【三套打包】滨州市人教版初中数学八年级下册第十七章勾股定理单元试题含答案

人教版初中数学八年级下册第十七章勾股定理检测试题一、选择题（每小题3分，共30分）1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD是AB边上的中线，则CD的长是（）A．20 B．10 C．5 D．2.下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A．2，3，4 B．4，5，6 C．1.5，2，2.5 D．1，，33.如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行（）米．A．10B．9 C．8 D．114.等腰三角形的底边长为6，底边上的中线长为4，它的腰长为（）A．7 B．6 C．5 D．45.如图，OP=1，过P作PP1⊥OP，得OP1=；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2=；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2；…依次法继续作下去，得OP2019的值等于（）A． B． C． D．第1题图第3题图第5题图第7题图6.已知直角三角形的两边长分别是5和12，则第三边为（）A．13 B． C．13或 D．不能确定7.如图，平安路与幸福路是两条平行的道路，且与新兴大街垂直，老街与小米胡同垂直，书店位于老街与小米胡同的交口处，如果小强同学站在平安路与新兴大街的交叉路口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程为（）m．A．600 B．400 C．2000 D．5008.中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家是公元3世纪三国时期的赵爽，他为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成．将图中正方形MNKT，正方形EFGH，正方形ABCD的面积分别记为S1，S2，S3，若S1+S2+S3=18，则正方形EFGH的面积为（）A．9 B．6 C．5 D．第8题图第9题图第10题图9.如图，修公路遇到一座山，于是要修一条隧道．为了加快施工进度，想在小山的另一侧同时施工．为了使山的另一侧的开挖点C在AB的延长线上，设想过C点作直线AB的垂线L，过点B作一直线（在山的旁边经过），与L相交于D点，经测量∠ABD=135°，BD=800米，则直线L上距离D点C处开挖的长度是（）。A．400 B．400C．500 D.50010.如图，一只蚂蚁从长、宽都是4，高是6的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是（）A．9 B．10 C． D．二、填空题（每小题4分，共24分）11.三个正方形的面积如图所示，则字母B所代表的正方形的面积是．12.如图，已知OA=OB，那么数轴上点A所表示的数是．13.如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点．若AD=6，DE=5，则CD的长等于．第11题图第12题图第13题图14.直角三角形中，两直角边长分别为12和5，则斜边中线长是．15.一架方梯AB长25米，如图所示，斜靠在一面上，梯子底端离墙7米。如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了米.第15题图第16题图16.如图，一透明的圆柱体玻璃杯，从内部测得底部直径为6cm，杯深8cm．今有一根长为16cm的吸管如图放入杯中，露在杯口外的长度为h，则h的变化范围是：．三、解答题（17-19每题8分，20每题10分，21题12分，共46分）17.如图四边形ABCD是一块草坪，量得四边长AB=3m，BC=4m，DC=12m，AD=13m，∠B=90°，求这块草坪的面积．18.在解答“判断由长为、2、的线段组成的三角形是不是直角三角形”一题中，小明是这样做的解：设a=，b=2，c=，又因为a2+b2=（）2+22=≠=c2．所以由a、b、c组成的三角形不是直角三角形，你认为小明的解答正确吗？请说明理由．19.如图，在一棵树的10米高B处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘C，而另一只爬到树顶D后直扑池塘C，结果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？20.a，b，c为三角形ABC的三边，且满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，试判别这个三角形的形状．21.如图，由5个边长为1的正方形组成一个“十”字形，一共有12个顶点，要求：从这12点中取出4个点，直接在图中连出不同大小的正方形，并写出相应的正方形的边长．（1）图1边长是；（2）图2边长是．22.如图1，有一组平行线l1∥l2∥l3∥l4，正方形ABCD的四个顶点A、B、C、D分别在l1、l2、l3、l4上，过点D作DE⊥l1于点E．已知相邻两条平行线之间的距离为2．（1）求AE及正方形ABCD的边长；（2）如图2，延长AD交l4于点G，求CG的长度．参考答案：一、选择题（每小题3分，共30分）1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD是AB边上的中线，则CD的长是（）A．20 B．10 C．5 D．【考点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线．【分析】在Rt△ABC中，根据勾股定理求得AB=10；然后根据直角三角形斜边上的中线的性质来求CD的长度．【解答】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，∴AB===10．又∵CD是AB边上的中线，∴CD=AB=5．故选：C．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线、勾股定理．在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）．2.下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A．2，3，4 B．4，5，6 C．1.5，2，2.5 D．1，，3【考点】勾股定理的逆定理．【分析】三角形三边满足两个较小边的平方和等于较大边的平方，这个三角形就是直角三角形．