2021-2022学年湖南省株洲市白关镇中学高三数学理下学期期末试题含解析

2021-2022学年湖南省株洲市白关镇中学高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.（5分）=（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】：运用诱导公式化简求值．【专题】：三角函数的求值．【分析】：原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．解：sin（﹣）=sin（﹣4π+）=sin=，故选：C．【点评】：此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．2.已知函数的周期为4，且当时，其中．若方程恰有5个实数解，则的取值范围为

(

)A．

B．

C．

D．参考答案：B【知识点】函数与方程解析：因为当x∈(-1,1)时，将函数化为方程，为一个半椭圆，其图像如图所示，同时在坐标系中作出当x∈(1,3)的图像，再根据周期性作出函数其它部分的图像，由图易知直线与第二个椭圆相交，而与第三个半椭圆无公共点时，方程恰有5个实数解，将代入得，令，则由，得t＞15,所以，又m＞0，得，同样由与第三个椭圆无交点，△＜0，得，综上可知，所以选B.【思路点拨】一般遇到方程的根的个数或函数的图像的交点个数问题，通常利用数形结合进行解答.3.如图所示的程序框图是为了求出满足的最小偶数，那么在空白框中填入及最后输出的值分别是（

）A．和6 B．和6 C．和8 D．和8参考答案：D4.已知函数上有两个零点x1，x2，则的值为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】GQ：两角和与差的正弦函数；51：函数的零点；GW：半角的三角函数．【分析】利用两角和与差的正弦将f（x）化简为f（x）=2sin（2x+）﹣m，由x∈[0，]?2x+∈[，]，利用正弦函数的单调性可求对应区间上f（x）=2sin（2x+）﹣m的值域，结合题意可从而可得答案．【解答】解：∵f（x）=sin2x+cos2x﹣m=2（sin2x+cos2x）﹣m=2sin（2x+）﹣m，∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，∴﹣≤sin（2x+）≤1，∴﹣1≤2sin（2x+）≤2，∵f（x）=sin2x+cos2x﹣m在[0，]上有两个零点x1，x2，∴正弦y=m与f（x）=sin2x+cos2x在[0，]上有两个交点，如图：∴x1+x2=，∴tan=tan=，故选：D．【点评】本题考查两角和与差的正弦，考查三角函数的图象与性质，着重考查函数的零点与半角三角函数，求得是关键，属于中档题．5.设l，m，n为不重合的三条直线，其中直线m，n在平面α内，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的(

)

A．充要条件

B．充分不必要条件

C．既不充分也不必要条件

D．必要不充分条件

参考答案：B6.某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测。若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是（

）A．4

B．5

C．6

D．7参考答案：C7.在△ABC中，点D满足，点E是线段AD上的一个动点，若，则t=（λ﹣1）2+μ2的最小值是（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据共线向量基本定理可得到存在实数k，，0≤k≤1，然后根据已知条件及向量的加法、减法的几何意义即可得到，从而得到．代入t，进行配方即可求出t的最小值．【解答】解：如图，E在线段AD上，所以存在实数k使得；；∴==；∴；∴=；∴时，t取最小值．故选：C．8.若两个非零向量，满足，且，则与夹角的余弦值为（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】根据题意，设与的夹角为.由，可得，再将两边同时平方，将代入，变形可得的值，即可得答案.【详解】设与的夹角为.∵，∴，∴.①∵，∴②由①②，解得.故选：D.【点睛】本题考查向量数量积的计算，属于基础题.9.已知函数，满足对任意，都有成立，则的取值范围是

（

）A.

B.(1,2]

C.(1，3)

D.参考答案：A略10.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则它的体积可能为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在△中，已知,,则△的面积为

。参考答案：略12.对于三次函数的导数，函数的导数，若方程有实数解为函数的“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数，请你根据上面探究结果，解答以下问题：

（1）函数的对称中心坐标为

______

；

（2）计算=

__________

.参考答案：对称中心……3分；

2012………2分

略13.设函数f（x）=alnx+bx2，若函数f（x）在x=1处与直线y=﹣相切，则实数a+b=．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的概念及应用．分析；求得函数的导数，由题意可得f（1）=﹣，f′（1）=0，解方程即可得到所求值．解∵f（x）=alnx+bx2，∴f′（x）=+2bx，∵函数f（x）在x=1处与直线y=﹣相切，∴，解得a=1，b=﹣．则a+b=．故答案为：．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，正确求导和运用切线方程是解题的关键．14.若，则=__________．

参考答案：略15.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为__________．参考答案：时，，继续，时，，继续，时，，停止，输出．16.若向量满足，求

参考答案：17.若集合A具有以下性质：①；②若，则，且时，.则称集合A是“好集”．

(l)集合是好集；

(2)有理数集Q是“好集”；

(3)设集合A是“好集”，若，则:

(4)设集合A是“好集”，若，则必有；

(5)对任意的一个“好集A，若，且，则必有.则上述命

题正确的有___________．（填序号，多项选择）参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）如图，在长方体，中，，点在棱AB上移动.（1）证明：；（2）当为的中点时，求点到面的距离.

参考答案：解：以为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，则…………2分（1）………………6分（2）因为为的中点，则，从而，，设平面的法向量为，则也即，得，从而，所以点到平面的距离为………………12分19.已知函数.（Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）设函数.当时，恒成立，求实数的取值范围.参考答案：（Ⅰ）当时，.由，解得.所以，不等式的解集为.（Ⅱ）（当且仅当时取等号）（当且仅当时取等号）.综上，当时，有最小值.故由题意得，解得，或.所以，实数的取值范围为.20.(本小题满分12分)已知椭圆和圆，A，B，F分别为椭圆C1左顶点、下顶点和右焦点．⑴点P是曲线C2上位于第二象限的一点，若△APF的面积为，求证：AP⊥OP；⑵点M和N分别是椭圆C1和圆C2上位于y轴右侧的动点，且直线BN的斜率是直线BM斜率的2倍，证明直线MN恒过定点．参考答案：

21.已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在0≤x≤1时有最大值2，求a的值．参考答案：(1)当对称轴x＝a<0时，如图①所示．当x＝0时，y有最大值，ymax＝f(0)＝1－a，所以1－a＝2，即a＝－1，且满足a<0，∴a＝－1；(1)当对称轴0≤a≤1时，如图②所示．当x＝a时，y有最大值，ymax＝f(a)＝－a2＋2a2＋1－a＝a2－a＋1.∴a2－a＋1＝2，解得a＝．∵0≤a≤1，∴a＝(舍去)；(3)对称轴x＝a，当a>1时，如图③所示．当x＝1时，y有最大值，ymax＝f(1)＝2a－a＝2，∴a＝2，且满足a>1，∴a＝2.综上可知，a的值为－1或2.22.（本小题满分12分）已知椭圆C：的离心率为，分别为椭圆C的左、右顶点，点满足.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l经过点P且与C交于不同的两点M，N，试问：在x轴上是否存在点Q,使得直线QM与直线QN的斜率的和为定值？若存在，求出点Q的坐标及定值，若不存在，请说明理由.参考答案：解：（1）依题意，，P（2，-1），所以=（-a-2,1）·(a-2,1)=5-a2,(2分)由=1，a>0,得a=2,因为e=，所以c=，b2=a2-c2=1，（4分）故椭圆C的方程为.（5分）（2）假设存在满足条件的点Q（t，0），当直线l