新教材2023版高中数学课时作业二十三实际问题中导数的意义　实际问题中的最值问题北师大版选择性必修第二册

课时作业(二十三)实际问题中导数的意义实际问题中的最值问题[练基础]1．圆的面积S关于半径r的函数是S＝πr2，那么在r＝3时面积的变化率是()A．6B．9C.9πD．6π2．若商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函数关系式为y＝－x3＋27x＋123(x>0)，则获得最大利润时的年产量为()A.1百万件B．2百万件C.3百万件D．4百万件3．一艘船的燃料费y(单位：元/时)与船速x(单位：km/h)的关系是y＝eq\f(1,100)x3＋x.若该船航行时其他费用为540元/时，则在100km的航程中，要使得航行的总费用最少，船速应为()A.30km/hB．30eq\r(3,2)km/hC.30eq\r(3,4)km/hD．60km/h4．用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，若容器底面的长比宽多0.5m，要使它的容积最大，则容器底面的长为()A.2mB．1.5mC.1.2mD．1m5．设a∈R，e为自然对数的底数，函数f(x)＝ex－asinx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，π))内有且仅有一个零点，则a＝()A.eπB．－1C.eeq\s\up6(\f(π,4))D．eq\r(2)eeq\s\up6(\f(π,4))6．(多选题)下列不等式正确的是()A.当x∈R时，ex≥x＋1B.当x>0时，lnx≤x－1C.当x∈R时，ex≥exD.当x∈R时，x≥sinx7．正方形的周长y关于边长x的函数是y＝4x，则y′＝4，其实际意义是________________________________________________________________________．8．已知x>0，比较x与ln(1＋x)的大小，结果为________________．9．某食品厂生产某种食品的总成本C(单位：元)和总收入R(单位：元)都是日产量x(单位：kg)的函数，分别为C(x)＝100＋2x＋0.02x2，R(x)＝7x＋0.01x2，试求边际利润函数以及当日产量分别为200kg，250kg，300kg时的边际利润，并说明其经济意义．10．如图一边长为10cm的正方形硬纸板，四角各截去一个大小相同的小正方形，然后折起，可以做成一个无盖长方体手工作品．所得作品的体积V(单位：cm2)是关于截去的小正方形的边长x(单位：cm)的函数．(1)写出体积V关于x的函数表达式f(x).(2)截去的小正方形的边长为多少时，作品的体积最大？最大体积是多少？[提能力]11．已知函数f(x)＝(x2＋a)ex有最小值，则函数g(x)＝x2＋2x＋a的零点个数为()A.0B．1C.2D．取决于a的值12．(多选题)对于函数f(x)＝eq\f(lnx,x)，下列说法正确的是()A.f(x)在x＝e处取得极大值B.f(x)有两个不同的零点C.f(x)的极小值点为x＝eD.f(eq\r(e))<f(eq\r(π))<f(2)13．当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，1))时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是________．14．当前，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生课外学习的一种趋势．假设某网校的套题每日的销售量y(单位：千套)与销售价格x(单位：元/套)满足的函数关系式为y＝eq\f(m,x－2)＋4(x－6)2，其中2<x<6，m为常数．已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套．(1)则实数m＝________________；(2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数)，当销售价格x＝______________元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大(精确到0.1).15．已知函数f(x)＝ln(1＋x)－mx.(1)求函数f(x)的极值；(2)若函数f(x)在区间[0，e2－1]上恰有两个零点，求m的取值范围．[培优生]16．已知函数f(x)＝ex＋eq\f(3,ex)＋2x－a(a∈R)有两个不同的零点x1，x2.(1)求实数a的取值范围；(2)证明：x1＋x2>0.课时作业(二十三)实际问题中导数的意义实际问题中的最值问题1．解析：∵S′＝2πr，∴S′(3)＝2π×3＝6π.故选D.答案：D2．解析：依题意得y′＝－3x2＋27＝－3(x－3)(x＋3)，当0<x<3时，y′>0；当x>3时，y′<0.因此，当x＝3时，该商品的年利润最大．故选C.答案：C3．解析：由题知，100km的航程需要eq\f(100,x)小时，故总的费用f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,100)x3＋x＋540))×eq\f(100,x).即f(x)＝x2＋100＋eq\f(54000,x).故f′(x)＝2x－eq\f(54000,x2)＝eq\f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x3－27000)),x2).