【解答】解：A、22+32≠42，不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意．B、42+52≠62，不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意．C、1.52+22=2.52，能作为直角三角形的三边长，故本选项符合题意．D、12+（）2≠32，不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意．故选C．【点评】本题考查勾股定理的逆定理，关键知道两个较小边的平方和等于较大边的平方，这个三角形就是直角三角形．3.如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行（）米．A．10B．9 C．8 D．11【考点】勾股定理的应用．【分析】从题目中找出直角三角形并利用勾股定理解答．【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，连接BD．在Rt△BDE中，DE=8米，BE=8﹣2=6米．根据勾股定理得BD=10米．故选A。4.等腰三角形的底边长为6，底边上的中线长为4，它的腰长为（）A．7 B．6 C．5 D．4【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．【专题】压轴题．【分析】根据等腰三角形的性质可知BC上的中线AD同时是BC上的高线，根据勾股定理求出AB的长即可．【解答】解：∵等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是BC上的中线，∴BD=CD=BC=3，AD同时是BC上的高线，∴AB==5，故选C．【点评】本题考查勾股定理及等腰三角形的性质．解题关键是得出中线AD是BC上的高线，难度适中．5.如图，OP=1，过P作PP1⊥OP，得OP1=；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2=；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2；…依次法继续作下去，得OP2019的值等于（）A． B． C． D．【考点】勾股定理．【分析】首先根据勾股定理求出OP4，再由OP1，OP2，OP3的长度找到规律进而求出OP2016的长．【解答】解：由勾股定理得：OP1=，OP2=，OP3==2，…；依此类推可得：OPn=，∴OP2019=，故选：D．第1题图第3题图第5题图第7题图6.已知直角三角形的两边长分别是5和12，则第三边为（）A．13 B． C．13或 D．不能确定【考点】勾股定理．【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即12是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．【解答】解：当12是斜边时，第三边长==；当12是直角边时，第三边长==13；故第三边的长为：或13．故选C．7.如图，平安路与幸福路是两条平行的道路，且与新兴大街垂直，老街与小米胡同垂直，书店位于老街与小米胡同的交口处，如果小强同学站在平安路与新兴大街的交叉路口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程为（）m．A．600 B．400 C．2000 D．500【考点】勾股定理的应用．【分析】由于BC∥AD，那么有∠DAE=∠ACB，由题意可知∠ABC=∠DEA=90°，BA=ED，利用AAS可证△ABC≌△DEA，于是AE=BC=300，再利用勾股定理可求AC，即可求CE，根据图可知从B到E的走法有两种，分别计算比较即可．【解答】解：如右图所示，∵BC∥AD，∴∠DAE=∠ACB，又∵BC⊥AB，DE⊥AC，∴∠ABC=∠DEA=90°，又∵AB=DE=400m，∴△ABC≌△DEA，∴EA=BC=300m，在Rt△ABC中，AC==500m，∴CE=AC﹣AE=200m，从B到E有两种走法：①BA+AE=700m；②BC+CE=500m，∴最近的路程是500m．故答案是：500．【点评】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理．解题的关键是证明△ABC≌△DEA，并能比较从B到E有两种走法．8.中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家是公元3世纪三国时期的赵爽，他为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成．将图中正方形MNKT，正方形EFGH，正方形ABCD的面积分别记为S1，S2，S3，若S1+S2+S3=18，则正方形EFGH的面积为（）A．9 B．6 C．5 D．【考点】勾股定理的证明．【分析】据图形的特征得出四边形MNKT的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，从而用x，y表示出S1，S2，S3，得出答案即可．【解答】解：将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，S1+S2+S3=18，∴得出S1=8y+x，S2=4y+x，S3=x，∴S1+S2+S3=3x+12y=18，故3x+12y=18，x+4y=6，所以S2=x+4y=6，即正方形EFGH的面积为6．故选：B．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，根据已知得出用x，y表示出S1，S2，S3，再利用S1+S2+S3=18求出是解决问题的关键．第8题图第9题图第10题图9.如图，修公路遇到一座山，于是要修一条隧道．为了加快施工进度，想在小山的另一侧同时施工．为了使山的另一侧的开挖点C在AB的延长线上，设想过C点作直线AB的垂线L，过点B作一直线（在山的旁边经过），与L相交于D点，经测量∠ABD=135°，BD=800米，则直线L上距离D点C处开挖的长度是（）。A．400 B．400C．500 D.500【考点】勾股定理的应用．【分析】首先证明△BCD是等腰直角三角形，再根据勾股定理可得CD2+BC2=BD2，然后再代入BD=800米进行计算即可．【解答】解：∵CD⊥AC，∴∠ACD=90°，∵∠ABD=135°，∴∠DBC=45°，∴∠D=45°，∴CB=CD，在Rt△DCB中：CD2+BC2=BD2，2CD2=8002，CD=400（米），答：直线L上距离D点400米的C处开挖．