计量经济学第四章序列相关性

§4.2序列相关性一、序列相关性的概念二、实际经济问题中的序列相关性三、序列相关性的后果四、序列相关性的检验五、序列相关性的补救六、案例当前第1页\共有49页\编于星期五\14点一、序列相关性的概念如果对于不同的样本点，随机误差项之间不再是不相关的，而是存在某种相关性，即：Cov(i

,j)≠0ij,i,j=1,2,…,n则认为出现了序列相关性（serialcorrelation）。对于模型：

Yi=0+1X1i+2X2i+…+kXki+i

i=1,2,…,n当前第2页\共有49页\编于星期五\14点#序列相关性下的方差－协方差阵此时，随机误差项之间的方差－协方差阵为：当前第3页\共有49页\编于星期五\14点#自相关（autocorrelation）序列相关经常出现在以时间序列数据为样本的模型中，此时，不同样本点的区别仅在于时间的不同这意味着，此时的序列相关性表现为不同时间上的随机误差项存在相关，这一情形下的序列相关也通常称之为自相关为此，本节将表示不同样本点的下标i

改为t。当前第4页\共有49页\编于星期五\14点如果仅存在：cov(t,t－1)=E(tt－1)0t=2,…,n即：随机误差项只与其前一期值有关（或者说，仅是相邻的随机误差项之间存在相关），则称为一阶自相关。一阶序列相关时，随机误差项可以表示为：t=t-1+t-1<<1

称为一阶自回归形式，记为AR(1)，其中：

：被称为一阶自相关系数（first-ordercoefficientofautocorrelation）

i：满足标准的OLS假定的随机干扰项#一阶自相关（first-orderautocorrelation）当前第5页\共有49页\编于星期五\14点序列相关的一般形式可以表示成：称为P阶自回归形式，记为AR(p)，表示模型存在P阶自相关。

t－1、t－2、…、t－p分别表示t的前1期、前2期、…、前p期项，又称为滞后1期、滞后2期、…、滞后p期项。1、2、…，p称为1阶、2阶、…，p阶自相关系数。#高阶自相关（high-orderautocorrelation）当前第6页\共有49页\编于星期五\14点二、实际经济问题中的序列相关性大多数经济时间数据都有一个明显的特点:惯性，表现在时间序列不同时间的前后关联上。由于消费习惯的影响被包含在随机误差项中，则可能出现序列相关性（往往是正相关）。例如：绝对收入假设下居民总消费函数模型：

Ct=0+1Yt+tt=1,2,…,n1、经济变量固有的惯性序列相关性往往出现在以时间序列数据为样本的模型中，产生这一问题的原因主要来自三个方面：当前第7页\共有49页\编于星期五\14点许多经济行为存在滞后效应，即当期的经济行为不仅影响当期的有关结果，而且也会对以后若干期的结果存在影响，这使得作为结果变量的经济变量在不同时间上呈现出序列相关性。例如：

固定资产的形成，不仅与当期的固定资产投资有关，也与前期多年的固定资产投资有关

今年的家庭消费水平，不仅与今年的收入有关，也与前期多年的收入有关以及前期多年的消费支出有关

企业当期的销售收入，同样会受到前期的商品销售水平有关2、经济行为的滞后性当前第8页\共有49页\编于星期五\14点所谓模型设定偏误（Specificationerror）是指所设定的模型“不正确”。主要表现在模型中丢掉了重要的解释变量或模型函数形式有偏误。例如：本来应该估计的模型为：

Yt=0+1X1t+2X2t+3X3t+t但在模型设定中做了下述回归：

Yt=0+1X1t+1X2t+vt因此：vt=3X3t+t，如果X3确实影响Y，则出现序列相关。3、模型设定的偏误这是横截面数据也可能存在序列相关性的重要原因当前第9页\共有49页\编于星期五\14点

例如：

季度数据来自月度数据的简单平均，这种平均的计算减弱了每月数据的波动性，从而使随机干扰项出现序列相关。还有就是两个时间点之间的“内插”技术往往导致随机项的序列相关性。在实际经济问题中，有些数据是通过已知数据生成的。因此，新生成的数据与原数据间就有了内在的联系，表现出序列相关性。4、数据的处理当前第10页\共有49页\编于星期五\14点三、序列相关性的后果1、参数估计量仍然无偏，但非有效因为：在有效性证明中利用了：

E(NN’)=2I

即同方差性和互相独立性条件。而且：在大样本情况下，参数估计量虽然具有一致性，但仍然不具有渐近有效性。*通常情形下，采用OLS将会低估参数估计量的标准差，也会低估随机误差项的方差б2当前第11页\共有49页\编于星期五\14点在变量的显著性检验中，统计量是建立在参数方差正确估计基础之上的，这只有当随机误差项具有同方差性和互相独立性时才能成立。2、变量的显著性检验失去意义通常情况下，存在序列相关性时，参数估计值的样本方差往往会被低估，此时变量t检验和方程F检验的显著性容易被夸大！当前第12页\共有49页\编于星期五\14点参数估计值非有效（真实方差往往被低估），失去最优性，样本估计式失准随机误差项的方差一般会被低估区间预测与参数估计量的方差和随机误差项的方差均有关在方差有偏误的情况下，使得预测估计不准确，预测可信度降低。所以，当模型出现序列相关性时，它的预测功能失效。3、模型的预测失效当前第13页\共有49页\编于星期五\14点然后，通过分析这些“近似估计量”之间的相关性，以判断随机误差项是否具有序列相关性。基本思路：四、序列相关性的检验当前第14页\共有49页\编于星期五\14点（一）图示检验法当前第15页\共有49页\编于星期五\14点（二）回归检验法……

