2023九年级数学上册第二十四章圆24.1圆的有关性质课时2上课课件新版新人教版

24.1.2垂直于弦的直径圆的有关性质九年级上册RJ初中数学连接圆上任意两点的线段叫做弦.(2)圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．1.圆的定义(1)在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．2.弦的定义3.弧的定义圆上任意两点间的部分叫做弧.知识回顾1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.学习目标赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m.求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位).课堂导入

你知道赵州桥主桥拱的半径是多少吗？

知识点1新知探究剪一张圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？你能证明你的结论吗？圆的对称性：圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴.O注意：不能说圆的直径是圆的对称轴，因为对称轴是直线，而直径是线段.知识点1新知探究圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.

思路引导：要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于直径所在直线（对称轴）的对称点也在圆上.求证证明：如图，CD是⊙O的任意一条直径，AA′是弦，使AA′⊥CD，垂足为M,M·OAA'CD连接OA，OA′,则OA=OA′.∵AA′⊥CD，∴CD是AA′的垂直平分线.∴对于圆上任意一点A，在圆上都有关于直线CD的对称点A′，即⊙O关于直线CD对称.圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.

如图，⊙O的直径CD垂直于弦AB,垂足为E.仔细观察，图形中有哪些相等的线段和弧？为什么？·OABCDE知识点2新知探究垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.已知结论CD是直径CD⊥AB

AE=BE

((AD=BD((AC=BC垂径定理的几个基本图形：ABOCDEABOEDABO

DCABOC

1.下列图形中能否得到AE=BE，为什么？不能不能能能跟踪训练新知探究BDAECODCEAOBCADEBOABOE垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.2.如图,已知⊙O的半径OB=5，OP⊥AB，垂足为P，且OP=3，则AB=____.8POABCD由OB,OP求得BP求得AB勾股定理垂径定理解：∵

OB=5，OP=3,∴

BP==4,

∵

OP⊥AB，OP为直径，∴

AB=2BP=8.

在圆上任意作一条弦AB，你能否找到平分弦AB的直径吗?思考：此时AB与CD的位置关系？知识点3新知探究·OABCDEFMN

如果弦AB是过圆心的弦呢?平分弦AB的直径CD一定会垂直弦AB吗？想一想：·OABCD·OABCD已知结论

CD过圆心AB不是直径推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.·OABCDCD⊥AB((AD=BD((AC=BCAE=BEE根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：过圆心1垂直于弦2平分弦（非直径）3平分弦所对的优弧4平分弦所对的劣弧5上述五个条件中的任意

个条件，都可以推出其他

个结论.(知二推三).两三问题解决：赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m.求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位).所以R2=18.52+（R-7.23）2.由题意，可知AB=37m，CD=7.23m，解：如图，设赵州桥主桥拱的半径为Rm.则AD=18.5m，解得R≈27.3.因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3m.ACBDO3718.5RR-7.237.23在圆中有关弦长a，半径r，弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.涉及垂径定理时辅助线的添加方法总结弓形中重要数量关系ABCDOhrd弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：d+h=r

OABC·dr如图，AB是圆O的弦，半径OC⊥AB于点D，若圆O的半径为5，AB=8，则CD的长是()A.2 B.3 C.4 D.5A解：∵OC⊥AB，跟踪训练新知探究·OABCD

在Rt△OAD中，OA=5，AD=4，

∴CD=OC-OD=5-3=2．1.下列说法正确的是(

)A.每一条直径都是圆的对称轴B.圆的对称轴是唯一的C.圆的对称轴一定经过圆心D.圆的对称轴是经过圆内任意一点的直线随堂练习C圆的对称轴是直线，不是线段.无数条一定经过圆心2.AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，则下列结论不一定正确的是()A.CM=DMB.BC=BD

C.∠ACD=∠ADCD.OM=MBDM·OABCD在△ACM和△ADM,∵AM=AM,∠AMC=∠AMD=90°，CM=DM,∴△ACM≌△ADM，∴∠ACD=∠ADC，而OM与MB不一定相等，选项D不一定正确.故选项C正确；((解析：根据垂径定理，可得CM=DM，

,故选项A,B

正确；BC=BD((3.已知圆O的半径为10cm，AB，CD是圆O的两条弦，AB//CD，AB=16cm，CD=12cm，则弦AB和CD之间的距离是

cm.解：分两种情况进行讨论：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1，过点O作OF⊥CD，垂足为F，交AB于点E，连接OC，OA.∵AB//CD，∴OE⊥AB.∵AB=16cm，CD=12cm,∴AE=8cm，CF=6cm，∵OA=OC=10cm，由勾股定理,得EO=6cm，OF=8cm，∴EF=OF-OE=2

cm.BCDEFOA图1②当弦AB和CD在圆心异侧时,过点O作OE⊥CD,交CD于点E,延长EO交AB于点F,连接OC,OA,如图2所示，OABCD图2EF∵AB//CD，∴OF⊥AB.∵AB=16cm，CD=12cm，由勾股定理，得OE=8cm，OF=6cm，∴EF=OF+OE=14cm.综上所述：AB和CD之间的距离为2cm或14cm.∴AF=8cm，CE=6cm.∵OA=OC=10cm，垂径定理内容推论辅助线一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦;③平分弦（不是直径）;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其他三个结论（“知二推三”）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧两条辅助线：连半径，作弦心距构造直角三角形，利用勾股定理计算或建立方程.基本图形及变式图形课堂小结

对接中考解：∵⊙O的直径CD=10

cm，AB⊥CD，·OABCDM图1

①当AC的位置如图1所示时，连接AO.∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，

∴CM=OC+OM=8

cm，

②当AC的位置如图2所示时，·OABCDM图2同理可得OM=3cm，∵OC=5cm，∴CM=5-3=2（cm），

故选C．

本题源于《教材帮》24.1节方法帮xyOABP解：作PC⊥x轴于点C，交AB于点D，作PE⊥AB于点E，连接PB，如图.xyOABPDE∵⊙P的圆心坐标是(3，a)，∴OC=3，PC=a.把x=3代入y=x，得y=3，∴CD=3，∴△OCD为等腰直角三角形，∴∠ODC=45°，∴∠PDE=∠ODC=45°.∵PE⊥AB,∴△PED也为等腰直角三角形.xyOABPDE∵PE⊥AB，

在Rt△PBE中，PB=3，∴PE=1，

3.某地有一座弧形的拱桥，桥下的水面宽度为7.2m，拱顶高出水面2.4m，现有一艘宽3m，高出水面2m的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗?解：如图，设这座拱桥的截面为AB，AB为水面，O为AB所在圆的圆心，过点O作OC⊥AB于点D，交A