理论力学10动量矩定理及其应用

理论力学第三篇动力学Nanjing

University

of

Technology第10章动量矩定理及其应用第三篇

动力学谁最先到达顶点第10章动量矩定理及其应用？没有尾桨的直升飞机是怎样飞起来的10.1几个有意义的实际问题质点与刚体的动量矩相对固定点的动量矩定理与动量矩守恒定律相对质心的动量矩定理刚体定轴转动微分方程与平面运动微分方程第10章动量矩定理及其应用第10章动量矩定理及其应用10.1质点与刚体的动量矩质点的动量对点O的动量矩L

(mv)o力对点O的力矩MO

(F

)

=

r

·

FMO

mv)=

r

·

mvLOmv10.1质点与刚体的动量矩——度量质点系整体运动的又一基本特征量。rzyAox(mv)xyAmvjr质点的动量对z轴的动量矩力对z轴的力矩Mz

(F

)LzMz

mv)10.1质点与刚体的动量矩LO(mv)OA(x,y,z)Brmvhyxz质点对O点的动量矩LO

=

r

·

mv10.1质点与刚体的动量矩质点OL

=

Lx

i

+

Ly

j

+

Lz

k质点对轴的动量矩10.1质点与刚体的动量矩质点系第i个质点对O点动量矩为LOi

=

ri

·

mi

vi质点系对O点动量矩为LO

=

ri

·mi

vi质点系对轴的动量矩LO

=

Lx

i

+

Ly

j

+

Lz

kz

Ozy

y

O=

[L

(mv)]L

(mv)L

(mv)=

[L

(mv)]

Lx

(mv)=

[LO

(mv)]x

xyzomirivCrvLO

=

(ri

·mi

v)=

(mi

ri

)·v=

mrC

·

vLO

=

rC

·mv10.1质点与刚体的动量矩（1）平移刚体的动量对O点之矩刚体平移时，可将全部质量集中于质心，作为一个质点，计算其动量矩。刚体2m

r=

w

i

i——刚体对轴z的转动惯量virimiwyxzvi

=

w

ri2i

im

r

w=（2）定轴转动刚体对转动轴的动量矩Lz

=

Lz

(mi

vi

)=

mivi

ri2i

izm

rJ

=Lz

=

Jzw10.1质点与刚体的动量矩刚体zzABM两个高度相同、直径不同的均质圆柱体，由同种材料制成，施加相同的外力偶矩，使圆盘由静止开始绕z轴转动，试问哪个圆柱体的运动状态容易改变呢？思

考ma

=

FzzJ

a

=

M2Mz

i

im

rJ

=补充：刚体对轴的转动惯量——度量刚体转动时惯性的物理量。mJ

zrz

=zJ

z

=

mr2刚体对某轴z的转动惯量可按下式计算刚体对任一轴z的回转半径（或惯性半径）为wrimiyx1.

转动惯量的相关概念zvi

=

w

rivi补充：刚体对轴的转动惯量P1932i

izm

rJ

=2.

简单形状均质物体的转动惯量计算（a）均质细直杆分别对z轴和zC转动惯量设均质细杆长l，质量为m，取微段dx,则ldm

=

m

dx20213mllmlzdx

x

=J

=2121lm

l2lzCdx

x2

=

ml2J

=-i

izm

r

2J

=补充：刚体对轴的转动惯量zxOlzCxl/2l/2dxxdxC

xzR（b）均质薄圆环对中心轴的转动惯量设细圆环的质量为m，半径为R。则J

=

m

r

2

=

R2

m

=

mR2z

i

i

i（c）均质圆板对中心轴的转动惯量设圆板的质量为m，半径为R。将圆板分为无数同心的薄圆环，任一圆环的质量为R2dm

=

2prdr

r

=

2prdr

m

=

2m

rdr20

02pR21RR

2mRr3dr

=

mR2JZ

=

r dm

=

22i

izm

rJ

=补充：刚体对轴的转动惯量xyRd

rrzOzC（m

，l

）2JZ

=

mRZJ

=

1

ml2简单形状均质物体的转动惯量计算！！！CzR（m，R）yRx（m，R）12mR2ZJ

=21J

ZC3=

ml123ZJ

=

1

ml2zCCO（m

，l

）2

2

+

m

l

J

=

JZCZ12ZCJ

=

1

ml2思考zzJ

＝？补充：刚体对轴的转动惯量3.