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．10.如图，一只蚂蚁从长、宽都是4，高是6的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是（）A．9 B．10 C． D．【考点】平面展开-最短路径问题．【分析】将长方体展开，得到两种不同的方案，利用勾股定理分别求出AB的长，最短者即为所求．【解答】解：如图（1），AB==；如图（2），AB===10．故选B．二、填空题（每小题4分，共24分）11.三个正方形的面积如图所示，则字母B所代表的正方形的面积是144．【考点】勾股定理．【分析】在本题中，外围正方形的面积就是斜边和一直角边的平方，实际上是求另一直角边的平方，用勾股定理即可解答．【解答】解：如图，根据勾股定理我们可以得出：a2+b2=c2a2=25，c2=169b2=169﹣25=144因此B的面积是144．故答案为：144．【点评】本题主要考查了正方形的面积公式和勾股定理的应用．只要搞清楚直角三角形的斜边和直角边本题就容易多了．12.如图，已知OA=OB，那么数轴上点A所表示的数是﹣．【考点】勾股定理；实数与数轴．【分析】首先根据勾股定理得：OB=．即OA=．又点A在数轴的负半轴上，则点A对应的数是﹣．【解答】解：由图可知，OC=2，作BC⊥OC，垂足为C，取BC=1，故OB=OA===，∵A在x的负半轴上，∴数轴上点A所表示的数是﹣．故答案为：﹣．13.如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点．若AD=6，DE=5，则CD的长等于8．【考点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线．【分析】由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得AC=2DE=10；然后在直角△ACD中，利用勾股定理来求线段CD的长度即可．【解答】解：如图，∵△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点，DE=5，∴DE=AC=5，∴AC=10．在直角△ACD中，∠ADC=90°，AD=6，AC=10，则根据勾股定理，得CD===8．故答案是：8．【点评】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线．利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得AC的长度是解题的难点．第11题图第12题图第13题图14.直角三角形中，两直角边长分别为12和5，则斜边中线长是．【考点】直角三角形斜边上的中线；勾股定理．【分析】根据勾股定理求出斜边，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半计算即可．【解答】解：∵直角三角形中，两直角边长分别为12和5，∴斜边==13，则斜边中线长是，故答案为：．【点评】本题考查的是勾股定理的应用和直角三角形的性质的运用，掌握直角三角形斜边上的中线是斜边的一半是解题的关键．15.一架方梯AB长25米，如图所示，斜靠在一面上，梯子底端离墙7米。如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了米.【解答】解：.在Rt△AOB中，AB=25米，OB=7米，OA===24（米）．答：梯子的顶端距地面24米；.在Rt△AOB中，A′O=24﹣4=20米，OB′===15（米），BB′=15﹣7=8米．故梯子的底端在水平方向滑动了8米．第15题图第16题图16.如图，一透明的圆柱体玻璃杯，从内部测得底部直径为6cm，杯深8cm．今有一根长为16cm的吸管如图放入杯中，露在杯口外的长度为h，则h的变化范围是：6cm＜h＜8cm．【考点】勾股定理的应用．【分析】根据题中已知条件，首先要考虑吸管放进杯里垂直于底面时最短为8cm，则露在杯口外的长度最长为16﹣8=8cm；最长时与底面直径和高正好组成直角三角形，用勾股定理解答进而求出露在杯口外的长度最短．【解答】解：当吸管放进杯里垂直于底面时最短为8cm，则露在杯口外的长度最长为16﹣8=8cm；最长时与底面直径和高正好组成直角三角形，底面直径为6cm，高为8cm，所以由勾股定理可得杯里面管长为=10cm，则露在杯口外的长度最长为16﹣10=6cm；所以，露在杯口外的长度在6cm和8cm范围变化．故答案为：6cm＜h＜8cm．三、解答题（17-19每题8分，20每题10分，21题12分，共46分）17.如图四边形ABCD是一块草坪，量得四边长AB=3m，BC=4m，DC=12m，AD=13m，∠B=90°，求这块草坪的面积．【考点】勾股定理的应用；三角形的面积．【专题】应用题．【分析】连接AC，由∠B=90°，AB=3cm，BC=4cm可知AC=5cm；由AC、AD、CD的长可判断出△ACD是直角三角形，根据两三角形的面积可求出草坪的面积．【解答】解：在Rt△ABC中，AB=3m，BC=4m，∠B=90°由勾股定理得AB2+BC2=AC2∴AC=5m（2分）在△ADC中，AC=5m，DC=12m，AD=13m∴AC2+DC2=169，AD2=169∴AC2+DC2=AD2∠ACD=90°（5分）四边形的面积=SRt△ABC+SRt△ADC===36（m2）答：这块草坪的面积是36m2【点评】本题是勾股定理在实际中的应用，比较简单．18.在解答“判断由长为、2、的线段组成的三角形是不是直角三角形”一题中，小明是这样做的解：设a=，b=2，c=，又因为a2+b2=（）2+22=≠=c2．所以由a、b、c组成的三角形不是直角三角形，你认为小明的解答正确吗？请说明理由．【考点】勾股定理的逆定理．【分析】根据勾股定理的逆定理，求出两小边的平方和和大边的平方，看看是否相等即可．【解答】解：小明的做法不正确，理由是：∵（）2+（）2=22，∴三角形是直角三角形．19.如图，在一棵树的10米高B处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘C，而另一只爬到树顶D后直扑池塘C，结果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？【考点】勾股定理的应用．【分析】首先根据题意，正确画出图形，还要根据题意确定已知线段的长，再根据勾股定理列方程进行计算．【解答】解：设BD=x米，则AD=（10+x）米，CD=（30﹣x）米，根据题意，得：（30﹣x）2﹣（x+10）2=202，解得x=5．