三角形全等 省赛获奖

第22课时三角形全等1．[2018·黔南州]如图22－1，a，b，c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是(

) A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．只有丙图22－1B【解析】乙、丙和△ABC全等．理由如下：在△ABC和图乙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：SAS，所以乙和△ABC全等；在△ABC和图丙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：AAS，所以丙和△ABC全等；无法判定甲与△ABC全等．2．[2017·台州]如图22－2，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD＝2，则点P到边OA的距离是 (

)图22－2A

第2题答图【解析】如答图，作PE⊥OA于E，∵点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，PE⊥OA，∴PE＝PD＝2.3．如图22－3，已知点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是 (

) A．∠BCA＝∠F B．∠B＝∠E C．BC∥EF D．∠A＝∠EDF图22－3B4．[2018·泸州改编]如图22－4，已知点D，A，E，B在同一条直线上，EF＝BC，DF＝AC，DA＝EB.求证：∠F＝∠C.图22－41．全等图形及全等三角形

全等图形：能够________的两个图形称为全等图形．

全等三角形：能够________的两个三角形叫全等三角形．2．全等三角形的性质

性质：全等三角形的对应边________，对应角________；

拓展：全等三角形的对应边上的高线________，对应边上的中线________，对应角的平分线________．重合重合相等相等相等相等相等3．三角形全等的判定对应相等的元素三角形是否一定全等一般三角形两边一角两边及其夹角一定(SAS)两边及其中一边的对角不一定两角一边两角及其夹边一定(ASA)两角及其中一角的对边一定(AAS)三角不一定三边一定(SSS)直角三角形斜边、直角边一定(HL)4.三角形的稳定性

三角形具有稳定性实际利用的就是“SSS”．5．角平分线的性质

性质：角平分线上的点到角两边的____________．

判定：角的内部，到角两边的距离相等的点在______________．6．命题与证明

命题：判断某一件事情的句子叫做命题．

组成：命题通常写成“如果……，那么……”的形式．

命题的真假：命题有真命题和假命题；定理是用推理的方法判断为正确的命题．距离相等角平分线上互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．把其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做它的逆命题．互逆定理：如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就称它为原定理的逆定理，这两个定理叫做互逆定理．【知识拓展】(1)改写命题时，要明确命题的条件和结论，有时语言要重新组合，可添上命题中被省略的词语；(2)用举反例的方法说明一个命题是假命题，就是举出一个符合命题题设而不符合命题结论的例子，举反例也可以通过画图的形式展现．1．证明的基本方法

综合法：从已知条件入手，探索解题途径的方法．

分析法：从结论出发，用倒推来寻求证题思路的方法．

两头“凑”法：综合应用以上两种方法而找到证题思路的方法．2．反证法

先假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定假设不正确，从而得到原命题成立． (1)有些用直接证法不易证明的问题可尝试考虑用反证法； (2)证明唯一性和存在性问题常用反证法．3．全等三角形证明规律 (1)出现角平分线时，常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形； (2)过角平分线上一点向角两边作垂线； (3)公共边是对应边，公共角是对应角； (4)若有中线时，常加倍中线，构造全等三角形．类型一命题、真假命题、互逆命题典例[2018·嘉兴]某届世界杯的小组比赛规则：四个球队进行单循环比赛(每两队赛一场)，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某小组比赛结束后，甲、乙、丙、丁四队分别获得第一、二、三、四名，各队的总得分恰好是四个连续奇数，则与乙打平的球队是 (

) A．甲 B．甲与丁 C．丙 D．丙与丁B【解析】∵甲、乙、丙、丁四队分别获得第一、二、三、四名，各队的总得分恰好是四个连续奇数，共进行3＋2＋1＝6场比赛，最高总得分18分，18＜9＋7＋5＋3，∴甲得分为7分，2胜1平，乙得分5分，1胜2平，丙得分3分，1胜0平，丁得分1分，0胜1平，∵甲、乙都没有输球，∴甲一定与乙平，∵丙得分3分，1胜0平，乙得分5分，1胜2平，∴与乙打平的球队是甲与丁．跟踪训练1.[2017·嘉兴]下列关于函数y＝x2－6x＋10的四个命题：①当x＝0时，y有最小值10；②n为任意实数，x＝3＋n时的函数值大于x＝3－n时的函数值；③若n＞3，且n是整数，当n≤x≤n＋1时，y的整数值有(2n－4)个；④若函数图象过点(a，y0)和(b，y0＋1)，其中a＞0，b＞0，则a＜b.其中真命题的序号是 (