平行移轴定理平行移轴定理：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过质心、并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积。J

=

J

+

md

2z

zCOABl2lOABl2lABJ

O=

JOA

+

JOABl2l2l（4）组合刚体的转动惯量均质直角折杆尺寸如图，其质量分别为m和2m，求其对O轴的转动惯量。2l)2=

1

ml

2

+

1

(2m)(2l)2

+(2m)(3

12=

5ml

2补充：刚体对轴的转动惯量lmRm第10章动量矩定理及其应用10.2相对固定点的动量矩定理与动量矩守恒定律Lo(mv)OA(x,y,z)Brmvyxzdt=

dr

·

mv

+

r

·

d

(mv)ddLO

=

r

·mvL

=

(r

·

mv)dt

O

dtdt=

v

·mv

+r

·

F=

MO

(F

)质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作用在质点上的外力对同一点的力矩。FMo(F)OdtdLO=

M

(F

)质点10.2.1相对固定点的动量矩定理

M

(F

i

)

=

0O

ieedtdLOMO

(Fi

)=

MO=ieMO

Fi

)+

MO

FiO

iOi=

M

(F

)dtd

L+=ieO

iO

iOidtM

(F

)M

(F

)

d

L质点质点系xyzomijmiF

ejF

eiFijF

iivv

j质点系相对固定点的动量矩定理微分形式。10.2.1相对固定点的动量矩定理§

微分形式eeOO

idtM

(F

)dLO=

M=eez

y

x

dt=

M=

MdtdLz=

M

e

dtdLydLx在直角坐标中投影i

ie0r

·

F

dtL

-

L

=tO

2

O1与冲量定理一起应用于求解碰撞问题。iieiei2

1质点系动量矩定理的积分形式。t2t1IF

dt

=p

-

p

=

10.2.1相对固定点的动量矩定理§

积分形式若作用于质点系的外力的主距等于零，则质点系的动量距保持不变。若作用于质点系的外力的主距在某一轴上的投影恒等于零，质点系对该轴的动量距保持不变。eeOO

idtMdLOM

(F

)==恒矢量L

=

L0

=

C1O”

0M

e=ex

x

dtMdL恒量Lx

=

L0

x

=

C2xM

e

”

010.2.2相对固定点的动量矩守恒定律均质圆轮半径为R、质量为m。圆轮在重物P带动下绕固定轴O转动，已知重物重量为W。求：重物下落的加速度。OPW例题110.2相对固定点的动量矩定理与动量矩守恒定律重物对O的轴动量矩221OO1L

＝J

w

=

-

mR

w=

-

1

mR2w

-

W

vR2

gLO＝LO1＋LO

2系统对O的轴总动量矩wPO受力：如图所示运动：圆轮定轴转动，物块平移方程：圆轮对O轴的动量矩FOxFOyWmg§

例题1v10.2相对固定点的动量矩定理与动量矩守恒定律解：对象：整体gL

=

-W

vRO

22

g1

2

WLO＝LO1＋LO

2

=

-

mR

w

-

vR系统对O的轴总动量矩应用动量矩定理dt

2

gd

(-

1

mR2w

-

W

vR)

