2023年湖南省长沙市长郡教育集团中考数学一模试卷（含解析）

2023年湖南省长沙市长郡教育集团中考数学一模试卷

一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.本题共io个小题，每小

题3分，共30分）

1.比较实数0，.朝，2,-1.7的大小,其中最小的实数为()

A.0B.一辆C.2D.-1.7

2.人体中红细胞的直径约为0.0000077，”,用科学记数法表示数的结果是()

A.7.7X106”？B.0.77X10-6/«C.7.7X105加D.7.7X10-66

3.下列运算正确的是（）

A.（-3〃）2=6层B.(〃2)2=a5

C.a2*a3=a（）D.(-a)3-r(-a)=a2

4.下列生活垃圾分类标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

5.将不等式X-2V1与4x2-8的解集表示在同一数轴上正确的是（)

A.

B.□

C.

D.

3

6.某篮球代表队16名队员的年情况如下表:

年龄/岁3536384044

人数53332

则这些队员年龄的众数和中位数分别是（）

A.36,36B.35,38C.35,37D.5,38

7.已知一次函数.y=ax-1（aW0）的函数值），随x值的增大而增大，则一次函数y=-or+2

)

,NB=30°,根据尺规作图保留的痕迹，下列结论错误

的是（)

B.AD=BD

C.AC=2CDD.S〉ABD=2SMCD

9.如图，48为。。的弦，点P在弦A8上，BP=9,AP=3,点。到A8的C距离为5,

B.8D.741

10.二次函数y=ox2+6x+c.的图象如图所示，下列结论中：①b2V4ac；②abcVO；③2a+b

<0；④（a+c）2<b2；其中正确的个数是（

二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.分解因式：x2y-4y—.

12.若式子乂运■在实数范围内有意义，则x的取值范围是.

x

13.如图，直线，"〃〃，ZVIBC的顶点8,C分别在直线"，，"上，且/AC8=90°,若N1

=40°,则/2等于度.

14.一个不透明的箱子中有4个红球和若干个黄球，若任意摸出一个球，摸出红球的概率是

春，则黄球个数是_______个.

5

15.如图，在矩形A8C。中，E在边上，将AABE沿BE折叠，点A恰好落在矩形ABC。

的对称中心。处，若A8=3,则BC的长为.

16.如图，在RtZ\ABC中，/ACB=90°,ZABC=30°,AB=2百，将RtZxABC绕直角

顶点C逆时针旋转，当点A的对应点4首次落在A8边上时即停止转动，则点8经过的

路径长为

Br

三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分,

第22、23每小题6分，第24、25每小题6分，共72分，解答需写出必要的文字说明、证

明过程或演算步骤）

17.计算：|正-2|-2tan60。+(K-2023)0+727•

’6(x+2)>8x+9①

18.解不等式组：x-1

+2>苧②.

2

19.长沙电视塔位于岳麓山峰顶（如图），此峰顶距地面高度MN=270〃?.电视塔集广播电

视信号发射和旅游观光功能于一身.如右图所示，小明同学在地面点A处测得峰顶N处

的仰角为15°,由点A往前走640机至点B处，测得电视塔顶P处仰角为45°,请求出

电视塔的高度NP.（假设图中A、B、M三点在一条直线上，参考数据：sinl5°以0.26,

cosl5°®=0.97,tanl5°七0.27)

20.2022年10月12日“天宫课堂”第三课在中国空间站开讲并直播，神舟十四号三位航

天员相互配合，生动演示了微重力环境下的四个实验：人毛细效应实验；8.水球变'‘懒"

实验；C.太空趣味饮水；D.会调头的扳手.某校九年级数学兴趣小组成员为研究“九

年级学生对这四个实验中最感兴趣的是哪一个？”随机调查了本年级的部分学生，并绘

制了两幅不完整的统计图，请根据图中的信息回答下列问题:

（1）本次被调查的学生有人；扇形统计图中。所对应的圆心角的度数

为

（2）请补全条形统计图;

（3）该校九年级共有650名学生，请估计该校九年级学生中对&水球变“懒”实验最

感兴趣的学生大约有多少人？

(4)李老师计划从小明、小刚、小兰、小婷四位学生中随机抽取两人参加学校的微重力

21.如图，在QABCQ中，G是BC的中点，点尸在CQ上，FG的延长线与AB的延长线交

于点E,连接8F,CE.

(1)求证：四边形CEB尸是平行四边形；

(2)若4£>=6,NA=60°,/AEC=90",

①试求GF的长度；

②四边形CEB尸的面积.

22.2022年4月16B,神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，任务取得圆满成功.航模店

看准商机，推出了“神舟”和“天宫”模型.已知每个“天宫”模型的成本比“神舟”

模型低20%,同样花费320元，购进“天官”模型的数量比“神舟”模型多4个.