如果存在某一种函数形式，使得方程显著成立，则说明原模型存在序列相关性。优点：（1）能够确定序列相关的形式;（2）适用于任何类型序列相关性问题的检验。缺点：工作量大，计算复杂，检验繁琐当前第16页\共有49页\编于星期五\14点（三）杜宾-瓦森检验法（DW检验）D-W检验是杜宾（J.Durbin）和瓦森(G.S.Watson)于1951年提出的一种检验序列自相关的方法该方法只适用于检验一阶自相关（1）解释变量X非随机；（2）随机误差项t为一阶自回归形式：

t=t-1+t（3）回归模型中不应含有滞后因变量作为解释变量，即不应出现下列形式：

Yt=0+1X1t+kXkt+Yt-1+t（4）回归含有截距项假定条件当前第17页\共有49页\编于星期五\14点该统计量的分布与出现在给定样本中的X值有复杂的关系，因此其精确的分布很难得到。但是，他们成功地导出了临界值的下限dL和上限dU，且这些上下限只与样本的容量n

和解释变量的个数k

有关，而与解释变量X的取值无关。杜宾和瓦森针对原假设：H0:=0，即不存在一阶自回归，构造如下统计量：＃D.W.检验统计量当前第18页\共有49页\编于星期五\14点D.W.检验步骤（1）提出假设：H0:ρ=0（不存在一阶自相关）H1:ρ≠0（2）计算DW值（3）给定，由n和（k＋1）的大小查DW分布表，得临界值dL和dU（4）比较、判断0<D.W.<dL

存在正自相关dL<D.W.<dU

不能确定dU<D.W.<4－dU无自相关4－dU<D.W.<4－dL

不能确定4－dL<D.W.<4存在负自相关当前第19页\共有49页\编于星期五\14点#DW检验的图示0dLdU24-dU4-dL

正相关不能确定无自相关不能确定负相关当前第20页\共有49页\编于星期五\14点

证明：展开D.W.统计量：(*)#D.W.检验统计量的说明DW检验表明：当D.W.值在2左右时，模型不存在一阶自相关其中：ρ为一阶自相关系数一阶自回归模型：i=i-1+i

的参数估计。当前第21页\共有49页\编于星期五\14点由于自相关系数的值介于－1和＋1之间，因此：0≤DW≈2(1-ρ)≤4如果存在完全一阶正相关，即=1，则D.W.0

完全一阶负相关，即=-1,则D.W.4

完全不相关，即=0，则D.W.20dLdU24-dU4-dL

正相关不能确定无自相关不能确定负相关当前第22页\共有49页\编于星期五\14点DW检验是最常用的自相关性的检验方法，在报告回归分析的结果时，一般将DW值连同R2、t值等一起标明。但在应用DW检验时需要注意：1）DW值接近于2时，只能说明模型不存在一阶线性自相关，但并不意味着模型不存在高阶自相关或者非线性相关2）DW值落入两个无法判断的区域时，需要采用其它检验方法3）不适用于联立方程组模型中各单一方程随机误差项序列相关的检验4）DW检验不适用于模型中含有滞后被解释变量的情况，即不适用于如下模型Yt=0+1X1t++kXkt+Yt-1+t＃使用D.W.检验时需要注意的问题当前第23页\共有49页\编于星期五\14点针对滞后变量模型：Yt=0+1X1t++kXkt+Yt-1+t上述模型，Durbin提出Durbin－h统计量：#DH统计量当前第24页\共有49页\编于星期五\14点（四）拉格朗日乘数检验（LagrangeMultiplier）LM检验是由布劳殊（Breusch）与戈弗雷（Godfrey）于1978年提出的，也被称为GB检验。拉格朗日乘数检验克服了DW检验的缺陷，适合于高阶序列相关以及模型中存在滞后被解释变量的情形。对于模型如果怀疑随机扰动项存在p阶序列相关，即随机误差项存在：当前第25页\共有49页\编于星期五\14点则构造以下辅助回归模型：在原假设：H0:1=2=…=p=0（无序列相关）成立时，有：其中：n为辅助回归样本容量，R2为辅助回归的可决系数：给定，查临界值2(p)，与LM值比较，如果超出则拒绝H0实际检验中，可从1阶、2阶、…逐次向更高阶检验。当前第26页\共有49页\编于星期五\14点检验时需要事先确定准备检验的阶数P,实际检验中，可从1阶、2阶、…逐次向更高阶检验。检验结果显著时，可以说明存在序列相关，但是并不一定代表序列相关的阶数一定能够达到所检验的阶数。低阶序列相关的存在往往会导致高阶序列相关检验的显著性具体阶数的判断，需要结合辅助回归中自相关系数的显著性＃使用GB检验时需要注意的问题(0.22)(-0.497)(4.541)（-1.842）（0.087）

