第二讲-函数的极限典型例题_第1页
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文档简介

PAGEPAGE4第二讲函数的极限一内容提要1.函数在一点处的定义使得，有.右极限使得，有.左极限使得，有.注1同数列极限一样，函数极限中的同样具有双重性．注2的存在性（以为例）：在数列的“”定义中，我们曾经提到过，的存在性重在“存在”，而对于如何去找以及是否能找到最小的无关紧要；对也是如此，只要对给定的，能找到某一个，能使时，有即可．注3讨论函数在某点的极限，重在局部，即在此点的某个空心邻域内研究是否无限趋近于．注4．注５，有，称为归结原则――海涅（Heine）定理．它是沟通数列极限与函数极限之间的桥梁．说明在一定条件下函数极限与数列极限可以相互转化．因此，利用定理必要性的逆否命题，可以方便地验证某些函数极限不存在；而利用定理的充分性，又可以借用数列极限的现成结果来论证函数极限问题．（会叙述，证明，特别充分性的证明．）注6，，有．2函数在无穷处的极限设在上有定义，则使得，有．使得，有．使得，有．注１．注２，有．３函数的有界设在上有定义，若存在一常数，使得，有，则称在上有界．４无穷大量使得，有．使得，有．类似地，可定义，，，等．注若，且和，使得，有，则．特别的，若，，则．５无穷小量若，则称当时为无穷量．注1可将改为其它逼近过程．注2，其中．由于有这种可以互逆的表达关系，所以极限方法与无穷小分析方法在许多场合中可以相互取代．注3，在的某空心邻域内有界，则．注4，且当足够大时，有界，则．注5在某一极限过程中，无穷大量的倒数是无穷小量，非零的无穷小量的倒数是无穷大量．6函数极限的性质以下以为例，其他极限过程类似．（1），则极限唯一．（2），则，使得，有．（3），，且，则，使得，有例，证明：（1）若，则有；（2）．例设是上的严格严格单调函数，又若对（），有，试证明：．例函数在点的某邻域内有定义，且对（），且（），有，证明：．例设函数，，满足（），且（）则（）问：在题设条件下，是否有？答：否．如．例设函数在上满足议程，且，则（）．例求下列函数极限（1）（）；（2）（）；（3）．例求下列极限（1）；（2）；（3）．例求下列极限：（1）；（2）．例求下列极限：（1

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