即树的高度是10+5=15米．【点评】能够根据题意用同一个未知数表示出直角三角形的三边是解决此题的关键．20.a，b，c为三角形ABC的三边，且满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，试判别这个三角形的形状．【考点】勾股定理的逆定理；非负数的性质：偶次方；完全平方公式．【专题】计算题．【分析】现对已知的式子变形，出现三个非负数的平方和等于0的形式，求出a、b、c，再验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．【解答】解：由a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，得：（a2﹣10a+25）+（b2﹣24b+144）+（c2﹣26c+169）=0，即：（a﹣5）2+（b﹣12）2+（c﹣13）2=0，由非负数的性质可得：，解得，∵52+122=169=132，即a2+b2=c2，∴∠C=90°，即三角形ABC为直角三角形．【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用、完全平方公式、非负数的性质．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．21.如图，由5个边长为1的正方形组成一个“十”字形，一共有12个顶点，要求：从这12点中取出4个点，直接在图中连出不同大小的正方形，并写出相应的正方形的边长．（1）图1边长是；（2）图2边长是．考点：勾股定理．分析：画出图形，根据勾股定理解答．解答：解：（1）边长是=；（2）边长是=；另：（3）边长是1．故答案为，．点评： 本题考查了勾股定理，找到图形中的直角三角形是解题的关键．22.如图1，有一组平行线l1∥l2∥l3∥l4，正方形ABCD的四个顶点A、B、C、D分别在l1、l2、l3、l4上，过点D作DE⊥l1于点E．已知相邻两条平行线之间的距离为2．（1）求AE及正方形ABCD的边长；（2）如图2，延长AD交l4于点G，求CG的长度．考点：全等三角形的判定与性质；平行线之间的距离；正方形的性质．分析：（1）利用已知得出△FAB≌△EDA（AAS），即可得出AE，以及正方形的边长；（2）如图2，过点D作DH⊥CG于点H，利用勾股定理求得DH的长度，然后由射影定理来求CG的长度．解：（1）如图1，过B点作BF⊥l1，垂足为F，人教新版八年级下册第17章《勾股定理》解答题专项练习题（含答案）《勾股定理》解答题专项练习题1．在△ABC中，∠ABC＝90°，D为平面内一动点，AD＝a，AC＝b，其中a，b为常数，且a＜b．将△ABD沿射线BC方向平移，得到△FCE，点A、B、D的对应点分别为点F、C、E．连接BE．（1）如图1，若D在△ABC内部，请在图1中画出△FCE；（2）在（1）的条件下，若AD⊥BE，求BE的长（用含a，b的式子表示）；（3）若∠BAC＝α，当线段BE的长度最大时，则∠BAD的大小为；当线段BE的长度最小时，则∠BAD的大小为（用含α的式子表示）．2．如图，甲轮船以16海里/小时的速度离开港口O向东南方向航行，乙轮船同时同地向西南方向航行，已知他们离开港口一个半小时后分别到达B、A两点，且知AB＝30海里，问乙轮船每小时航行多少海里？3．为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图中的AB所在的直线上建一图书室，本社区有两所学校所在的位置在点C和点D处，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B．已知AB＝2.5km，CA＝1.5km，DB＝1.0km，试问：图书室E应该建在距点A多少km处，才能使它到两所学校的距离相等？4．如图所示，四边形ABCD中，AB＝3cm，AD＝4cm，BC＝13cm，CD＝12cm，∠A＝90°，求四边形ABCD的面积．5．如图，已知在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝2cm，AD＝cm，CD＝5cm，BC＝4cm，求四边形ABCD的面积．6．如图，在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线，动点D在直线AM上时，以CD为一边且在CD的下方作等边△CDE，连接BE．（1）填空：∠ACB＝度；（2）当点D在线段AM上（点D不运动到点A）时，试求出的值；（3）若AB＝8，以点C为圆心，以5为半径作⊙C与直线BE相交于点P、Q两点，在点D运动的过程中（点D与点A重合除外），试求PQ的长．7．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，D为斜边BC中点，DE⊥DF，求证：EF2＝BE2+CF2．8．如图、四边形ABCD中，AB＝AD＝6，∠A＝60°，∠ADC＝150°，已知四边形的周长为30，求四边形ABCD的面积．9．如图所示，甲、乙两船同时由港口A出发开往海岛B，甲船沿东北方向向海岛B航行，其速度为15海里/小时；乙船速度为20海里/小时，先沿正东方向航行1小时后，到达C港口接旅客，停留半小时后再转向北偏东30°方向开往B岛，其速度仍为20海里/小时．（1）求港口A到海岛B的距离；（2）B岛建有一座灯塔，在离灯塔方圆5海里内都可以看见灯塔，问甲、乙两船哪一艘先看到灯塔？10．如图在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝3，DA＝1，且∠B＝90°，求∠DAB的度数．11．已知：如图，在△ABC，BC＝2，S△ABC＝3，∠ABC＝135°，求AC、AB的长．12．水池中有水，水面是一个边长为10尺的正方形，水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的终点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度和这根芦苇的长度分别是多少？13．如图，AD是已知△ABC中BC边上的高．P是AD上任意一点，当P从A向D移动时，线段PB、PC的长都在变化，试探索PB2﹣PC2的值如何变化？14．如图，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将向外移多少米？15．