=

-WRgPa R

=

-WR-

mR2a

-21aP=RaWPa

=m

+

W2

g运动学补充关系§

例题1aaPOdLOdt=

M

e？

W

？10.2相对固定点的动量矩定理与动量矩守恒定律wPOFOxFOyWmgv＃O圆轮的角加速度是否相同？FP若用手拉绳子？§

例题1FP

=WOPW10.2相对固定点的动量矩定理与动量矩守恒定律思

考分别选轮和物体为研究对象？OPWmgFOyF'TFT圆轮：物体：LO

=

-JOwOdLOdt=

M

eawFOxvaPP§

例题1-

FT

R10.2相对固定点的动量矩定理与动量矩守恒定律？maP

=W

-

FT？a

=Ra

？思

考谁最先到达顶点§

实例解释110.2相对固定点的动量矩定理与动量矩守恒定律vBaArAa=

vBr

+

uv

=

v

-

uAaBav

=

v2v

-

vu

=

Ar

Br

BrArv

+

v2vAa

=

vBa

=强弱不分胜负mAg？？§

实例解释1-mAvAa

r

+

mBvBa

r

=

0FOyFu

OxvAa

u

vBaemBgMz

Fi

)=

0Lz

=

const

=

010.2相对固定点的动量矩定理与动量矩守恒定律§

实例解释12BaAa=

vAr

+

vBrv

=

v10.2相对固定点的动量矩定理与动量矩守恒定律§

实例解释12BaAa=

vAr

+

vBrv

=

v10.2相对固定点的动量矩定理与动量矩守恒定律？没有尾桨的直升飞机是怎样飞起来的§

实例解释210.2相对固定点的动量矩定理与动量矩守恒定律zwMrFMz(F

)=

－

Mr旋翼尾桨§

实例解释210.2相对固定点的动量矩定理与动量矩守恒定律第10章动量矩定理及其应用10.3相对质心的动量矩定理对固定点的动量矩定理！一般的动点？?avedLOdt=

MO固定点LO

=

ri

·mi

vi固定点思

考§

10.3.1质点系相对质心的动量矩§

10.3.2质点系相对固定点的动量矩与相对质心的动量矩之间的关系§

10.3.3质点系相对质心的动量矩定理10.3相对质心的动量矩定理miOxzz'yy'Cx'vir

'irC

riLC

=

ri¢·mi

vii

C

irv

=

v

+

vLC

=

ri¢·

mi

(vC

+

vir

)=

mi

ri¢)·vC

+

ri¢·

mi

vir=

mrC

·vC+

ri¢·

mi

vir=

0

+ri¢·mi

virLC

=

ri¢·mi

vi

=

ri¢·mi

vir质心质心绝对速度§

10.3.1质点系相对质心的动量矩质点系相对固定点的动量矩为LO

=

ri

·

mi

viiri

=

rC

+

rimiOxzyy'Cx'viz'rri'C

riLO

=

rC

·

mi

vi

+

ri¢·

mi

vimi

vi

=

m

vCLC

=

ri¢·mi

vi

=

ri¢·mi

virLO

=

rC

·m

vC

+

LC§10.3.2质点系相对固定点的动量矩与相对质心的动量矩之间的关系end

LO

dC

C

Cidt

dt=

(

r

·

m

v

+

L

)

