聊城大学实变函数期末试题

（第4页，共11页）《实变函数》一、单项选择题1、下列各式正确的是（CD）（A）;（B）（C）;（D）;2、设P为Cantor集，则下列各式不成立的是（D）（A）c(B)(C)(D)3、下列说法不正确的是（B）(A)凡外侧度为零的集合都可测（B）可测集的任何子集都可测(C)开集和闭集都是波雷耳集（D）波雷耳集都可测4、设是上的有限的可测函数列,则下面不成立的是(A)（A）若,则(B)是可测函数（C）是可测函数;（D）若,则可测5.下列说法不正确的是(C)(A)的任一领域内都有中无穷多个点，则是的聚点(B)的任一领域内至少有一个中异于的点，则是的聚点(C)存在中点列，使，则是的聚点(D)内点必是聚点6.设在上可积,则下面不成立的是(C)(A)在上可测(B)在上a.e.有限(C)在上有界(D)在上可积7.设是一列可测集，，则有（B）。（A）(B)（C）;（D）以上都不对9、设，则（B）(A)（B）(C)（D）10、设是上有理点全体，则下列各式不成立的是（D）（A）(B)(C)=[0，1](D)11、下列说法不正确的是（C）(A)若，则（B）有限个或可数个零测度集之和集仍为零测度集(C)可测集的任何子集都可测（D）凡开集、闭集皆可测12、设是一列可测集，，且，则有（A）（A）(B)（C）;（D）以上都不对13、设f(x)是上绝对连续函数，则下面不成立的是（B）(A)在上的一致连续函数(B)在上处处可导（C）在上L可积(D)是有界变差函数14．设是两集合，则=（C）(A)(B)(C)(D)16.下列断言(B)是正确的。（A）任意个开集的交是开集；(B)任意个闭集的交是闭集；(C)任意个闭集的并是闭集；(D)以上都不对；17.下列断言中(C)是错误的。（A）零测集是可测集；（B）可数个零测集的并是零测集；（C）任意个零测集的并是零测集；（D）零测集的任意子集是可测集；19、设,,若,则称是的聚点.20设是上几乎处处有限的可测函数列,是上几乎处处有限的可测函数,若,有,则称在上依测度收敛于.三、判断1、设，若E是稠密集，则是无处稠密集。F2、若，则一定是可数集.F3、若是可测函数，则必是可测函数。F4．设在可测集上可积分，若，则F5、A为可数集，B为至多可数集，则AB是可数集.T6、若，则F7、若是可测函数，则必是可测函数F8．设在可测集上可积分，若，则F9、任意多个开集之交集仍为开集F10、若，则一定是可数集.F11、收敛的函数列必依测度收敛。F12、由于，故不存在使之间对应的映射。F13、可数个零测度集之和集仍为零测度集。T14、若可测,且,则.F15、设为点集,,则是的外点.F16、点集为闭集.F17、任意多个闭集的并集是闭集.F四、解答题1、设，则在上是否可积，是否可积，若可积，求出积分值。解：在上不是可积的，因为仅在处连续，即不连续点为正测度集，因为是有界可测函数，在上是可积的因为与相等，进一步，考生答题不得超过此线考生答题不得超过此线2、求解：设，则易知当时，又因，()，所以当时，从而使得但是不等式右边的函数，在上是可积的，故有，3、求极限解：记 则在[0,1]上连续,因而在[0,1]上（R）可积和（L）可积.又且在上非负可积,故由Lebesgue控制收敛定理得4、设，则在上是否可积，是否可积，若可积，求出积分值。解：在上不是可积的，因为仅在处连续，即不连续点为正测度集因为是有界可测函数，所以在上是可积的因为与相等,进一步，5、求极限.解：设，则易知当时，又，但是不等式右边的函数，在上是可积的故有6、设求出集列的上限集和下限集证明：设，则存在N，使，因此时，，即，所以属于下标比N大的一切偶指标集，从而属于无限多，得，又显然得分阅卷人若有，则存在N，使任意，有，因此若时，，此不可能，所以五、证明题1、证明上的全体无理数作成的集其势为.证明：设。得分阅卷人复查人2.设使，则E是可测集。证明：对任何正整数，由条件存在开集使令，则是可测集又因对一切正整数成立，因而，即是一零测度集，所以也可测.由知，可测。得分阅卷人复查人3.试用Fatou引理证明Levi定理.证明：设为可测集上的一列非负可测函数，且在上有，令由为单调可测函数列知，可测，且于是从而…（*）另一方面，因为可测集上的一列非负可测函数，由Fatou引理知…（**）由（*）、（**）两式即证得分阅卷人复查人4、试证证明：记中有理数全体,令显然所以考生答题不得超过此线5、设是可测集的非负可积函数，是的可测函数，且，则也是上的可积函数。考生答题不得超过此线证明：，是可测集的非负可积函数是上的可积函数.同理，也是上的可积函数.是上的可积函数。得分阅卷人复查人7.设在上可积，则对任何，必存在上的连续函数，使.证明：设由于在上有限，故由积分的绝对连续性，对任何，使令，在上利用鲁津定理，存在闭集和在上的连续函数使（1）（2）时，，且所以8、设,且为可测集,.根据题意,若有,证明是可测集.证明：令,则且为可测集,于是对于,都有,故,令,得到,故可测.从而可测.9.证明:证明：1、设是上的实值连续函数，则对于任意常数是闭集。P512、设在上可积，，则.P132得分阅卷人复查人3、设是上有限的函数，若对任意，存在闭子集，使在上连续，且，证明：是上的可测函数。(鲁津定理的逆定理)P944.设为E上可积函数列，.于E，且，k为常数，则在E上可积.P1