在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一C处需要爆破，已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米，与公路上另一停靠站B的距离为400米，且CA⊥CB，如图，为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否有危险，是否而需要暂时封锁？请通过计算进行说明．16．小明听说“武黄城际列车”已经开通，便设计了如下问题：如图，以往从黄石A坐客车到武昌客运站B，现在可以在A坐城际列车到武汉青山站C，再从青山站C坐市内公共汽车到武昌客运站B．设AB＝80km，BC＝20km，∠ABC＝120°．请你帮助小明解决以下问题：（1）求A、C之间的距离；（参考数据＝4.6）（2）若客车的平均速度是60km/h，市内的公共汽车的平均速度为40km/h，城际列车的平均速度为180km/h，为了最短时间到达武昌客运站，小明应该选择哪种乘车方案？请说明理由．（不计候车时间）17．如图，一架长2.5m的梯子AB斜靠在墙AC上，∠C＝90°，此时，梯子的底端B离墙底C的距离BC为0.7m．（1）求此时梯子的顶端A距地面的高度AC；（2）如果梯子的顶端A下滑了0.9m，那么梯子的顶端B在水平方向上向右滑动了多远？18．如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠B＝45°，∠C＝30°，AD＝1，求△ABC的周长．19．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝4，∠A＝60°，BC＝4，CD＝8．（1）求∠ADC的度数；（2）求四边形ABCD的面积．20．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，对角线AC⊥CD，点E在边BC上，且∠AEB＝45°，CD＝10．（1）求AB的长；（2）求EC的长．21．校车安全是近几年社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载，某中学九年级数学活动小组进行了测试汽车速度的实验．如图，先在笔直的公路1旁选取一点A，在公路1上确定点B、C，使得AC⊥l，∠BAC＝60°，再在AC上确定点D，使得∠BDC＝75°，测得AD＝40米．已知本路段对校车限速是50千米/时，测得某校车从B到C匀速行驶用时10秒．（1）求CD的长．（结果保留根号）（2）问这辆车在本路段是否超速？请说明理由（参考数据：＝1.414，＝1.73）22．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD对折，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．23．定义：若三角形三个内角的度数分别是x、y和z，满足x2+y2＝z2，则称这个三角形为勾股三角形．（1）根据上述定义，“直角三角形是勾股三角形”是真命题还是假命题；（2）已知一勾股三角形三个内角从小到大依次为x、y和z，且xy＝2160，求x+y的值；（3）如图，△ABC中，AB＝，BC＝2，AC＝1+，求证：△ABC是勾股三角形．24．在杭州西湖风景游船处，如图，在离水面高度为5m的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13m，此人以0.5m/s的速度收绳.10s后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少m？（假设绳子是直的，结果保留根号）25．如图，某地方政府决定在相距50km的A、B两站之间的公路旁E点，修建一个土特产加工基地，且使C、D两村到E点的距离相等，已知DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，DA＝30km，CB＝20km，那么基地E应建在离A站多少千米的地方？26．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街道上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪正前方30米C处，过了2秒后，小汽车行驶到B处，测得小汽车与车速检测仪间距离为50米，（1）求BC的长；（2）这辆小汽车超速了吗？27．如图，B、D、C三点在一条直线上，∠ADB＝∠ADC＝90°，BD＝DE，∠DAC＝45°；（1）线段AB、CE的关系为；（2）若BD＝a，AD＝b，AB＝c，请利用此图的面积式证明勾股定理．28．如图，一个直径为10cm的杯子，在它的正中间竖直放一根筷子，筷子露出杯子外1cm，当筷子倒向杯壁时（筷子底端不动），筷子顶端刚好触到杯口，求筷子长度和杯子的高度．29．如图1，在6×8的网格纸中，每个小正方形的边长都为1，动点P、Q分别从点D、A同时出发向右移动，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒1个单位，当点P运动到点C时，两个点都停止运动．（1）请在6×8的网格纸图2中画出运动时间t为2秒时的线段PQ并求其长度；（2）在动点P、Q运动的过程中，△PQB能否成为PQ＝BQ的等腰三角形？若能，请求出相应的运动时间t；若不能，请说明理由．30．如图，将边长为a与b、对角线长为c的长方形纸片ABCD，绕点C顺时针旋转90°得到长方形FGCE，连接AF．通过用不同方法计算梯形ABEF的面积可验证勾股定理，请你写出验证的过程．31．一、阅读理解：在△ABC中，BC＝a，CA＝b，AB＝c；（1）若∠C为直角，则a2+b2＝c2；（2）若∠C为锐角，则a2+b2与c2的关系为：a2+b2＞c2；（3）若∠C为钝角，试推导a2+b2与c2的关系．二、探究问题：在△ABC中，BC＝a＝3，CA＝b＝4，AB＝c，若△ABC是钝角三角形，求第三边c的取值范围．32．已知等腰三角形ABC的底边BC＝20cm，D是腰AB上一点，且CD＝16cm，BD＝12cm．（1）求证：CD⊥AB；（2）求该三角形的腰的长度．33．在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D、E是直线AB上两点．∠DCE＝45°（1）当CE⊥AB时，点D与点A重合，显然DE2＝AD2+BE2（不必证明）；（2）如图，当点D不与点A重合时，求证：DE2＝AD2+BE2；（3）当点D在BA的延长线上时，（2）中的结论是否成立？画出图形，说明理由．34．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2证明：连结DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b﹣a∵S四边形ADCB＝S△ACD+S△ABC＝b2+ab．