=ri

·

Fid

rd

v

d

LCC

Cdtdt

dt

C

·m

v

+

r

·m

C

+eennCiii=

r

·

F+

ri¢·

Firi

=

rC

+

ri=nie+

ri¢·

Fin

rC

·

Feii+dtdLCLO

=

rC

·m

vC

+

LCOdtdLO=

M

evC

aC0+n·

erC

Fiiendtd

LC=

ri¢·

FiieCne=

MC

(Fi

)=

Mi§

10.3.3质点系相对质心的动量矩定理miiOxzyy'Cx'vri'z'rC

riCCdt=

M

e质心质心注意：随质心运动的坐标系，一定是平移坐标系。该定理只适用于质心这一特殊动点，对于其他动点，将出现附加项。OdtdLdLO=

M

e§

10.3.3质点系相对质心的动量矩定理第10章动量矩定理及其应用10.4刚体定轴转动微分方程与平面运动微分方程10.4刚体定轴转动微分方程与平面运动微分方程§

10.4.1刚体定轴转动微分方程§

10.4.2刚体平面运动微分方程F1F2FnFiyxwαFBxFByFBzFAxFAyLz

=

JzwzdtdLz=

Mz

iF

eMzzJ

a

=

MJzj

=

Mz§

10.4.1刚体定轴转动微分方程z刚体定轴转动微分方程突然解除约束问题解除约束前后约束力的变化？？§

例题2例题2§

10.4.1刚体定轴转动微分方程OFOyOFOxW=mgFOx=0,

FOy=mg/2FT解除约束前：平衡问题FOy§

例题2突然解除约束瞬时：动力学问题FOxW=mgFOx=？,

FOy=？§

10.4.1刚体定轴转动微分方程2CCatan

=

0=

l

a动力学问题2mg

·

l§

例题2-

ma=

F-

ma=

FOy

-

mgOxcτcn2

4OyFOx

=

0F

=

mg

-

m

·

l

a

=

mgOFOxFOyW=mgω定轴转动微分方程J

za

=

M

z1

ml

232la

=

3gx质心运动定理yCanCat§

10.4.1刚体定轴转动微分方程§

例题2§

10.4.1刚体定轴转动微分方程=

JCw§

10.4.2刚体平面运动微分方程前提:刚体对质心的动量矩为LC绕质心的转动随质心的平移+COxzz'刚体的平面运动yy'x'相对于质心的动量矩定理：JCa

=

MC

(F

)质心运动定理：eiCFma

=刚体具有质量对称面刚体具有质量对称面质量对称面平行于运动平面质量对称面平行于运动平面作用于刚体上的力系可以简化为质量对称面内的平面力系。作用于刚体上的力系可以简化为质量对称面内的平面力系。C