)A．① B．② C．③ D．④C

【解析】

∵y＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，∴当x＝3时，y有最小值1，故①错误；当x＝3＋n时，y＝(3＋n－3)2＋1＝n2＋1，当x＝3－n时，y＝(3－n－3)2＋1＝n2＋1，∴n为任意实数，x＝3＋n时的函数值等于x＝3－n时的函数值，故②错误；∵抛物线y＝x2－6x＋10的对称轴为x＝3，a＝1＞0，∴当x＞3时，y随x的增大而增大，当x＝n＋1时，y＝(n＋1)2－6(n＋1)＋10，当x＝n时，y＝n2－6n＋10，(n＋1)2－6(n＋1)＋10－[n2－6n＋10]＝2n－5，∵n是整数，∴2n－5是整数，故③正确；∵抛物线y＝x2－6x＋10的对称轴为x＝3，a＝1＞0，∴当x＞3时，y随x的增大而增大，x＜3时，y随x的增大而减小，∵y0＋1＞y0，∴当0＜a＜3，0＜b＜3时，a＞b，当a＞3，b＞3时，a＜b，当a，b在3两侧时，a，b的大小不确定，故④错误．故选C.2．[2017·无锡]对于命题“若a2＞b2，则a＞b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是 (

)A．a＝3，b＝2 B．a＝－3，b＝2C．a＝3，b＝－1 D．a＝－1，b＝3【解析】A，C选项均满足a2＞b2，且a＞b，B选项满足a2＞b2，但a＜b，D选项不满足a2＞b2，故选B.B3．[2017·常德]命题：“如果m是整数，那么它是有理数”，则它的逆命题为：_______________________________．思维升华(1)两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题；(2)正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理；(3)举反例是说明假命题不成立的常用方法，但需要注意所举反例需要满足命题的题设，只是结论不成立．如果m是有理数，那么它是整数类型二反证法典例[2018·嘉兴]用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关系只能是 (

) A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆心上 D．点在圆上或圆内

【解析】反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关系只能是：点在圆上或圆内．DA．综合法 B．反证法C．举反例法D．数学归纳法B思维升华反证法的步骤是：(1)假设结论不成立；(2)从假设出发推出矛盾；(3)假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．类型三三角形全等典例[2018·温州]如图22－5，在四边形ABCD中，E是AB的中点，AD∥EC，∠AED＝∠B. (1)求证：△AED≌△EBC； (2)当AB＝6时，求CD的长．图22－5思维升华

(1)全等三角形的判定方法：SSS，SAS，ASA，AAS，HL；(2)判定两个三角形全等一般可以从三个角度思考：一是从三边考虑；二是从两边和它们的夹角考虑，三是从两角和夹边考虑；(3)轴对称、平移、旋转前后的两个图形全等．跟踪训练1.[2018·武汉]如图22－6，点E，F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C，AF与DE交于点G，求证：GE＝GF.图22－62．[2017·温州]如图22－7，在五边形ABCDE中，∠BCD＝∠EDC＝90°，BC＝ED，AC＝AD.(1)求证：△ABC≌△AED；(2)当∠B＝140°时，求∠BAE的度数．【解析】(1)根据边角边判定△ABC与△AED

三角形全等；(2)由三角形全等的性质得∠B＝∠E＝140°，五边形内角和为(5－2)×180°＝540°，再求∠BAE的度数．图22－7(2)由△ABC≌△AED得∠B＝∠E＝140°，∵五边形内角和为(5－2)×180°＝540°，∴∠BAE＝540°－2×140°－2×90°＝80°.类型四三角形全等的开放探究型问题典例[2018·成都]如图22－8，已知∠ABC＝∠DCB，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB的是 (

