|=cosx，故正确．故选：D．【思路点拨】根据三角函数的定义及周期性，可判断p1；根据同角三角函数基本关系的平方关系，可判断p2；根据两角差的余弦公式，可判断p3；根据二倍解的余弦公式，及根式的运算性质，可判断p4．9.设i为虚数单位，复数Z的共轭复数为，且，则复数Z的模为

A．

B．5

C.

D.1参考答案：A略10.若实数x，y满足，则的最小值为A.1 B.2 C.4 D.10参考答案：C【分析】先画出满足条件的平面区域，有得到，通过平移直线发现直线过时，最小，代入求出的最小值即可．【详解】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由得：，由图象得：过时，最小，，故选：C．【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，属于基础题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如果直线y=x+a与圆有公共点，则实数的取值范围是

。参考答案：–≤a≤12.已知数列{an}满足an+1+2an=0，a2=﹣6，则{an}的前10项和等于．参考答案：﹣1023【考点】数列的求和．【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】由已知得=﹣2，从而数列{an}是公比q=﹣2的等比数列，由此能求出数列{an}的前10项和S10．【解答】解：由an+1+2an=0，得2an=﹣an+1，则=﹣2，∴数列{an}是公比q=﹣2的等比数列，∵a2=﹣6，∴a1=3，则数列{an}的前10项和S10==1﹣210=﹣1023．故答案为：﹣1023．【点评】本题考查数列的前10项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．13.四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD且PA=4，则PC与底面ABCD所成角的正切值为

．参考答案：14.已知，则函数的取值范围是 ．参考答案：15.已知函数(且）的最小值为k则的展开式的常数项是________(用数字作答）参考答案：－20略16.不等式的解集为

.

参考答案：略17.函数的最小值为_________.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.抛物线与两坐标轴有三个交点，其中与y轴的交点为P.（1）若点在C上，求直线PQ斜率的取值范围；（2）证明：经过这三个交点的圆E过定点.参考答案：解法一：（1）由题意得.故（2）由（1）知，点坐标为.令，解得，故.故可设圆的圆心为，由得，，解得，则圆的半径为.所以圆的方程为，所以圆的一般方程为，即.由得或，故都过定点.解法二：（1）同解法一. （2）由（1）知，点坐标为，设抛物线与轴两交点分别为.设圆的一般方程为：，则因为抛物线与轴交于，所以是方程，即的两根，所以，所以，所以圆的一般方程为，即.由得或，故都过定点.

19.已知：f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若a，b∈[﹣1，1]，且a+b≠0时，有＞0恒成立．（Ⅰ）用定义证明函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数；（Ⅱ）解不等式：f（x+）＜f（1﹣x）；（Ⅲ）若f（x）≤m2﹣2m+1对所有x∈[﹣1，1]恒成立，求：实数m的取值范围．参考答案：【考点】奇偶性与单调性的综合；函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）设任意x1，x2∈[﹣1，1]，且x1＜x2，由奇函数的性质化简f（x2）﹣f（x1），由得，判断出符号后，由函数单调性的定义证明结论成立；（Ⅱ）根据函数的单调性和定义域列出不等式，求出不等式的解集；（Ⅲ）由函数的单调性求出f（x）的最大值，由恒成立列出不等式，求出实数m的取值范围．【解答】证明：（Ⅰ）设任意x1，x2∈[﹣1，1]，且x1＜x2，∵f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，∴f（x2）﹣f（x1）=f（x2）+f（﹣x1）∵x1＜x2，∴x2+（﹣x1）≠0，由题意知，，则，∵x2+（﹣x1）=x2﹣x1＞0，∴f（x2）+f（﹣x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），∴函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数．…解：（Ⅱ）由（Ⅰ）和不等式得，，解得，∴不等式的解集是[0，）…（Ⅲ）由（Ⅰ）得，f（x）最大值为f（1）=1，所以要使f（x）≤m2﹣2m+1对所有x∈[﹣1，1]，只需1≤m2﹣2m+1恒成立，解得m≤0或m≥2，得实数m的取值范围为m≤0或m≥2．…20.如图，圆O为△ABC的外接圆，D为的中点，BD交AC于E．（Ⅰ）证明：AD2=DE?DB；（Ⅱ）若AD∥BC，DE=2EB，AD=，求圆O的半径．参考答案：【考点】与圆有关的比例线段．【专题】证明题；选作题；转化思想；综合法；推理和证明．【分析】（Ⅰ）连接OD，OC，推导出△BAD∽△AED，由此能证明AD2=DE?DB．（2）设⊙O的半径为r，推导出△BEC∽△AED，从而求出BE=CE=1，DE=AE=2，由此能求出圆半径．【解答】证明：（Ⅰ）连接OD，OC，∵D是弧AC的中点，∴∠ABD=∠CBD∵∠ABD=∠ECD∴∠CBD=∠ECD∵∠BDA=∠EDA∴△BAD∽△AED∴，∴AD2=DE?DB．解：（2）∵D是弧AC的中点，∴OD⊥AC，∵AD∥BC，DE=2EB，AD=，△BEC∽△AED，∴BC=，∴∠ACB=∠DAC，∠BDC=∠ADB，∵∠ADB=∠ACB，∠DAC=∠DBC，∴BE=CE，AE=DE，延长DO交AC于F，交圆于G，设BE=x，则DE=2x，∵AD2=DE?DB，∴6=2x?3x，解得BE=CE=1，DE=AE=2，∴AF=CF=，DF==，设圆半径为r，则OC=r，∴r2=（﹣r）2+（）2，解得r=．∴圆半径为．【点评】本题考查AD2=DE?DB的证明，考查圆的半径的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意垂径定理、相交弦定理的合理运用．21.设f（x）=|x+1|+|x|（x∈R）的最小值为a．（1）求a；（2）已知p，q，r是正实数，且满足p+q+r=3a，求p2+q2+r2的最小值．参考答案：【考点】R4：绝对值三角不等式；5B：分段函数的应用．【分析】（1）分类讨论，求出函数的最小值，即可求a；（2）由柯西不等式：（a2+b2+c2）（d2+e2+f2）≥（ad+be+cf）2，即可求p2+q2+r2的最小值．【解答】解：（1）x≤﹣2时，f（x）=﹣x﹣1≥2；﹣2＜x＜0时，f（x）=﹣x+1∈（1，2）；x≥0时，f（x）=x+1≥1∴f（x）的最小值为1，即a=1；（2）由（1）知，p+q+r=3，又p，q，r为正实数，∴由柯西不等式得，（p2+q2+r2）（12+12+12）≥（p×1+q×1+r×1）2=（p+q+r）2=32=9，即p2+q2+r2≥3，∴p2+q2+r2的最小值为3．22.（本小题满分12分）