又∵S四边形ADCB＝S△ADB+S△DCB＝c2+a（b﹣a）∴b2+ab＝c2+a（b﹣a）∴a2+b2＝c2请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB＝90°．求证：a2+b2＝c2．35．一架方梯AB长25米，如图所示，斜靠在一面上：（1）若梯子底端离墙7米，这个梯子的顶端距地面有多高？（2）在（1）的条件下，如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？36．如图，Rt△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝90°，CD⊥AB交AB于D，以CD为较短的直角边向△CDB的同侧作Rt△DEC，满足∠E＝30°，∠DCE＝90°，再用同样的方法作Rt△FGC，∠FCG＝90°，继续用同样的方法作Rt△HIC，∠HCI＝90°．若AC＝a，求CI的长．37．在寻找马航MH370航班过程中，两艘搜救舰艇接到消息，在海面上有疑似漂浮目标A、B．接到消息后，一艘舰艇以16海里/时的速度离开港口O（如图所示）向北偏东40°方向航行，另一艘舰艇在同时以12海里/时的速度向北偏西一定角度的航向行驶，已知它们离港口一个半小时后相距30海里，问另一艘舰艇的航行方向是北偏西多少度？38．在合肥市地铁一号线的修建过程中，原设计的地铁车站出入口高度较低，为适应地形，把地铁车站出入口上下楼梯的高度普遍增加了，如图所示，已知原设计楼梯BD长20米，在楼梯水平长度（BC）不发生改变的前提下，楼梯的倾斜角由30°增大到45°，那么新设计的楼梯高度将会增加多少米？（结果保留整数，参考数据：≈1.414，≈1.732）39．阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a，b，c，称为勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为：其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数．应用：当n＝1时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长．40．如图，在钝角△ABC中，BC＝9，AB＝17，AC＝10，AD⊥BC于D，求AD的长．

参考答案一．解答题1．解：（1）如图，（2）连接BF．∵将△ABD沿射线BC方向平移，得到△FCE，∴AD∥EF，AD＝EF；AB∥FC，AB＝FC．∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCF为矩形．∴AC＝BF．∵AD⊥BE，∴EF⊥BE．∵AD＝a，AC＝b，∴EF＝a，BF＝b．∴．（3）①如图，当线段BE的长度最大时，E点在BF的延长线上，∵四边形ABCF是矩形，∠BAC＝α，∴∠BFC＝α，∴∠EFC＝180°﹣α．∴∠BAD＝180°﹣α．②如图，当线段BE的长度最小时，E点在BF上，∵四边形ABCF是矩形，∠BAC＝α，∴AC＝BF，且互相平分，∴∠BAC＝∠ABF，∠BFC＝∠ACF，∵∠AOB＝∠COF，∴∠BAC＝∠ABF＝∠BFC＝∠ACF，∴∠BFC＝∠BAC＝α，∴∠BAD＝α．故答案为：180°﹣α，α．2．解：∵甲轮船向东南方向航行，乙轮船向西南方向航行，∴AO⊥BO，∵甲轮船以16海里/小时的速度航行了一个半小时，∴OB＝16×1.5＝24海里，AB＝30海里，∴在Rt△AOB中，AO＝＝＝18，∴乙轮船每小时航行18÷1.5＝12海里．3．解：由题意可得：设AE＝xkm，则EB＝（2.5﹣x）km，∵AC2+AE2＝EC2，BE2+DB2＝ED2，EC＝DE，∴AC2+AE2＝BE2+DB2，∴1.52+x2＝（2.5﹣x）2+12，解得：x＝1．答：图书室E应该建在距点A1km处，才能使它到两所学校的距离相等．4．解：连接BD，∵AB＝3cm，AD＝4cm，∠A＝90°∴BD＝5cm，S△ABD＝×3×4＝6cm2又∵BD＝5cm，BC＝13cm，CD＝12cm∴BD2+CD2＝BC2∴∠BDC＝90°∴S△BDC＝×5×12＝30cm2∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BDC＝6+30＝36cm2．5．解：连接BD．∵∠A＝90°，AB＝2cm，AD＝，∴根据勾股定理可得BD＝3，又∵CD＝5，BC＝4，∴CD2＝BC2+BD2，∴△BCD是直角三角形，∴∠CBD＝90°，∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD＝AB•AD+BC•BD＝×2×+×4×3＝+6（cm2）．6．解：（1）60；（3分）（2）如图（2），∵△ABC与△DEC都是等边三角形∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°∴∠ACD+∠DCB＝∠DCB+∠BCE∴∠ACD＝∠BCE（5分）∴△ACD≌△BCE（SAS）∴AD＝BE，∴＝1（7分）（3）如图（3），①当点D在线段AM上（不与点A重合）时，由（2）可知△ACD≌△BCE，则∠CBE＝∠CAD＝30°，作CH⊥BE于点H，则PQ＝2HQ，连接CQ，则CQ＝5．在Rt△CBH中，∠CBH＝30°，BC＝AB＝8，则CH＝BC•sin30°＝8×＝4．在Rt△CHQ中，由勾股定理得：HQ＝，则PQ＝2HQ＝6．（9分）②如图5，当点D在线段AM的延长线上时，∵△ABC与△DEC都是等边三角形∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°∴∠ACB+∠DCB＝∠DCB+∠DCE∴∠ACD＝∠BCE∴△ACD≌△BCE（SAS）∴∠CBE＝∠CAD＝30°，同理可得：PQ＝6（11分）③如图4，当点D在线段MA的延长线上时，∵△ABC与△DEC都是等边三角形∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠ACB＝180°∴∠ACD＝∠BCE∴△ACD≌△BCE（SAS）∴∠CBE＝∠CAD∵∠CAM＝30°∴∠CBE＝∠CAD＝150°∴∠CBQ＝30°同理可得：PQ＝6综上，PQ的长是6．（13分）7．