) A．∠A＝∠D B．∠ACB＝∠DBC C．AC＝DB D．AB＝DC图22－8C【解析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据定理逐个判断即可．A．∠A＝∠D，∠ABC＝∠DCB，BC＝BC，符合AAS定理，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误；B．∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，∠ACB＝∠DBC，符合ASA定理，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误；C．∠ABC＝∠DCB，AC＝BD，BC＝BC，不符合全等三角形的判定定理，即不能推出△ABC≌△DCB，故本选项正确；D．AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝BC，符合SAS定理，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误．跟踪训练1.[2018·金华]如图22－9，△ABC的两条高线AD，BE相交于点F，请添加一个条件，使得△ADC≌△BEC(不添加其他字母及辅助线)，你添加的条件是___________．图22－9AC＝BC【解析】根据三角形高线的定义可得∠ADC＝∠BEC＝90°，再有∠C＝∠C，然后再添加AC＝BC，可利用AAS判定△ADC≌△BEC.添加AC＝BC，∵△ABC的两条高线AD，BE，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，2．[2018·滨州]已知，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D为BC的中点．(1)如图22－10①，若点E，F分别为AB，AC上的点，且DE⊥DF，求证：BE＝AF；(2)若点E，F分别为AB，CA延长线上的点，且DE⊥DF，那么BE＝AF吗？请利用图②说明理由．图22－10解：(1)证明：如答图①，连结AD，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴△ABC为等腰直角三角形，∠EBD＝45°.∴△BDE≌△ADF(ASA)，∴BE＝AF；

跟踪训练2答图① 跟踪训练2答图②(2)BE＝AF.理由如下：如答图②，连结AD，∵∠ABD＝∠CAD＝45°，∴∠EBD＝∠FAD＝135°.∵∠EDB＋∠BDF＝90°，∠BDF＋∠FDA＝90°，∴∠EDB＝∠FDA.思维升华

(1)全等三角形的开放型探究试题，常见的类型有条件开放型、结论开放型及策略开放型三种．注意挖掘题目中隐含的条件，例如公共边、公共角、对顶角等；(2)三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查判定三角形全等的方法为主．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．类型五利用全等三角形设计测量方案典例杨阳同学沿一段笔直的人行道行走，在由A步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语，其具体信息汇集如下：

如图22－11，AB∥OH∥CD，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD相交于点O，OD⊥CD，垂足为D，已知AB＝20m，请根据上述信息求标语CD的长度．

图22－11【解析】由AB∥CD，利用平行线的性质，可得∠ABO＝∠CDO，由垂直的定义，可得∠CDO＝90°，易得OB⊥AB，由相邻两平行线间的距离相等可得OD＝OB，利用ASA定理，可得△ABO≌△CDO，由全等三角形的性质可得结果．解：∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠CDO，∵OD⊥CD，∴∠CDO＝90°，∴∠ABO＝90°，即OB⊥AB，∵相邻两平行线间的距离相等，∴OD＝OB，跟踪训练课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两墙之间，如图22－12所示．(1)求证：△ADC≌△CEB；(2)从三角板的刻度可知AC＝25cm，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a的大小(每块砖的厚度相等)．图22－12【解析】(1)根据题意，可得AC＝CB，∠ADC＝∠CEB＝90°，∠ACB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC；(2)根据全等，可得DC＝BE＝3a，根据勾股定理得(4a)2＋(3a)2＝252.解：(1)证明：由题意得AC＝CB，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠ACD＋∠BCE＝90°，∠ACD＋∠DAC＝90°，∴∠BCE＝∠CAD，∴△ADC≌△CEB(AAS)；(2)∵一块墙砖的厚度为a，∴AD＝4a，BE＝3a，由(1)得△ADC≌△CEB，∴DC＝BE＝3a，在Rt△ACD中，AD2＋CD2＝AC2，∴(4a)2＋(3a)2＝252，∵a＞0，∴解得a＝5，∴砌墙砖块的厚度a为5cm.类型六角平分线典例如图22－13，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是 (

)

A．8 B．6 C．4 D．2图22－13C

典例答图【解析】如答图，过点P作PE⊥BC于点E，∵AB∥CD，PA⊥AB，∴PD⊥CD，∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB