习题课圆与方程

习题课圆与方程内容要求

1.能根据条件求直线或圆的方程.2.能利用坐标法解决一些简单的位置关系问题.3.通过研究圆上任意一点与直线上任意一点之间距离的最值问题及两圆关于直线对称问题，体会数形结合.化归的思想方法及解析法思想.自

主

预

习1.直线l：y－1＝k(x－1)和圆x2＋y2－2y＝0的位置关系是(

) A.相离

B.相切或相交 C.相交

D.相切答案C2.与圆(x－3)3＋(y＋2)2＝4关于直线x＝－1对称的圆的方程为(

) A.(x＋5)2＋(y＋2)2＝4 B.(x－3)2＋(y＋2)2＝4 C.(x－5)2＋(y＋2)2＝4 D.(x－3)2＋y2＝4解析已知圆的圆心(3，－2)关于直线x＝－1的对称点为(－5，－2)，∴所求圆的方程为(x＋5)2＋(y＋2)2＝4.答案A答案C4.已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是(

) A.(x－5)2＋(y－7)2＝25 B.(x－5)2＋(y－7)2＝17或(x－5)2＋(y＋7)2＝15 C.(x－5)2＋(y－7)2＝9 D.(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9答案D答案B6.两圆相交于点A(1，3)，B(m，－1)，两圆的圆心均在直线x－y＋c＝0上，则m＋c的值为________.答案3题型一与圆有关的最值问题【例1】

已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2＝3.规律方法在解决有关直线与圆的最值和范围问题时，最常用的方法是函数法，把要求的最值或范围表示为某个变量的关系式，用函数或方程的知识，尤其是配方的方法求出最值或范围；除此之外，数形结合的思想方法也是一种重要方法，直接根据图形和题设条件，应用图形的直观位置关系得出要求的范围.【训练1】

过直线x－y＋4＝0上任意一点P(x，y)向圆x2＋y2＝1引切线，求切线长的最小值.解如图，过O点向直线x－y＋4＝0引垂线，垂足为P，则P点是直线上所有点中到O点的距离最小的点.过P作圆x2＋y2＝1的一条切线PA，A为切点，此时切线长|PA|最小.连接OA.∵|PA|2＝|PO|2－|PA|2，|AO|＝r，题型二与圆有关的轨迹问题【例2】

如图所示，已知P(4，0)是圆x2＋y2＝36内的一点，A，B是圆上两动点，且满足∠APB＝90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.解连接AB，PQ交于点R，则R为AB，PQ的中点.连接AO，RO，则OR⊥AB.设R(x1，y1).在Rt△ARO中，整理，得x2＋y2＝56.故点Q的轨迹方程为x2＋y2＝56.规律方法本题为代入法：它用于处理一个主动点与一个被动点问题，只需找出这两点坐标之间的关系，然后代入主动点满足的轨迹方程即可.【训练2】

已知点P在圆C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上运动，求线段OP的中点M的轨迹方程.∵点P(x0，y0)在圆C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上，∴(2x)2＋(2y)2－8×(2x)－6×(2y)＋21＝0，题型三过交点的圆系方程的应用【例3】

求过直线x＋3y－7＝0与圆x2＋y2＋2x－2y－3＝0的交点且在两坐标轴上的四个截距之和为－8的圆的方程.解设过直线与圆的交点的圆的方程为(x2＋y2＋2x－2y－3)＋λ(x＋3y－7)＝0，即x2＋y2＋(2＋λ)x＋(3λ－2)y－3－7λ＝0.令y＝0，得x2＋(2＋λ)x－3－7λ＝0，∴圆在x轴上的两个截距之和为－2－λ.令x＝0，得y2＋(3λ－2)y－3－7λ＝0，∴圆在y轴上的两个截距之和为2－3λ.由题意得－2－λ＋2－3λ＝－8，解得λ＝2.故所求圆的方程为x2＋y2＋4x＋4y－17＝0.规律方法当经过直线与圆的交点时，圆的方程可设为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0；当经过两圆的交点时，圆的方程可设为(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1)＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0，然后依据已知条件求出待定系数λ即可.【训练3】

求过两圆C1：x2＋y2－4x＋2y＋1＝0与C2：x2＋y2－6x＝0的交点且过点(2，－2)的圆的方程.解设过两圆C1：x2＋y2－4x＋2y＋1＝0与C2：x2＋y2－6x＝0的交点的圆系方程为x2＋y2－4x＋2y＋1＋λ(x2＋y2－6x)＝0，即(1＋λ)x2＋(1＋λ)y2－(4＋6λ)x＋2y＋1＝0.把(2，－2)代入，得4(1＋λ)＋4(1＋λ)－2(4＋6λ)－4＋1＝0，∴圆的方程为x2＋y2＋2x＋8y＋4＝0.题型四利用坐标法解决直线与圆的问题【例4】

街头有一片绿地，绿地如图所示(单位：m)，其中ABC为圆弧，求此绿地面积(精确到0.1m2).解如图所示建立坐标系，各点坐标分别为A(0，7)，B(3，8)，C(7，6)，所以过A，B，C三点的圆弧方程为(x－3)2＋(y－3)2＝25(0≤x≤7，y＞0)，其所在圆的圆心为E(3，3)，连接AE，CE.规律方法利用坐标法解决实际问题一般需要三个步骤：(1)建立坐标系，将实际问题转化为数学问题；(2)解决数学问题；(3)将数学问题还原成实际问题.【训练4】

如图所示，l1，l2是通过某城市开发区中心O的两条南北和东西走向的街道，连接M，N两地之间的铁路线是圆心在l2上的一般圆弧，点M在点O正北方向，且|MO|＝3km，点N到l1，l2的距离分别为4km和5km.MN的中点为(2，4)，∴线段MN的垂直平分线方程为y－4＝－2(x－2).∴a≥5，即校址距离点O的最近距离为5km.整理得(8－2a)x＋a2－17≥0，①对0≤x≤4恒成立.令f(x)＝(8－2a)x＋a2－17，∵a＞4，∴8－2a＜0.∴f(x)在[0，4]上为减函数，[课堂小结]1.求圆的方程时，当给出的条件与圆心坐标、半径有关，或者由已知条件容易求得圆心坐标和半径时，一般用圆的标准方程比较方便；否则，用圆的一般方程较好，特别是当给出圆上三个点的坐标时，用一般方程可以得到关于D，E，F的三元一次方程组，这比用圆的标准方程简便得多.2.与圆有关的最值问题包含的情况 (1)求圆上一点到圆外一点P的最大距离、最小距离： dmax＝|CP|＋r