考研数学二真题2011年

2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：下列每题给出的四个选项中。只有一个选项符合题目要求．(1)已知当x→0时f(x)=3sinx-sin3x与cxk是等价无穷小，则()．(A)k=1，c=4(B)k=1，c=-4(C)k=3，c=4(D)k=3，c=-4(2)已知f(x)在x=0处可导，且f(0)=0．则=()．(A)-2f'(0)(B)-f'(0)(C)f'(0)(D)0(3)函数f(x)=ln|(x-1)(x-2)(x-3)|的驻点个数为()．(A)0(B)1(C)2(D)3(4)微分方程y"-λ2y=eλx+e-λx(λ＞0)的特解形式为()．(A)a(eλx+e-λx)(B)ax(eλx+e-λx)(C)x(aeλx+be-λx)(D)x2(aeλx+be-λx)(5)设函数f(x)，g(x)均有二阶连续导数，满足f(0)＞0，g(0)＜0，且f'(0)=g'(0)=0．则函数Z=f(x)g(y)在点(0，0)处取得极小值的一个充分条件是()．(A)f"(0)＜0，g"(0)＞0(B)f"(0)＜0，g"(0)＜0(C)f"(0)＞0，g"(0)＞0(D)f"(0)＞0，g"(0)＜0(6)设．则I，J，K的大小关系是()．(A)I＜J＜K(B)I＜K＜J(C)J＜I＜K(D)K＜J＜I(7)设A为三阶矩阵，将A的第2列加到第1列得矩阵B．再交换B的第2行与第3行得单位矩阵，记，则A=()．(A)P1P2(B)(C)P2P1(D)(8)设A=(α1，α2，α3，α4)是四阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，若(1，0，1，0)是方程组Ax=0的一个基础解系，则A*x=0的基础解系可为()．(A)α1，α3(B)α1，α2(C)α1，α2，α3(D)α2，α3，α4二、填空题(9)=______．(10)微分方程y'+y=e-xcosx满足条件y(0)=0的解为y=______．(11)曲线的弧长s=______．(12)设函数则=______．(13)设平面区域D由直线y=x，圆x2+y2=2y及y轴所组成，则二重积分=______．(14)二次型f(x1，x2，x3)=，则f的正惯性指数为______．三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(15)已知函数．设，试求α的取值范围．(16)设函数y=y(x)由参数方程确定，求y=y(x)的极值和曲线y=y(x)，的凹凸区间及拐点．(17)设函数Z=f(xy，yg(x))，其中函数f具有二阶连续偏导数，函数g(x)可导且在x=1处取得极值g(1)=1，求(18)设函数y(x)具有二阶导数，且曲线l：y=y(x)与直线y=x相切于原点，记α为曲线l在点(x，y)外切线的倾角，若．求y(x)的表达式．(19)①证明：对任意的正整数n，都有成立．②设(n=1，2，…)，证明数列{an)收敛．(20)一容器的内侧是由图中曲线y轴旋转一周而成的曲面，该曲线由x2+y2=2y(y≥)与x2+y2=1(y≤)连接而成．(Ⅰ)求容器的容积；(Ⅱ)若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功?(长度单位：m．重力加速度为gm/s2，水的密度为103kg/m(9)[考点]极限的计算[答案解析](10)e-xsinx[考点]一阶微分方程求解[答案解析](C+sinx)，由于y(0)=0，则C=0，故y=e-xsinx．(11)[考点]曲线积分的计算[答案解析](12)[考点]反常积分计算[答案解析](13)[考点]二重积分的计算[答案解析](14)2[考点]二次型[答案解析]特征值λ1=0，λ2=1，λ3=4，f惯性指数为2．三、解答题(15)[考点]极限的逆问题[答案解析]当a=0时，因为，所以结论不正确；当a＜0时，因为，所以结论也不正确；当a＞0时，所以a＜3，于是1＜a＜3．(16)[考点]利用导数求函数的凹凸区间及拐点[答案解析]当t=1时，因为，所以当t=-1即x=-1时，函数取极大值y=1．当t=1时，因为，所以当t=1即时，函数取极小值．令得t=0，当t＜0时，，当t＞0时当t＜0时即时，函数为凸函数，当t＞0即时，函数为凹函数．(17)[考点]二元函数求偏导[答案解析]由g(x)可导且在x=1处取极值g(1)=1，所以g'(1)=0．(18)[考点]利用导数求曲线的切线[答案解析]，两边对x得，即(1+y'2)y'=y"，于是有令y'=P，则，于是有，变量分离得，两边积分得由P(0)=1得，代入得解出由y(0)=0．面积分得：(19)[考点]数列与积分中值定理综合题[答案解析]证明：①f(x)=ln(1+x)在应用中值定理其中②其中易知an+1-an＜0，则an+1＜an即{an}单调递减又所以{an}单调递减有界，故{an}收敛．(20)[考点]积分的应用[答案解析](Ⅰ)(Ⅱ)(21)[考点]二重积分的计算[答案解析]于是(22)[考点]向量的线性相关性[答案解析](Ⅰ)因为，所以r(α1，α2，α3)=3又因为α1，α2，α3不能由β1，β2，β3线性表示，所以r(β1，β2，β3)＜3，于是|β1，β2，β3|=0，解得a=5．(Ⅱ)于是(23)[考点]矩阵的特征值、特征向量[答案解析](Ⅰ)易知特征值-1对应的特征向量为特征值1对应的特征向量为，由r(A)=2知A的另一个特征