(1)“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？

(2)该航模店计划购买两种模型其100个，且每个“神舟”模型的售价为34元，“天

官”模型的售价为26元.设购买“神舟”模型。个，销售这批模型的利润为卬元.

①求w与。的函数关系式(不要求写出。的取值范围)；

②若购进“神舟”模型的数量不超过“天官”模型数量的一半，则购进“神舟”模型多

少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？

23.如图，已知AB为的直径，CO是弦，ABA.CD,垂足为点E,OFYAC,垂足为点

F,BE=OF.

（1）求证：AC=CD；

（2）若BE=4,C£）=8百，求阴影部分的面积.

24.如图，抛物线y=or2+bx+c（〃W0）的顶点为A,与y轴交于点C.过点A作线段A8

垂直y轴交于点B,过点C作线段CD垂直抛物线的对称轴交于点D,我们称矩形ABCD

为抛物线y=aN+%x+c"W0）的“伴随矩形”.

（1）请根据定义求出抛物线y=2r2+4x-2的“伴随矩形"ABC。的面积；

（2）已知抛物线y=-/一3X+2的“伴随矩形”为矩形ABCD,若矩形ABCD的四边与

直线-机+1共有两个交点，且与双曲线y=2坦无交点，请直接写出团的取值范围；

X

（3）若对于开口向上的抛物线尸〃/+法《（匕#0）,当）,=0时，方程c昌以+g=（）

的两个根为为，及，且满足下列条件：①该抛物线的“伴随矩形"A3CO为正方形；②1

WSABCQW9（其中SABCQ表示矩形A5CD的面积）；③x.；+（2-1号t）x〔x「的最小

25.如图1,在。。中，48为直径，点。在圆上，tanNA=-:，AB=—,。是A8上一

152

动点（与点A、8不重合），DE平分NCDB交边BC于点、E,EFLCD,垂足为点F.

(1)当点D与圆心。重合时，如图2所示，则。E=；

(2)若CD^CEYB,试探究△BDE与QEF有何面积关系，并证明;

(3)当4CE/与△ABC相似时，求cos/8£>E的值.

参考答案

一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.本题共1（）个小题，每小

题3分，共30分）

1.比较实数0,_炯,2,-1.7的大小，其中最小的实数为（）

A.0B._版C.2D.-1.7

【分析】先计算8的立方根，再比较各数的大小.

解：：---2,

-2<-1.7<0<2.

故选：B.

【点评】本题考查了实数的大小比较，掌握实数大小的比较方法是解决本题的关键.

2.人体中红细胞的直径约为0.0000077〃?，用科学记数法表示数的结果是（）

A.7.7X106%B.0.77X10-6机c.7.7X105/nD.7.7X10

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为“X10F,与较大

数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幕，指数由原数左边起第一个不为零的数

字前面的。的个数所决定.

解：0.0000077=7.7义10一6根.

故选：D.

【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为。义10”,其中1W间<10,

n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

3.下列运算正确的是（）

A.（-3（7）2=6.2B.（。2）2=〃5

C..苏=*D.（-a）34-（-a）=a2

【分析】分别根据基的乘方与积的乘方法则，同底数基的乘法与除法法则对各选项进行

分析即可.

解：A、（-3a）2=9算原计算错误，不符合题意；

B、（a2）2=〃，原计算错误，不符合题意；

C、。2.“3=/，原计算错误，不符合题意；

D、(-a)3-i-(-a)=(-a)2=a2,符合题意.

故选：D.

【点评】本题考查的是同底数幕的除法与乘法，暴的乘方与积的乘方法则，熟知以上知

识是解题的关键.

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.

解：A、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不合题意；

3、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项符合题意；

C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不合题意；

。、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不合题意.

故选：B.

【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称

轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分

重合.

5.将不等式尤-2<1与4x2-8的解集表示在同一数轴上正确的是（）

【分析】分别求出每一个不等式的解集可得答案.

解：由X-2V1,得：xV3,

由4x2-8,得：X》-2,

表示在数轴上如下：

-------'-----'-----'-----■----0-A

-2-10123

故选：A.

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知

“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.

6.某篮球代表队16名队员的年情况如下表：

年龄/岁3536384044

人数53332

则这些队员年龄的众数和中位数分别是（）

A.36,36B.35,38C.35,37D.5,38

【分析】先把原数据按由小到大排列，然后根据众数、中位数的定义求解.

解：这组数据中35出现5次，次数最多，

所以这组数据的众数是35；

把这些数据从小到大排列，中位数是第8、第9个数的平均数，

所以这组数据中位数为工（36+38）=37；

2

故选：C.

