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文档简介
§2.2
冲激响应和阶跃响应冲激响应阶跃响应一、冲激响应T{0}d(t
)
h(t
)1．定义由单位冲激函数δ(t)所引起的零状态响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，记为h(t)。h(t)=T[{0},δ(t)]2．系统冲激响应的求解响应及其各阶导数(最高阶为n次)d
td
f
(t)d
tdy(t)d
t
md
m
f
(t)bmd
t
n+
b0
f
(t)+
a0
y(t)
=d
t
m-1d
m-1
f
(t)+
bm-1d
t
n-1d
n
y(t) d
n-1
y(t)+
an-1++
b1++
a1冲激响应的数学模型对于LTI系统,可以用一n阶微分方程表示h(n)(t)
+
an-1h(n-1)(t)
++
a1h(1)(t)
+
a0h(t)=
bmd
(m)(t)
+
bm-1d
(m-1)(t)
++
b1d
(1)(t)
+
b0d(t)激励及其各阶导数(最高阶为m次)令f(t)=d(t)则y(t)=h(t)h(t)解答的形式ie(t)l
t
h(t)
=
Ci
e
i=1②与n,
m相对大小有关•当n
>m时，h(t
)不含d(t
)及其各阶导数；•当n
=m时，h(t
)中应包含d(t
)；•当n
<m时，h(t
)应包含d(t
)及其各阶导数由于d(t)及其导数在t≥0+时都为零，因而方程式右端的自由项恒等于零，这样原系统的冲激响应形式与齐次解的形式相同。①与特征根有关例:当特征根均为单根时
n举例3.基本单元的冲激响应af
(t)af
(t)(a)数乘器h(t)=aδ(t)Tf
(t)f
(t
-T)(b)
延时器h(t)=δ(t-T)f
(t)(c)
微分器h(t)=δ'(t)
d
d
td
f
(t)
dt∫-¥tf
(x)d
xf
(t)(d)
微分器h(t)=ε(t)二．阶跃响应-t
t0,对因果系统：阶跃响应是冲激响应的积分，注意积分限：－¥g(t)=
T
[ε(t)
，{0}]线性时不变系统满足微、积分特性-¥td(t)
d
te(t)
=d
t,
h(t)
=
d
g(t)-¥tg(t)
=
h(t)
dt冲激响应求解举例d
t
d
td
h(t
)d2
h(t
)dd(t
)+
2d(t
)+
3h(t
)
=+
4d
t
2求特征根冲激响应h(t)
=
(C1e-t
+
C2e-3t
)e(t)求系统2dtd
f
(t)d
td
td2
y(t) d
y(t)+3y(t)的=
冲激+响2
应f
(t)。+
4n
=
2,
m
=
1,
n
>
ml2
+
4l
+
3
=
0
l1
=
-1,
l2
=
-3h(t
)中不包含冲激项解：将f(t)→d(t)，y(t)→h(t)带ε(t)两种求待定系数方法：•求0+法奇异函数项相平衡法法一：求0+值确定系数h(t
)=
r3
(t
)22
d
td
h(t
)d
td
2
h(t=
ad(t
)+
r
(t
)=
ad¢(t
)+
bd(t
)+
r1
(t
)设\
h(0
+
)=
1
,
h
(0+
)=
-2'代入h(t)，确定系数C1,C2，得2h(t)
=
1
(e
-t
+e-3t
)e(t)法二：用奇异函数项相平衡法求待定系数h(t)
=
C1e-t
+
C2e-3t
e(t)h¢(t)
=
C1e-t
+
C2e-3t
d(t)
+
-
C1e-t
-
3C2e-3t
e(t)=
(C1
+
C2
)d(t)
+
(-
C1e-t
-
3C2e-3t
)e(t)h¢(t
=
(C1
+
C2
d¢(t
+
(-C1
-3C2
d(t
+
C1e-t
+
9C2e-3t
e(t将h(t
),h¢(t
),h¢(t
)代入原方程C1
+
C2
d
(t)
+
3C1
+
C2
d(t)
+
0
e(t)
=
d
(t)
+
2d(t)2121C2
=C
=
13C1
+
C2
=
2
C1
+
C2
=112-3t-t(e
+e
e(t)h(t)
=根据系数平衡，得解法三：线性时不变性质法h1
(t)
=
C1e-t
+
C2e-3t
e(t)求系统2dtd
f
(t)d
td
td2
y(t) d
y(t)+3y(t)的=
冲激+响2
应f
(t)。+
4解：
设h1(t)满足简单方程d
td
t
2d2
h1
(t)
d
h1
(t)+
4+
3h1
(t)
=
d(t)h1
'
0+
=1
h1
0+
=
0(e12e(t)-t
+e-3t=11dtdh
(t)+
2h
(t)h(t)
=则由系统的线性时不变特性2将边界条件代入h1(t)式，解得C1=1/2，C2=-1/2，11e(t)-t
-3th
(t)
=
(e
-
e冲激响应求解举例2例2
描述某系统的微分方程为y”(t)+5y’(t)+6y(t)=
f”(t)
+
2f’(t)
+
3f(t)求其冲激响应h(t)。解根据h(t)的定义有h”(t)
+
5h’(t)
+
6h(t)
=
δ”(t)+
2δ’(t)+3δ(t)
(1)h’(0-)
=
h(0-)
=
0先求h’(0+)和h(0+)。
由方程可知，h(t)中含δ(t)故令h”(t)=aδ”(t)+bδ’(t)+cδ(t)+r1(t)h’(t)
=
aδ’(t)
+
bδ(t)
+
r2(t)h(t)=aδ(t)+r3(t) [ri(t)为不含δ(t)的某函数]代入式(1)，有aδ”(t)
+
bδ’(t)+
cδ(t)
+
r1(t)
+
5[aδ’(t)
+
bδ(t)
+
r2(t)
]+
6[aδ(t)
+
r3(t)
]
=
δ”(t)+
2δ’(t)+3δ(t)整理得aδ”(t)+
(b+5a)δ’(t)+(c
+5b+6a)δ(t)
+
r1(t)+5
r2(t)+6
r3(t)
=δ”(t)
+
2δ’(t)
+
3δ(t)利用δ(t)
系数匹配，得a
=1
，b=-3，c=12所以
h(t)
=
δ(t)
+
r3(t)
（2）h’(t)
=
δ’(t)
-
3δ(t)
+
p2(t)
（3）h”(t)
=
δ”(t)
-
3
δ’(t)
+
12δ(t)+
r1(t)
（4）对式(3)从0-到0+积分得h(0+)–h(0-)=–3对式(4)从0-到0+积分得h’(0+)–h’(0-)=12故
h(0+)
=
–
3，
h’(0+)
=12对t>0时，有
h”(t)
+
6h’(t)
+
5h(t)
=
0微分方
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