矩阵分析在通信中的应用

式中，表示第p个可分辨径中的第l个不可分辨径对应的到达角度；L标示不可分辨径的数目。对于发端的角度扩展同理可得。设接收天线在发送天线的远场区内，可以假设接收天线的信号是平面波。第r根接收天线的接收信号相对于第1根接收天线的附加时延为（3.7）式中，是相邻天线间的距离。对应第r根接收天线的接收信号相对于第1根接收天线的附加相移为（3.8）接收端均匀线性阵列的传播响应向量可以表示为（3.9）同样的可得发送端均匀线性阵列的传播响应向量可以表示为（3.10）第m根发送天线的发送信号相对于第1根发送天线的附加时延为（3.11）因此，相对应的附加相移就是（3.12）考虑到判决时间有限，不是所有信号的到达反射波都能分离开来。假设移动台或散射体发生运动，每一个本地散射体的路径长度发生变化，产生时变复衰落，对于给定速率v，最大频率偏移为。第p个可分辨径的第m个发送天线和第r个接收天线之间的空时衰落系数为：（3.13）每一个到达路径经历的衰减为，假定是由随机过程产生，且。通常在仿真时认为AOD均匀分布在0～，这样可以得到经典功率谱。在固定m和r的情况下，和表征着时间域的衰落特性；而在固定时间t时，不同的m和r对应的和则反映阵列的空间特性，其相关性由两个阵列传播响应矢量和决定。记第p个空间主散射体产生的可分辨多径的时延，且一般假设它们之间的独立过程互相独立。不同的传播环境对应不同的分布。有上述分析可以知道：当本地散射体较少时，由于发射机周围本地散射体的作用，在主反射体和接收机之间的距离相对较大时，接收天线到达角的角度扩展较小，此时接收端仅仅引起时间衰落，而无空间衰落；而当接收天线周围的本地散射体较多时，造成较大的角度扩展，此时接收端产生空时衰落。3.3相关性矩阵MIMO信道中发射端和接收端天线之间的相关的程度就是相关性,相关系数在数学上定义为：（3.14）其中，符号表示求相关系数，符号表示复数共轭。根据a和b的性质的不同，可以定义3种不同的相关系数：复数相关系数、包络相关系数和功率相关系数。考虑两个复数变量x和y：复数相关系数，此时：（3.15）包络相关系数，此时：（3.16）功率相关系数，此时：（3.17）限于测量设备等因素，以前对信道相关系数的探讨更多的集中于包络相关系数和功率相关系数。然而，对于MIMO信道建模来说，复数相关系数包含了能反映信道特性的较全面的信息——幅度和相位，具有更好的性能。对于Rayleigh衰落信道，复数相关系数定义式和功率相关系数的定义式有如下关系：（3.18）为了保持信道模型的简单性，假设信道的传输系数服从零均值的复高斯分布，即的模服从Rayleigh分布。并对该统计MIMO信道模型进一步作出如下假设：（1）同一多径下传输系数的平均功率相等所有（3.19）（2）信道为广义平稳非相关散射信道,不同的多径下(或者不同的时延下)的信道传输系数不相关当（3.20）上式中的符号表示求a和b之间的相关系数；（3）接收天线衰落的两个系数的相关性与发射天线是哪一个无关；同样，两个发射天线之间的相关性与接收天线是哪一个也没有关系。定义接收端第根天线和第根天线之间的相关系数为：（3.21）上式间接地使用了上述的第3个假设，即接收端天线的相关系数与发射端的天线无关。只要发射端的天线间距并不太大，而且每根天线具有相同的辐射模式，这个假设就是合理的。因为从这些天线上发射出去的电磁波照射到接收端周围相同的散射体上，在接收端会产生相同的PAS，也会产生相同的空间相关函数。同理，定义发射端第根天线和第根天线之间的相关系数为：（3.22）由（3.21）和式（3.22），分别定义接收端和发射端的两个对称相关矩阵和为：（3.23）(3.24)但是，仅有发射端的空间相关矩阵和接收端的空间相关矩阵并不能为产生矩阵提供足够的信息。因此，需要确定连接两组不同天线之间的任意两个传输系数的空间相关性。为此，定义（3.25）在上述第3个假设的条件下，从理论上可以证明，式（3.20）与下式等价：（3.26）根据式（3.26），MIMO信道的整体相关矩阵可以表示为发射端相关矩阵与接收端相关矩阵的Kronecker乘积[17]：(3.27)上式中，符号表示矩阵的Kronecker乘积运算。在对信道的空间相关性进行建模时，按照式（3.27）对和作矩阵的Kronecker乘积，得到MIMO信道的整体相关矩阵，然后对作相应的矩阵分解，从而得到MIMO信道的空间相关矩阵。