令f′(x)＝0有x＝30.故当0<x<30时f′(x)<0，f(x)单调递减，当x>30时f′(x)>0，f(x)单调递增.使得航行的总费用最少，船速应为30km/h.故选A.答案：A4．解析：不妨设容器的宽为x(x>0)，故可得长为x＋0.5，因为长方体的棱长之和为14.8，故长方体的高为：eq\f(14.8－4（x＋0.5）－4x,4)＝3.2－2x，(x<1.6)，故容积f(x)＝x(x＋0.5)(3.2－2x)，x∈(0，1.6)，＝－2x3＋eq\f(11,5)x2＋eq\f(8,5)x，则f′(x)＝－6x2＋eq\f(22,5)x＋eq\f(8,5).令f′(x)>0，整理得(15x＋4)(x－1)<0，解得0<x<1，令f′(x)<0，解得1<x<1.6，故f(x)在(0，1)单调递增，在(1，1.6)单调递减．故当容积最大时，x＝1，即长方体的宽为1m，此时长方体的长为1.5m.故选B.答案：B5．解析：由ex－asinx＝0得，asinx＝ex.因为x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，π))，所以sinx>0.因此a＝eq\f(ex,sinx)只有一解，令g(x)＝eq\f(ex,sinx)，0<x<π，则g′(x)＝eq\f(ex（sinx－cosx）,sin2x).由g′(x)＝0得x＝eq\f(π,4).当0<x<eq\f(π,4)时，g′(x)<0；当eq\f(π,4)<x<π时，g′(x)>0，所以g(x)min＝geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝eq\r(2)eeq\s\up6(\f(π,4)).x→0或x→π时，都有g(x)→＋∞，因此a＝eq\r(2)eeq\s\up6(\f(π,4)).故选D.答案：D6．解析：设f(x)＝ex－x－1，则f′(x)＝ex－1，令f′(x)＝0，解得x＝0，当x∈(－∞，0)时函数单调递减，当x∈(0，＋∞)时，函数单调递增，所以函数在x＝0时，函数取得最小值f(x)min＝f(0)＝0，故当x∈R时，ex≥x＋1，故A正确；设f(x)＝lnx－x＋1，所以f′(x)＝eq\f(1,x)－1＝eq\f(－（x－1）,x)，令f′(x)＝0，解得x＝1，当x∈(0，1)时，函数单调递增，当x∈(1，＋∞)时，函数单调递减，所以在x＝1时，f(x)max＝f(1)＝0，故当x>0时，lnx≤x－1恒成立，故B正确；设f(x)＝ex－ex，所以f′(x)＝ex－e，令f′(x)＝0，解得x＝1，当x∈(－∞，1)时，函数单调递减，当x∈(1，＋∞)时，函数单调递增，所以当x＝1时，f(x)min＝f(1)＝0，所以当x∈R时，ex≥ex，故C正确；设函数f(x)＝x－sinx，则f′(x)＝1－cosx≥0，所以f(x)是定义在R上单调递增的奇函数，所以x>0时，x≥sinx成立，但x<0时，f(x)<0，故D错误．故选ABC.答案：ABC7．答案：边长每增加1个单位长度，周长增加4个单位长度8．解析：令f(x)＝x－ln(x＋1).∵x>0，f′(x)＝1－eq\f(1,1＋x)＝eq\f(x,1＋x)>0，又因为函数f(x)在x＝0处连续，∴f(x)在[0，＋∞)上是增函数．从而当x>0时，f(x)＝x－ln(1＋x)>f(0)＝0.∴x>ln(1＋x).答案：x>ln(1＋x)9．解析：根据定义知，总利润函数为L(x)＝R(x)－C(x)＝5x－100－0.01x2，所以边际利润函数为L′(x)＝5－0.02x.当日产量分别为200kg，250kg，300kg时，边际利润分别为L′(200)＝1(元)，L′(250)＝0(元)，L′(300)＝－1(元).其经济意义是：当日产量为200kg时，再增加1kg，则总利润可增加1元；当日产量为250kg时，再增加1kg，则总利润无增加；当日产量为300kg时，再增加1kg，则总利润反而减少1元．由此可得到：当企业的某一产品的生产量超过了边际利润的零点时，反而会使企业“无利可图”．10．解析：(1)由题意可得V＝f(x)＝(10－2x)2·x，x∈(0，5).(2)f′(x)＝4(3x2－20x＋25)＝4(3x－5)(x－5)，令f′(x)＝0得x＝eq\f(5,3)，x＝5，当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下：xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,3)))eq\f(5,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，5))f′(x)＋0－f(x)单调递增极大值单调递减∴x＝eq\f(5,3)时，f(x)的最大值为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)))＝eq\f(2000,27)，截去的小正方形的边长为eq\f(5,3)cm时，作品的体积最大，最大体积是eq\f(2000,27)(cm3).11．解析：f′(x)＝2x·ex＋(x2＋a)·ex＝ex(x2＋2x＋a)＝ex·g(x).函数f(x)的最小值即其极小值，即f′(x)＝0有解．当有一解x0时，则f′(x)≥0恒成立，此时f(x)是单调递增的，没有极值，不符合题意，应舍去，因此f′(x)＝0有两解，即x2＋2x＋a＝0有两解，故g(x)有两个零点．