iCF

eJ

a

=

MeiCFma

=e

xCFmx==eyCFmy)eC

iCJ

j

=

M

F刚体平面运动微分方程§

10.4.2刚体平面运动微分方程质点系的动量系和外力系外力系动量系主矢FF

=eR

iO

i=

M

(F

)主矩M

eO动量

i

i

ip

=

m

vp

=动量矩LO

=

LOi

=

M

O

(mi

vi

)Odtd

LO=

M

eeRd

p=

Fdt动量定理与动量矩定理应用于刚体？定轴转动平面运动Odtd

LO=

M

eeRd

p=

Fdt平移J

zj

=

MzeC

iCJ

j

=

M

F

)★eFxmxC

==eyCFmyxCmx==yCF

emyeCFmx

x==eyCFF

e

my刚体平面运动微分方程可以描述刚体的总体运动CJ

j

=

M

(F

e

)C

iiimyC

=

FyimxC

=

FxiC

Fx＝0i

Fy＝0i

M

(F

e)＝0i动力学静力学静力学是动力学的特殊情形内力不能改变质点系的动量和动量矩！eR=

FdtdpOdtdLO=

M

e一均质圆柱，质量为m，半径为r，无初速地放在倾角为q的斜面上，不计滚动阻力偶。求：其质心的加速度。C例题3q

§

例题310.4刚体定轴转动微分方程与平面运动微分方程(1)设接触处完全光滑此时圆柱作平移，由质心运动定理即得圆柱质心的加速度aC

=

g

sinqCxyOmaC

=

mg

sinqaCFNmgq§

例题310.4刚体定轴转动微分方程与平面运动微分方程exFmaCx

=(2)设接触处足够粗糙120

=

FN

-

mg

cosqmr2a

=

Fr2131F

=

maC

=

mg

sinq2

3由于圆柱作纯滚动，故F

£

Fmax

=

f

FN

=

f

mg

cosqF由纯滚动条件有解得aC

=

raaC

=

g

sinq所以3f

mg

cosq

‡1

mg

sinq

，可得3f

‡

1

tanq这就是圆柱体在斜面上作纯滚动的条件。qCx（此时圆柱作纯滚动，列出平面运动微分方程）yaCOFNmga§

例题3Cv

=

rw10.4刚体定轴转动微分方程与平面运动微分方程ma？=

mg

sinq

-

F？C

？？(3)设不满足圆柱体在斜面上作纯滚动的条件3f

<

1

tanq设动摩擦系数为f

'，则滑动摩擦力F

=

f

¢FN

=

f

¢mg

cosq于是r2gf

¢cosqa

=aC

=

g(sinq

-

f

¢cosq)（圆柱体在斜面上既滚动又滑动,在这种情况下，aC≠ra）§

例题310.4刚体定轴转动微分方程与平面运动微分方程FCxyaCOFNmgqa2120

=

FN

-

mg

cosqmr

a

=

Frma？=

mg

sinq

-

F？C

？？均质圆柱体A和B质量均为m，半径均为r。圆柱A可绕固定轴O转动。一绳绕在圆柱A上，绳的另一

端绕在圆柱B上。求：B下落时，质心C点的加速度。摩擦不计。OABC例题410.4刚体定轴转动微分方程与平面运动微分方程OABCaAFTOA§

例题4FOymgFOx10.4刚体定轴转动微分方程与平面运动微分方程J

？解：对象：圆柱体A受力：如图运动：定轴转动方程：根据定轴转动的微分方程，得到？F'TaBD

CBaCmgAa

A

=

FT

r对象：圆柱体B受力：如图运动：平面运动方程：根据平面运动的微分方程有？？maC

=

mg

-

FT¢JCa

B

=

FT¢r¢Ca

B

=

FT

rAC其中

J

=

J

=

mr

2

2§

例题4？？J

Aa

A

=

FT

r？J

？10.4刚体定轴转动微分方程与平面运动微分方程OABCaAFTOAFOymgFOxF'TaBD

CBaCmgmaC

=

mg

-

FT¢＃g54aC

=以D点为基点BAC=

r(a

+a

)a

=

a

+

aτD

CD例题5均质杆AB长为l，放置于铅垂平面内，杆一端A靠在光滑的铅垂墙上，另一端B放在光滑的水平面上，与水平面的夹角为j0。然后，令杆由静止状态滑下。求：当j为任意值时，杆质心C的加速度和杆AB两端A、B处的约束力。§

例题510.4刚体定轴转动微分方程与平面运动微分方程FNAFNB解（法1）：对象：杆AB受力：如图所示运动：在铅直平面内作平面运动2)c2

2sinj

()3

lNBlNANBCcosj

-

FJ

a

=

Fmgj§

例题5建立直角坐标系如图，由几何条件得质心的坐标为xyO(4)2

2lx

=

l

cosj

yc

=

sin

jc（即角速度方向与夹角增大的方向相反）。并注意j

=-w10.4刚体定轴转动微分方程与平面运动微分方程aw方程？：1、j为任意值时，杆的平面运动微分方程为mxc

=

FNA？

1)my？

=

F

？-

mg？(5)

22

2式（4）对时间求导，得a

sin

j

-w

cosj)llx

=

(ccy

=

-

(a

cosj

+w

2

sin

j)转动惯量121ml

2cJ

=将（5）式代入（1）（2）（3）联立求解，得杆AB的角加速度为§

例题5(4)

l

l

yc

=

sin

j2xc

=

2

cosjj

=

-w2)sin

j

(3)llNA

2NB

2Ccosj

-

F(6)2la

=

3g

cosj对角速度作如下的变换为dw

dw

dja

=

dt

=

-

dj

dt代入式（6），并积分得杆AB的角速度为olw

=

3g

(sin

j

-sin

j)

(7)将式（6）（7）代入（5），得质心加速度为10.4刚体定轴转动微分方程与平面运动微分方程FNAFNBmgjxOawmx？

=

F

？

1)c

NA？myc

=

FN？B

-

mgJ

a？=

F(8)

442occ

o3gy

=

-(1+

sin

j

-

2

sin

j

sin

j

)x

=

3g

(3sin

j

-

2

sin

j

)

cosj则杆AB两端A、B处的约束力为(9)4

442oNA1

3mg=

mg

-FNBF(sin

j

-

2

sin

j

sin

jo

)=

3mg

(3sin

j

-

2

sin

j

)

cosj§

例题5mxc

=

FNA

1)myc

=

FNB

-

mg

2)NB

2

NA

2CJ

a

=

F

l

cosj

-

F

l

sin

j

(3)

10.4刚体定轴转动微分方程与平面运动微分方程FNAFNBmgjxyOaw解（法2）：mxc

=

FNA

1)myc

=

FNB

-

mg

2)NB

2

NA

2CJ

a

=

F

l

cosj

-

F

l

sin

j

(3)

以C点为基点，则B点的加速度为轴上，得在运动开始时,

w

＝0,

故an

＝,0

将上式投影到yBCB

CBC

BCa

=

a

+

at

+

anBCCy0

=

a

+

at

cosj2BCCyC=

a

=

-at

cosj

=

-

l

a

cosj

(4)y§

例题510.4刚体定轴转动微分方程与平面运动微分方程FNAFNBmgjyOaB

xaCxaaCwyatBC以C点为基点，则A点的加速度为x

轴上，得在运动开始时,w

＝0,

故an

＝0,将上式投影到ACA

CAC

ACa

=

a

+