角度功率谱PAS主要有3种分布：均匀分布、高斯分布和拉普拉斯分布。讨论将基于上述3种分布的PAS，给出天线元之间的相关系数与天线的归一化间距之间的函数关系。在讨论中，仍然假设天线为全向天线，天线阵列结构为ULA，并且电波以波簇(cluster)的形式传播，每一波簇都具有相同的PAS谱。(1)均匀分布PAS多簇的均匀分布PAS的表达式为：（3.28）其中，为单位阶跃函数，为波簇的数目，为平均到达角AOA，为AOA的变化范围。考虑到潜在的功率不平衡波簇，可以推出归一化常数使得满足概率分布函数的要求：（3.29）由上式可得（3.30）令，其中，d为天线元之间的间距，为载波波长，为天线元之间的归一化间距。可以推出两根全向天线接收到的复基带信号的实部与虚部之间的互相关系函数：（3.31）虚部与虚部之间的互相关函数与上式相同。另一方面，实部与虚部之间的互相关函数定义为：(3.32)将均匀分布PAS的表达式代入的表达式（2.31），得到：（3.33）其中，为阶第一类贝塞尔函数。同样地，将PAS的表达式代入到式（3.32），得到：（3.34）(2)高斯分布PAS高斯分布PAS的表达式为：（3.35）同样可以推出其归一化常数应该满足：（3.36）其中，为复数的误差函数。将的表达式代入（3.31）和（3.32），可以得到高斯分布PAS下的复基带信号的实部与虚部的两个互相关函数分别为：（3.37）和（3.38）其中，表示取x的实部。(3)拉普拉斯分布PAS拉普拉斯分布的PAS谱被认为是与城区和农村地区的信道测量结果吻合得最好的一种分布。其表达式为：（3.39）其归一化条件由下式给出：（3.40）拉普拉斯分布PAS下的复基带信号的两个互相关函数分别为：（3.41）和(3.42)由表达式，可以定义复数相关系数和功率相关系数的表达式如下：(3.43)(3.44)可见一般复数相关系数的性能要优于功率相关系数，因为后者失去了前者的相位信息。4软件计算MIMO信道模型的描述以及上一小节对仿真思路与方法的讨论，可知MIMO信道矩阵产生的方法是：按照上一章所描述的方法产生MIMO信道接收和发送端的相关矩阵和，再按照式产生的MIMO信道的整体相关矩阵。由进行相应的矩阵分解得到一个对称映射矩阵C，C就是MIMO信道的空间相关形成矩阵即：(4.1)如果使用的是复数相关矩阵，则应该对作矩阵的平方根分解。再按照仿真单入单出信道的方法产生信道的衰落系数，即为经过相应的多普勒功率谱成形后的零均值、单位方差的I.I.D复高斯变量，反映了MIMO信道的时频衰落特性。最后，按照下式计算MIMO信道抽头的系数矩阵：(4.2)其中，表示把一个的矩阵排成一个的矢量；即为MIMO信道的衰落系数；为第个可分辨径的功率；。综合上面的讨论，MIMO相关衰落的产生过程如图4.2所示。图2MIMO信道中相关衰落的产生4.1信道矩阵的matlab计算为了产生带有相关性MIMO信道的信道冲激响应。设置：输入参数：Nr接收天线阵元的个数；Nt发送天线阵元的个数；t时间变量。输出参数：Mimo_channelMIMO信道的信道冲激响应矩阵。functionf=mimo_channel(Nr,Nt,t)s=35;%mm=O;fd=5.56;rand('state',0);fori=1:Nt*Nrforl=1:1h1=0;h2=0;fork=l:s-1sita(k)=2*pi*rand;h1=h1+sqrt(2)/sqrt(s-1/2)*sin(pi*k/(s-1))*cos(2*pi*fd*cos(pi*k/(2*s-1))*t+sita(k));h2=h2+sqrt(2)/sqrt(s-1/2)*cos(pi*k/(s-1))*cos(2*pi*fd*cos(pi*k/(2*s-1))*t+sita(k));endsita(s)=rand;h1=h1+1/(sqrt(2)*sqrt(s-1/2))*cos(2*pi*fd*t+sita(s));h2=h2+l/(sqrt(2)*sqrt(s-1/2))*cos(2*pi*fd*t+sita(s));h(i,1)=h1+j*h2;endendhcorrR=mimo_corr(30,0,0.5,Nr)%;correlationatRxd--0.51anbudacorrT=mimo_corr(5,0,5,Nt)%;correlationatTxd--51anbudacorrRT=kron(corrR,corrT)%;hr=transpose(chol(corrRT));h=hr*h;forp=1:Nrforq=1:Nthh(p,q)=h(Nr*(q-1)+p);endendf=hh;4.2信道相关性的matlab计算由模型可以知道通过波束到达角、角度扩展、天线之间的间隔和天线个数，计算出发送端和接收端的相关矩阵。