故选C.答案：C12．解析：函数定义域为(0，＋∞)，令f′(x)＝eq\f(\f(1,x)·x－lnx,x2)＝eq\f(1－lnx,x2)＝0，解得x＝e，当0<x<e时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x>e时，f′(x)<0，f(x)单调递减；所以当x＝e时，函数有极大值为f(e)＝eq\f(1,e)，则A正确，C不正确；当x＝1时，f(1)＝eq\f(ln1,1)＝0，因为f(x)在(0，e)上单调递增，所以在(0，e)上有一个零点，当x>e时，lnx>0，x>0，所以eq\f(lnx,x)>0，此时无零点，所以f(x)有一个零点，B不正确；因为eq\r(e)<eq\r(π)<eq\r(4)<e，且f(x)在(0，e)上单调递增，所以f(eq\r(e))<f(eq\r(π))<f(2)，故选AD.答案：AD13．解析：不等式ax3－x2＋4x＋3≥0变形为ax3≥x2－4x－3.当x＝0时，0≥－3，故实数a的取值范围是R；当x∈(0，1]时，a≥eq\f(x2－4x－3x,x3)，记f(x)＝eq\f(x2－4x－3x,x3)，f′(x)＝eq\f(－x2＋8x＋9,x4)＝eq\f(－（x－9）（x＋1）,x4)>0，故函数f(x)递增，则f(x)max＝f(1)＝－6，故a≥－6；当x∈[－2，0)时，a≤eq\f(x2－4x－3x,x3)，记f(x)＝eq\f(x2－4x－3x,x3)，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝9(舍去)，当x∈[－2，－1)时，f′(x)<0；当x∈(－1，0)时，f′(x)>0，故f(x)min＝f(－1)＝－2，则a≤－2.综上所述，实数a的取值范围是[－6，－2].答案：[－6，－2]14．解析：(1)当x＝4时，y＝21，代入函数关系式y＝eq\f(m,x－2)＋4(x－6)2，得eq\f(m,2)＋16＝21，解得m＝10.(2)由(1)可知，套题每日的销售量为y＝eq\f(10,x－2)＋4(x－6)2，所以每日销售套题所获得的利润为f(x)＝(x－2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(10,x－2)＋4（x－6）2))＝10＋4(x－6)2(x－2)＝4x3－56x2＋240x－278(2<x<6)，则f′(x)＝12x2－112x＋240，令f′(x)＝0，得x＝eq\f(10,3)或x＝6(舍去).当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(10,3)))时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,3)，6))时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，所以x＝eq\f(10,3)是函数f(x)在区间(2，6)内的极大值点，也是最大值点，所以当x＝eq\f(10,3)≈3.3时，函数f(x)取得最大值．故当销售价格约为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大．答案：(1)10(2)3.315．解析：(1)f(x)＝ln(1＋x)－mx的定义域为(－1，＋∞)，f′(x)＝eq\f(1,1＋x)－m(x>－1)，当m≤0时，f′(x)＝eq\f(1,1＋x)－m>0恒成立，此时f(x)在(－1，＋∞)单调递增，无极大值和极小值，当m>0时，eq\f(1,m)－1>－1，由f′(x)＝eq\f(1,1＋x)－m>0可得：－1<x<eq\f(1,m)－1，由f′(x)＝eq\f(1,1＋x)－m<0可得x>eq\f(1,m)－1，此时f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,m)－1))单调递增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)－1，＋∞))单调递减，所以f(x)的极大值为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)－1))＝lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,m)－1))－m×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)－1))＝m－1－lnm，无极小值．(2)由(1)可知，当m≤0时，f(x)在(－1，＋∞)单调递增，所以f(x)在[0，e2－1]单调递增，不可能有两个零点，当m>0时，f(x)的极大值为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)－1))＝m－1－lnm，因为f(0)＝0，所以x＝0是f(x)的一个零点，若函数f(x)在区间[0，e2－1]上恰有两个零点，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（e2－1）≤0,0<\f(1,m)－1<e2－1))，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2－m（e2－1）≤0,\f(1,e2)<m<1))，可得：eq\f