证明：延长ED到G，使DG＝DE，连接EF、FG、CG，如图所示：在△EDF和△GDF中，∴△EDF≌△GDF（SAS），∴EF＝FG又∵D为斜边BC中点∴BD＝DC在△BDE和△CDG中，，∴△BDE≌△CDG（SAS）∴BE＝CG，∠B＝∠BCG∴AB∥CG∴∠GCA＝180°﹣∠A＝180°﹣90°＝90°在Rt△FCG中，由勾股定理得：FG2＝CF2+CG2＝CF2+BE2∴EF2＝FG2＝BE2+CF2．8．解：连接BD，作DE⊥AB于E，∵AB＝AD＝6，∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴AE＝BE＝AB＝3，∴DE＝＝3，因而△ABD的面积是＝×AB•DE＝×6×3＝9，∵∠ADC＝150°∴∠CDB＝150°﹣60°＝90°，则△BCD是直角三角形，又∵四边形的周长为30，∴CD+BC＝30﹣AD﹣AB＝30﹣6﹣6＝18，设CD＝x，则BC＝18﹣x，根据勾股定理得到62+x2＝（18﹣x）2解得x＝8，∴△BCD的面积是×6×8＝24，S四边形ABCD＝S△ABD+S△BDC＝9+24．答：四边形ABCD的面积是9+24．9．解：（1）过点B作BD⊥AE于D在Rt△BCD中，∠BCD＝60°，设CD＝x，则BD＝，BC＝2x在Rt△ABD中，∠BAD＝45°则AD＝BD＝，AB＝BD＝由AC+CD＝AD得20+x＝x解得：x＝10+10故AB＝30+10答：港口A到海岛B的距离为海里．（2）甲船看见灯塔所用时间：小时乙船看见灯塔所用时间：小时所以乙船先看见灯塔．10．解：如右图所示，连接AC，∵∠B＝90°，AB＝BC＝2，∴AC＝＝2，∠BAC＝45°，又∵CD＝3，DA＝1，∴AC2+DA2＝8+1＝9，CD2＝9，∴AC2+DA2＝CD2，∴△ACD是直角三角形，∴∠CAD＝90°，∴∠DAB＝45°+90°＝135°．故∠DAB的度数为135°．11．解：如图，过点A作AD⊥BC交CB的延长线于D，在△ABC中，∵S△ABC＝3，BC＝2，∴AD＝＝＝3，∵∠ABC＝135°，∴∠ABD＝180°﹣135°＝45°，∴AB＝AD＝3，BD＝AD＝3，在Rt△ADC中，CD＝2+3＝5，由勾股定理得，AC＝＝＝．12．解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，根据勾股定理得：x2+（）2＝（x+1）2，解得：x＝12，芦苇的长度＝x+1＝12+1＝13（尺），答：水池深12尺，芦苇长13尺．13．解：PB2﹣PC2的值不变，根据勾股定理PB2＝BD2+DP2，PC2＝CD2+PD2．∴PB2﹣PC2＝BD2+DP2﹣（CD2+PD2）＝DB2﹣DC2．答：PB2﹣PC2的值不变．14．解；在直角△ABC中，已知AB＝2.5m，BC＝0.7m，则AC＝＝2.4m，∵AC＝AA1+CA1∴CA1＝2m，∵在直角△A1B1C中，AB＝A1B1，且A1B1为斜边，∴CB1＝＝1.5m，∴BB1＝CB1﹣CB＝1.5﹣0.7＝0.8m答：梯足向外移动了0.8m．15．解：如图，过C作CD⊥AB于D，∵BC＝400米，AC＝300米，∠ACB＝90°，∴根据勾股定理得AB＝500米，∵AB•CD＝BC•AC，∴CD＝240米．∵240米＜250米，故有危险，因此AB段公路需要暂时封锁．16．解：（1）过点C作AB的垂线，交AB的延长线于E点，∵∠ABC＝120°，BC＝20，∴BE＝10，在△ACE中，∵AC2＝8100+300，∴；（2）乘客车需时间（小时）；乘列车需时间（小时）；∴选择城际列车．17．解：（1）∵∠C＝90°，AB＝2.5，BC＝0.7，∴AC＝＝＝2.4（米），答：此时梯顶A距地面的高度AC是2.4米；（2）∵梯子的顶端A下滑了0.9米至点A′，∴A′C＝AC﹣A′A＝2.4﹣0.9＝1.5（m），在Rt△A′CB′中，由勾股定理得：A′C2+B′C2＝A′B′2，即1.52+B′C2＝2.52，∴B′C＝2（m），∴BB′＝CB′﹣BC＝2﹣0.7＝1.3（m），答：梯子的底端B在水平方向滑动了1.3m．18．解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．在Rt△ADB中，∵∠B+∠BAD＝90°，∠B＝45°，∴∠B＝∠BAD＝45°，∴AD＝BD＝1，AB＝．在Rt△ADC中，∵∠C＝30°，∴AC＝2AD＝2，∴CD＝，BC＝BD+CD＝1+，∴AB+AC+BC＝++3．19．解：（1）连接BD，∵AB＝AD，∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴∠ADB＝60°，DB＝4，∵42+82＝（4）2，∴DB2+CD2＝BC2，∴∠BDC＝90°，∴∠ADC＝60°+90°＝150°；（2）过B作BE⊥AD，∵∠A＝60°，AB＝4，∴BE＝AB•sin60°＝4×＝2，∴四边形ABCD的面积为：AD•EB+DB•CD＝×4×+×4×8＝4+16．20．解：（1）在Rt△ACD中，∵∠D＝60°，CD＝10，∴AC＝，∠DAC＝30°，又∵AD∥BC，∴∠ACB＝∠DAC＝30°，∴在Rt△ACB中，AB＝AC＝＝．（2）在Rt△ABE中，∠AEB＝45°，∴BE＝AB＝，由（1）可知，BC＝AB＝＝15，∴EC＝BC﹣BE＝．21．解：（1）作DE∥AB交BC于E，如图所示：则∠CDE＝∠A＝60°，设CD＝x米，∵AC⊥l，∴∠ACB＝90°，∴∠CED＝30°，∴DE＝2CD＝2x，∴CE＝x，∵∠BDC＝75°，∴∠BDE＝15°，∵∠CED＝∠BDE+∠DBE，∴∠DBE＝15°＝∠BDE，∴BE＝DE＝2x，又∵∠A＝60°，∴BC＝AC，∴x+2x＝（x+40），解得：x＝20，即CD＝20米；（2）这辆车在本路段不超速；理由如下：由（1）得：x＝20，∴BC＝CE+BE＝×20+2×20＝60+40（米），校车从B到C匀速行驶用时10秒，速度为（60+40）÷10＝6+4（米/秒）≈46.67千米/小时＜50千米/小时，∴这辆车在本路段不超速．22．解：∵两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，在Rt△ABC中，由勾股定理可知AB＝10，现将直角边AC沿直线AD对折，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD＝DE，AE＝AC＝6，∴BE＝10﹣6＝4，设DE＝CD＝x，BD＝8﹣x，在Rt△BDE中，根据勾股定理得：BD2＝DE2+BE2，即（8﹣x）2＝x2+42，解得x＝3．即CD的长为3cm．23．