设置：输入参数：anglespread散射体的角度扩展，表示接收端和发射端散射体的分布情况。angle平均到达角，每个入射波和离去波的到达角的均值。d天线间隔与波长的比，假设天线是均匀阵列。M天线阵元数，表示接收端和发射端天线阵元的个数。输出参数：mimo_corr发送端或接收端任意两个天线之间的相关系数矩阵。functionf=mimo_corr(anglespread,angle,d,M)L=1000;anglespread1=720;c=0;%cleari;p=zeros(1,L);fai=zeros(1,L);fai1=zeros(1,L);FAI=zeros(1,L);matrix1=zeros(M,1);matrix2=zeros(1,M);correlation1=zeros(M,M);correlation2=zeros(M,M);correlation=zeros(M,M);form=1:Lfai1(1,m)=angle-anglespread1+2*anglespread1*m/L;fai(1,m)=2*pi*(angle-anglespread1+2*anglespread1*m/L)/360;FAI(1,m)=d*sin(fai(1,m));endform=1:Lp(1,m)=1/(anglespread*sqrt(2))*exp(-sqrt(2)*abs(fai1(1,m)-angle)/anglespread)*2*anglespread1/L;endform=1:Lc=p(1,m)+c;endc;form=1:Lforn=1:Mmatrix1(n,1)=exp(i*FAI(m)*2*pi*(n-1));endmatrix2=matrix1';correlation1=matrix1*matrix2*p(1,m);correlation2=correlation1+correlation2;endform=1:Mforn=1:Mcorrelation(m,n)=abs(correlation2(m,n))/c;endendf=correlation;5结果分析通过对模型进行仿真的设计思路、方法和仿真处理的流程，可以对该信道模型进行了相应的计算机仿真，得出了信道矩阵和和信道的相关相矩阵，并对这些结果进行了分析。我们选择选择典型的城区环境，天线结构为均匀线性阵列，发送端的天线数（）为2根，接收端的天线数为（）为4根，角度功率谱（PAS）的类型为拉普拉斯分布。当接收端和发送端的天线间距分别为和，角度扩展分别为5度和30度，AOA和AOD都为0时，得出的信道矩阵为发送端的相关矩阵为：接收端的相关矩阵为：信道的空间相关矩阵为：维持其它的参数不变，改变信道的参数可以看到各参数对MIMO信道特性的影响，将发射和接收端的天线间距分别变为和，从仿真得到的矩阵中可以看到，随着天线间距离d的增大，信道的相关性是减小的。发送端的相关矩阵为：接收端的相关矩阵为：信道的空间相关矩阵为下面的矩阵是其它参数不变，角度扩展变为40度时的信道的相关性矩阵，将这几个矩阵与本节中最前面的矩阵比较，可以看到：相关系数随着角度扩展的增大而下降。发送端的相关矩阵为：接收端的相关矩阵为：信道的空间相关矩阵为：图3直观地反映了角度扩展和天线间的距离对相关性的影响：AS=5AS=5AS=2AS=5201234567891000.10.20.30.40.50.60.70.80.91图3不同角度扩展时天线间距与相关系数的关系从图3中可以看到，角度扩展一定时，相关系数随着天线间的距离的增大而减小；而当天线间距一定时，相关系数随着角度扩展的增大而减小。角度扩展比较小时，相关系数随天线间距增大而缓慢的减小，角度扩展比较大时，在很小的天