新教材2023版高中数学第一章数列1数列的概念及其函数特性1.1数列的概念学案北师大版选择性必修第二册

1.1数列的概念[教材要点]要点一数列的有关概念及表示方法1．数列的有关概念(1)数列：按________排列的一列数叫作数列．(2)数列的项：数列中的________叫作这个数列的项．2．数列的表示方法数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…或简记为数列{an}，其中a1是数列的第1项，也叫数列的________；an是数列的第n项，也叫数列的________．状元随笔(1)数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f(n)，而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f(n)中的n.(2)数列1，2，3，4，5和数列5，3，2，4，1为两个不同的数列，因为二者的元素顺序不同，而集合{1，2，3，4，5}与这两个数列也不相同，一方面形式上不一致，另一方面，集合中的元素具有无序性．要点二数列的分类根据数列的项数可以将数列分为两类：(1)有穷数列：项数________的数列；(2)无穷数列：项数________的数列．状元随笔有穷数列与无穷数列的表示方法：(1)有穷数列一般表示为a1，a2，a3，…，am；无穷数列一般表示为a1，a2，a3，…，am，….(2)对于有穷数列，要把末项(即最后一项)写出来，对于无穷数列，不存在最后一项，要用“…”结尾.要点三数列的通项公式如果数列{an}的第n项________与________之间的函数关系可以用一个式子表示成________，那么这个式子就叫作这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式．状元随笔(1)数列的通项公式必须适合数列中的任意一项．(2)已知通项公式an＝f(n)，那么只需依次用1，2，3，…代替公式中的n，就可以求出这个数列的各项．(3)一个数列的通项公式可以有不同的形式，如an＝(－1)n可以写成an＝(－1)n＋2，还可以写成an＝-1，n=2k-1，(4)并不是所有的数列都有通项公式，就像并不是所有的函数都能用解析式表示一样．[基础自测]1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1){0，1，2，3，4}是有穷数列．()(2)数列1，2，3，4和数列1，2，4，3是同一数列．()(3)所有自然数能构成数列．()(4)数列1，3，5，7，…，2n＋1，…的通项公式是an＝2n＋1.()2．(多选题)数列－1，1，－1，1，…的通项公式可以为()A．an＝(－1)n－1B．an＝(－1)nC．an＝cosnπD．an＝sinnπ3．已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋1，则122是该数列的()A．第9项B．第10项C．第11项D．第12项4．数列1，2，7，10，13，…中的第题型一数列的概念与分类例1(多选题)下列说法正确的是()A．数列4，7，3，4的首项是4B．数列{an}中，若a1＝3，则从第2项起，各项均不等于3C．数列1，2，3，…就是数列{n}D．数列中的项不能是三角形方法归纳正确理解数列及相关概念，注意以下几点：(1)数列与数集不同，数集具有互异性和无序性，而数列中各项可以相同，但与顺序有关；(2)数列a1，a2，…，an，…可以记为{an}，但不能记作{a1，a2，…，an，…}.跟踪训练1(多选题)下列说法正确的是()A．数列{2n＋1}的第5项是10B．数列1，12，13，…，1C．数列3，5，7与数列5，7，3是相同的数列D．数列1，2，3，4，5，…，n，…是无穷数列题型二根据数列的前几项写出通项公式例2写出数列的一个通项公式，使它的前4项是下列各数：(1)－1，12，－1(2)3，3，15，(3)0.9，0.99，0.999，0.9999；(4)3，5，3，5.方法归纳(1)据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项符号特征等，并对此进行归纳、联想．(2)观察、分析数列中各项的特点是最重要的，观察出项与序号之间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数列等)转换而使问题得到解决，对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整．跟踪训练2写出下列数列的一个通项公式：(1)0，3，8，15，24，…；(2)1，－3，5，－7，9，…；(3)112，223，334，44(4)1，11，111，1111，….题型三数列通项公式的简单应用例3已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n.(1)写出此数列的第4项和第6项．(2)－49是否是该数列的一项？如果是，应是哪一项？68是否是该数列的一项呢？如果是，应是哪一项？变式探究本例中，数列{an}中有多少个负数项？