（1）解：“直角三角形是勾股三角形”是假命题；理由如下：∵对于任意的三角形，设其三个角的度数分别为x°、y°和z°，若满足x2+y2＝z2，则称这个三角形为勾股三角形，∴无法得到，所有直角三角形是勾股三角形，故是假命题；（2）解：由题意可得：，解得：x+y＝102；（3）证明：过B作BH⊥AC于H，如图所示：设AH＝xRt△ABH中，BH＝，Rt△CBH中，（）2+（1+﹣x）2＝4，解得：x＝，∴AH＝BH＝，HC＝1，∴∠A＝∠ABH＝45°，∴tan∠HBC＝＝＝，∴∠HBC＝30°，∴∠BCH＝60°，∠B＝75°，∴452+602＝752∴△ABC是勾股三角形．24．解：∵在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，BC＝13m，AC＝5m，∴（m），∵此人以0.5m/s的速度收绳，10s后船移动到点D的位置，∴CD＝13﹣0.5×10＝8（m），∴（m），∴）（m）．答：船向岸边移动了）m．25．解：设基地E应建在离A站x千米的地方．则BE＝（50﹣x）千米在Rt△ADE中，根据勾股定理得：AD2+AE2＝DE2∴302+x2＝DE2…（3分）在Rt△CBE中，根据勾股定理得：CB2+BE2＝CE2∴202+（50﹣x）2＝CE2又∵C、D两村到E点的距离相等．∴DE＝CE∴DE2＝CE2∴302+x2＝202+（50﹣x）2解得x＝20∴基地E应建在离A站多少20千米的地方．26．解：（1）在直角△ABC中，已知AC＝30米，AB＝50米，且AB为斜边，则BC＝＝40米．答：小汽车在2秒内行驶的距离BC为40米；（2）小汽车在2秒内行驶了40米，所以平均速度为20米/秒，20米/秒＝72千米/时，因为72＞70，所以这辆小汽车超速了．答：这辆小汽车的平均速度大于70千米/时，故这辆小汽车超速了．27．（本题7分）（1）线段AB、CE的关系为：AB＝CE，AB⊥CE………………（2分）理由是：延长CE交AB于F，∵∠ADC＝90°，∠DAC＝45°，∴∠ACD＝∠DAC＝45°，∴AD＝CD，在△ADB和△CDE中，∵，∴△ADB≌△CDE（SAS），∴AB＝CE，∠BAD＝∠DCE，∵∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠DCE+∠ABD＝90°，∴∠BFC＝90°，∴AB⊥CE；故答案为：AB＝CE，AB⊥CE．（2）如图，设EF＝x，∵S△ABC＝S△ABE+S△BDE+S△ACD，∴＝AB•EF+BD•DE+DC•AD，………………（4分）∵BD＝a，AB＝c，AD＝b，∴易得AB＝CE＝c，BD＝DE＝a，AD＝CD＝b，………………（5分）∴cx+a2+，即：+cx＝cx+a2+，………………（6分）∴，∴a2+b2＝c2………………（7分）28．解：设杯子的高度是xcm，那么筷子的高度是（x+1）cm，x2+52＝（x+1）2，x2+25＝x2+2x+1x＝12，12+1＝13cm．答：杯高12cm，筷子长13cm．29．解：（1）∵点Q的运动速度为每秒1个单位，和运动时间t为2秒，运动时间t为2秒，∴由图中可知PQ的位置如下图2，则由已知条件可得PD＝4，AQ＝2，QE＝2，PE＝6，∴PQ＝＝＝2，（2）能．设时间为t，则在t秒钟，P运动了2t格，Q运动了t格，由题意得PQ＝BQ（2t﹣t）2+62＝（8﹣t）2解得t＝．答：（1）PQ的长为2；（2）能，运动时间t为．30．证明：∵S梯形ABEF＝（EF+AB）•BE＝（a+b）•（a+b）＝（a+b）2，∵Rt△CDA≌Rt△CGF，∴∠ACD＝∠CFG，∵∠CFG+∠GCF＝90°，∴∠ACD+∠GCF＝90°，即∠ACF＝90°，∵S梯形ABEF＝S△ABC+S△CEF+S△ACF，∴S梯形ABEF＝ab+ab+c2，∴（a+b）2＝ab+ab+c2∴a2+2ab+b2＝2ab+c2，∴a2+b2＝c2．31．一、解：（1）∵∠C为直角，BC＝a，CA＝b，AB＝c，∴a2+b2＝c2；（2）作AD⊥BC于D，如图1所示：则BD＝BC﹣CD＝a﹣CD，在△ABD中，AB2﹣BD2＝AD2，在△ACD中，AC2﹣CD2＝AD2，∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，∴c2﹣（a﹣CD）2＝b2﹣CD2，整理得：a2+b2＝c2+2a•CD∵a＞0，CD＞0，∴a2+b2＞c2；（3）作AD⊥BC于D，如图2所示：则BD＝BC+CD＝a+CD，在△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2，在△ACD中，AD2＝AC2﹣CD2，∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，∴c2﹣（a+CD）2＝b2﹣CD2，整理得：a2+b2＝c2﹣2a•CD，∵a＞0，CD＞0，∴a2+b2＜c2；二、解：当∠C为钝角时，由以上（3）得：＜c＜a+b，即5＜c＜7；当∠B为钝角时，得：b﹣a＜c＜，即1＜c＜；综上所述：第三边c的取值范围为5＜c＜7或1＜c＜．32．解：（1）∵BC＝20cm，CD＝16cm，BD＝12cm，∴满足BD2+CD2＝BC2，∴根据勾股定理逆定理可知，∠BDC＝90°，即CD⊥AB；（2）设腰长为x，则AD＝x﹣12，由（1）可知AD2+CD2＝AC2，即：（x﹣12）2+162＝x2，解得x＝，∴腰长为cm．33．（1）解：∵CE⊥AB，∴AE＝BE，∵点D与点A重合，∴AD＝0，∴DE2＝AD2+BE2；（2）证明：过点A作AF⊥AB，使AF＝BE，连接DF，CF，∵在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝∠B＝45°，∴∠FAC＝45°，∴△CAF≌△CBE（SAS），∴CF＝CE，∠ACF＝∠BCE，∵∠ACB＝90°，∠DCE＝45°，∴∠ACD+∠BCE＝∠ACB﹣∠DCE＝90°﹣45°＝45°，∵∠ACF＝∠BCE，∴∠ACD+∠ACF＝45°，即∠DCF＝45°，∴∠DCF＝∠DCE，又∵CD＝CD，∴△CDF≌△CDE（SAS），∴DF＝DE，∵AD2+AF2＝DF2，∴AD2+BE2＝DE2；（3）结论仍然成立；如图，证明：过点A作AF⊥AB，使AF＝BE，连接DF，∵在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝∠B＝45°，∴∠FAC＝45°，∴△CAF≌△CBE（SAS），∴CF＝CE，∠ACF＝∠BCE，∵∠BCE+∠ACE＝90°，∴∠ACF+∠ACE＝90°，即∠FCE＝90°，∵∠DCE＝45°，∴∠DCF＝45°，∴∠DCF＝∠DCE，又∵CD＝CD，∴△CDF≌△CDE（SAS），∴DF＝DE，∵AD2+AF