R2=0.6615当前第27页\共有49页\编于星期五\14点如果模型被检验证明存在序列相关性，则首先需要分析其原因，对症下药：如果产生序列相关的原因是变量选择失准（如遗漏了重要的解释变量等），则应调整变量；如果是模型设定不当，应当调整模型形式。——虚假的序列相关问题如果原因在于客观经济现象的自身特点，如经济变量的惯性作用等，则需要发展新的估计方法最常用的方法是广义最小二乘法（GLS:Generalizedleastsquares）和广义差分法(GD，GeneralizedDifference)。五、序列相关性的补救当前第28页\共有49页\编于星期五\14点（一）广义最小二乘法对于模型：Y=X+

（X为设计矩阵，Y、β、μ为列向量）如果存在序列相关，同时存在异方差，即有：是一对称正定矩阵，存在一可逆矩阵D，使得：

=DD’广义最小二乘法（GLS)是最具有普遍意义的最小二乘法，普通最小二乘法（OLS）和加权最小二乘法（WLS）是其特例当前第29页\共有49页\编于星期五\14点变换原模型（D-1左乘）：D-1Y=D-1X+D-1

即：Y*=X*+*

(*)(*)式的OLS估计：此即原模型的广义最小二乘估计量(GLSE)，是无偏的、有效的估计量。(*)模型具有同方差性和无序列相关性，因为：当前第30页\共有49页\编于星期五\14点＃如何得到矩阵？——近似估计矩阵是原模型随机误差项的方差－协方差阵。获得的一种方法是采用随机误差项的近似估计量构造当前第31页\共有49页\编于星期五\14点获取的更精确的方法是根据原模型序列相关的具体形式进行估计常见的是假设随机误差项具有一阶序列相关性，即：

i=i-1+i(－1<<1)此时，可以证明：＃如何得到矩阵？——精确估计当前第32页\共有49页\编于星期五\14点证明：由：i=i-1+i(－1<<1)有：即：由：有：当前第33页\共有49页\编于星期五\14点当前第34页\共有49页\编于星期五\14点广义差分法是利用广义差分变换将原模型变换为满足基本假设的差分模型，再进行OLS估计。是一类克服序列相关性的有效方法，被广泛采用。对于模型:将模型滞后一期，有：同理，模型滞后p期的形式为：（二）广义差分法当前第35页\共有49页\编于星期五\14点如果模型存在:对模型施行广义P阶差分变换，有：该模型为原模型的广义差分模型，不存在序列相关问题，可进行OLS估计，从而获得原模型的最佳估计量，即：当前第36页\共有49页\编于星期五\14点广义差分法实质上与广义最小二乘法是一致的，只是GD法中损失了部分样本观测值。这相当于GLS中的D-1去掉第一行后左乘原模型：Y=X+

＃GD和GLS的关系如：一阶序列相关的情况下,广义差分是估计即运用了GLS法，但第一次观测值被排除了。则GD与GLS完全等价。（普莱斯－温斯特变换）当前第37页\共有49页\编于星期五\14点（三）随机误差项的自相关系数ρ的估计应用广义最小二乘法或广义差分法，必须已知随机误差项的自相关系数1,

2,…,

L。实际上，人们并不知道它们的具体数值，所以必须首先对它们进行估计。常用的估计方法有：（1）利用DW统计量进行近似估计（2）科克伦-奥科特（Cochrane-Orcutt）迭代法。（3）杜宾（durbin）两步法当前第38页\共有49页\编于星期五\14点（1）利用DW统计量进行估计对于一阶自相关：由：有：仅适用于一阶自相关情形，用于构建一阶差分模型。所估计的为一阶自相关系数当前第39页\共有49页\编于星期五\14点（2）科克伦-奥科特迭代法以一元线性模型为例。1）首先采用OLS法估计原模型：Yt=0+1Xt+t得到的i的“近似估计值”et(1)，2）以et(1)作为观测值使用OLS法估计下式：

t=1t-1+2t-2+pt-p+t

得到：作为随机误差项的相关系数的第一次估计值当前第40页\共有49页\编于星期五\14点求出i新的“近似估计值”et(2)3）利用构造广义差分模型：进行OLS估计，得到回归系数的估计4）将代回原模型：Yt=0+1Xt+t6）重复上述步骤，可得相关系数的多次迭代值。注：具体迭代次数，可根据具体问题来定。一般可事先规定一个精度δ，当时，迭代终止。实际中一般只需要迭代两次即可。因此上述方法又称为科克伦－奥科特两步法。5）重复步骤2），得到相关系数的第二次估计值：当前第41页\共有49页\编于星期五\14点#科克伦-奥科特迭代法图示当前第42页\共有49页\编于星期五\14点第一步：变换差分模型为下列形式进行OLS估计，得各Yj（j=t-1,t-2,…,t-p)前的系数1,2,,p的估计值(3）杜宾（durbin）两步法当前第43页\共有49页\编于星期五\14