方法归纳(1)利用数列的通项公式求某项的方法数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项．(2)判断某数值是否为该数列的项的方法先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程．若方程解为正整数则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项．跟踪训练3已知数列{an}的通项公式为an＝4n(1)写出数列的第4项和第6项．(2)试问110易错辨析忽略了相邻正方形的公共边而致误例4图中由火柴棒拼成的一列图形中，第n个图形由n个正方形组成.通过观察可以发现：第n个图形中，火柴棒的根数为________．解析：因为每两个相邻的正方形均有1条公共边，所以第二个图形的火柴棒根数为2×3＋1.第三个图形的火柴棒根数为3×3＋1.……第n个图形的火柴棒根数为3n＋1.答案：3n＋1【易错警示】出错原因纠错心得每相邻的两个正方形都有公共边，第n个图形有n个正方形，火柴棒的根数是3n＋1而不是4n.正确观察图形，看清图形间的内在联系，并找到相关规律，再进行归纳．[课堂十分钟]1．数列0，－13，12，－35，A．an＝(－1)n·nB．an＝(－1)n＋1·nC．an＝(－1)n－1·nD．an＝(－1)n－1·n2．在数列－1，0，19，18，…，n-2n2A．第100项B．第12项C．第10项D．第8项3．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－n，则下列结论正确的是()A．第2项a2＝0B．0不是数列中的一项C．21是数列中的一项D．42是数列中的一项4．若数列{an}的通项公式是an＝3－2n，则a2n＝________，a2a35．写出数列an＝2nn+1的前51．1数列的概念新知初探·课前预习要点一1．(1)一定次序(2)每一个数2．首项通项要点二(1)有限(2)无限要点三annan＝f(n)[基础自测]1．答案：(1)×(2)×(3)√(4)×2．答案：BC3．解析：由an＝n2＋1＝122，得n2＝121.∴n＝11.故选C.答案：C4．解析：因为a1＝1＝1，a2＝2＝4，a3＝7，a4＝10，a5＝13，所以an＝3n-所以a26＝3×26-2＝76答案：219题型探究·课堂解透题型一例1解析：根据数列的相关概念，数列4，7，3，4的第1项就是首项4，A正确；同一个数在数列中可以重复出现，B错误；根据数列的相关概念可知C正确；数列中的项必须是数，不能是其他形式，D正确．故选ACD.答案：ACD跟踪训练1解析：当n＝5时，a5＝11，A错误；B正确；因为数列是按一定次序排成的一列数，C错误；D正确．故选BD.答案：BD题型二例2解析：(1)任何一个整数都可以看成一个分数，所以此数列可以看做是自然数列的倒数，正负相间用(－1)的多少次幂进行调整，其一个通项公式为an＝(－1)n·1n(n∈N＋)(2)数列可化为3，9，15，21，即3×1，3×3，3×5，3×7，…，每个根号里面可分解成两数之积，前一个因数为常数3(3)原数列可变形为1-110，1-1102，1-1103，(4)数列给出前4项，其中正奇数项为3，正偶数项为5，所以通项公式的一种表示方法为an＝3n为正奇数5n为正偶数.此数列还可以这样考虑，3与5的算术平均数为3+52＝4，4＋1＝5，4－1＝3，因此数列的一个通项公式又可以写为an＝4＋(－跟踪训练2解析：(1)观察数列中的数，可以看到0＝1－1，3＝4－1，8＝9－1，15＝16－1，24＝25－1，…，所以它的一个通项公式是an＝n2－1(n∈N*)．(2)数列各项的绝对值为1，3，5，7，9，…，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为an＝(－1)n＋1(2n－1)(n∈N*)．(3)此数列的整数部分1，2，3，4，…恰好是序号n，分数部分与序号n的关系为nn+1，故所求的数列的一个通项公式为an＝n＋nn+1＝n2+2nn+1(n(4)原数列的各项可变为19×9，19×99，19×999，19×9999，…，易知数列9，99，999，9999，…的一个通项公式为an＝10n－1，所以原数列的一个通项公式为an＝19(10n－1)(题型三例3解析：(1)a4＝3×42－28×4＝－64，a6＝3×62－28×6＝－60.(2)－49是该数列的一项，68不是该数列的项．由3n2－28n＝－49，解得n＝7或n＝73(舍去)所以－49是该数列的第7项；由3n2－28n＝68解得n＝－2或n＝343所以68不是该数列的项．变式探究解析：an＝3n2－28n＝n(3n－28)，令an<0，则0<n<283又n∈N＋，所以n＝1，2，3，4，5，6，7，8，9.即数列{an}中共有9个负数项．跟踪训练3解析：(1)因为an＝4n所以a4＝442+3×4＝17，a(2)110令4n2+3n＝110，则n2＋3n－40＝0，解得n＝5或n＝－8，注意到n故将n＝－8舍去，所以110是该数列的第5[课堂十分钟]1．解析：当n＝1时，排除