高考数二轮复习第一部分题型专项练中档题保分练(一)理

PAGEPAGE5中档题保分练(一)1．(2018·海淀区模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝eq\f(1,2)，2Sn＝Sn－1＋1(n≥2，n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)记bn＝an(n∈N*)，求{eq\f(1,bnbn＋1)}的前n项和Tn.解析：(1)当n＝2时，由2Sn＝Sn－1＋1及a1＝eq\f(1,2)，得2S2＝S1＋1，即2a1＋2a2＝a1＋1，解得a2＝eq\f(1,4).又由2Sn＝Sn－1＋1，①可知2Sn＋1＝Sn＋1，②②－①得2an＋1＝an，即an＋1＝eq\f(1,2)an(n≥2)，且n＝1时，eq\f(a2,a1)＝eq\f(1,2)适合上式，因此数列{an}是以eq\f(1,2)为首项，公比为eq\f(1,2)的等比数列，故an＝eq\f(1,2n)(n∈N*)．(2)由(1)及bn＝an(n∈N*)，可知bn＝logeq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n＝n，所以eq\f(1,bnbn＋1)＝eq\f(1,nn＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)，故Tn＝eq\f(1,b1b2)＋eq\f(1,b2b3)＋…＋eq\f(1,bnbn＋1)＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋…＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))))＝1－eq\f(1,n＋1)＝eq\f(n,n＋1).2．(2018·滨州模拟)在如图所示的几何体ABCDEF中，底面ABCD为菱形，AB＝2a，∠ABC＝120˚，AC与BD相交于O点，四边形BDEF为直角梯形，DE∥BF，BD⊥DE，DE＝2BF＝2eq\r(2)a，平面BDEF⊥底面ABCD.(1)证明：平面AEF⊥平面AFC；(2)求二面角E­AC­F的余弦值．解析：(1)证明：因为底面ABCD为菱形，所以AC⊥BD，又平面BDEF⊥底面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD＝BD，因此AC⊥平面BDEF，从而AC⊥EF.又BD⊥DE，所以DE⊥平面ABCD，由AB＝2a，DE＝2BF＝2eq\r(2)a，∠ABC＝120˚，可知AF＝eq\r(4a2＋2a2)＝eq\r(6)a，BD＝2a，EF＝eq\r(4a2＋2a2)＝eq\r(6)a，AE＝eq\r(4a2＋8a2)＝2eq\r(3)a，从而AF2＋EF2＝AE2，故EF⊥AF.又AF∩AC＝A，所以EF⊥平面AFC.又EF⊂平面AEF，所以平面AEF⊥平面AFC.(2)取EF中点G，由题可知OG∥DE，所以OG⊥平面ABCD，又在菱形ABCD中，OA⊥OB，所以分别以eq\o(OA,\s\up9(→))，eq\o(OB,\s\up9(→))，eq\o(OG,\s\up9(→))的方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系O­xyz(如图所示)，则O(0,0,0)，A(eq\r(3)a,0,0)，C(－eq\r(3)a,0,0)，E(0，－a,2eq\r(2)a)，F(0，a，eq\r(2)a)，所以eq\o(AE,\s\up9(→))＝(0，－a,2eq\r(2)a)－(eq\r(3)a,0,0)＝(－eq\r(3)a，－a,2eq\r(2)a)，eq\o(AC,\s\up9(→))＝(－eq\r(3)a,0,0)－(eq\r(3)a,0,0)＝(－2eq\r(3)a,0,0)，eq\o(EF,\s\up9(→))＝(0，a，eq\r(2)a)－(0，－a,2eq\r(2)a)＝(0,2a，－eq\r(2)a)．由(1)可知EF⊥平面AFC，所以平面AFC的法向量可取为eq\o(EF,\s\up9(→))＝(0,2a，－eq\r(2)a)．设平面AEC的法向量为n＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AE,\s\up9(→))＝0，,n·\o(AC,\s\up9(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\r(3)x－y＋2\r(2)z＝0，,x＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2\r(2)z，,x＝0，))令z＝eq\r(2)，得y＝4，所以n＝(0,4，eq\r(2))．从而cos〈n，eq\o(EF,\s\up9(→))〉＝eq\f(n·\o(EF,\s\up9(→)),|n|·|\o(EF,\s\up9(→))|)＝eq\f(6a,6\r(3)a)＝eq\f(\r(3),3).故所求的二面角E­AC­F的余弦值为eq\f(\r(3),3).3．(2018·绵阳模拟)某校为缓解高三学生的高考压