【点评】本题考查了众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；注意找

中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有

奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数.

7.已知一次函数y=ar-1（。#0）的函数值y随x值的增大而增大，则一次函数y=-ax+2

【分析】根据一次函数)，=依-1(aWO)的函数值y随x的增大而增大，可以得到。>0,

然后即可得到函数y=-方+2的图象经过哪几个象限，从而可以解答本题.

解：•.•一次函数y=ax-1"WO)的函数值y随x的增大而增大，

・・・-a<0,

，函数y=-or+2的图象经过第一、二、四象限，

故选：C.

【点评】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利

用一次函数的性质解答.

8.如图，在△ABC中，ZC=90°,ZB=3O°,根据尺规作图保留的痕迹，下列结论错误

的是()

A.AO是NBAC的平分线B.AD=BD

C.AC—2CDD.SAABD—25A4CD

【分析】由尺规作图痕迹可知，A。为NBAC的平分线，则可得/。。=/54。=30°,

进而可得AD=BD,在RtAACD中，ZCAD=30°,可得AD=2CD,则BD=2CD,

SAABD]BD・AC=2(yCD-AC)=2SAACD»即可得出答案•

解：由尺规作图痕迹可知，A。为NBAC的平分线，

故A选项正确，不符合题意；

VZC=90°,ZB=30°,

：.ZBAC=60°,

•「AO为NB4c的平分线,

AZCAD=ZBAD=30°,

:./BAD=/B,

：.AD=BD,

故3选项正确，不符合题意；

在Rtz^ACQ中，ZCAD=30°,

：.AD=2CD,

故C选项错误，符合题意；

•：AD=2CD,AD=BD,

：.BD=2CDf

S

AABD=yBD-AC=2(-1<D»AC)=2SAACD-

故。选项正确，不符合题意.

故选：C.

【点评】本题考查作图-基本作图、等腰三角形、直角三角形，熟练掌握角平分线的作

图步骤是解答本题的关键.

9.如图，A8为的弦，点P在弦AB上，BP=9,AP==3,点。到AB的C距离为5,

则OP长为()

A.7B.8C.734D.何

【分析】过点。作。CLA8,垂足为点C,根据BP=9,AP=3,点。至IJA3的距离为3,

得到48^2,AC=BC=6,OC=3,从而得到PC=AC-PA=3,根据勾股定理，得OP

={OC2+PC2计算即可・

解：过点。作OC_L4B,垂足为点C,

因为8尸=6,AP=2,点。到AB的距离为3,

所以AB=9,AC=BC=6,0C=3,

所以PC=AC-PA=6-3=3,

所以0P=VoC2+PC2=V52+32=V34-

故选：C.

【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键.

10.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中：®b2<4aa②a/?c<0；®2a+b

<0；④（a+c）2<〃；其中正确的个数是（）

C.3个D.4个

【分析】利用二次函数的性质，结合图象即可一一判断.

解：：抛物线与x轴有交点,

△>0,

：.b2-4ac>0,

.>4ac,故①错误;

•.•抛物线开口向下,

：.a<0

；抛物线交y轴于正半轴,

：.c>0,

/.abc<0,故②正确;

——->1,a<0,

2a

'.b>-2a,,

2a+b>0,故③错误，

：x=l时，y>0,

a+h+c>0,

""x=-1时，y<0,

'.a-b+c<0,

(a+b+c)(a-b+c)<0,

(a+c)2<h2,故④正确，

故选:B.

【点评】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,

属于中考常考题型.

二、填空题(本题共6个小题，每小题3分，共18分)

11.分解因式：x2y-4y=y分+2)(x-2).

【分析】先提取公因式y,然后再利用平方差公式进行二次分解.

解：x2y-4y,

—y(x2-4),

=y(x+2)(x-2).

故答案为：y(x+2)(%-2).

【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，利用平方差公式进行二次分解因式

是解本题的难点，也是关键.

4x+2

12.若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是e-2月.xro

【分析】根据二次根式有意义的条件可得x+220且xHO,再解即可.

解：由题意得：x+210且xWO,

解得：1》-2且》/0,

故答案为：6-2且xWO.

【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，以及分式有意义的条件，关键是掌握

分式有意义，分母不为0;二次根式的被开方数是非负数.

13.如图，直线机〃力ZViBC的顶点B,C分别在直线小加上，且/ACB=90°,若/I

=40°,则N2等于130度.

【分析】先根据平行线的性质求出/3的度数，再由/ACB=90°得出N4的度数，根据

补角的定义即可得出结论.

解：'：m//n,Zl=40°,

.•./3=/1=40°.

VZACB=90Q,

：.Z4=ZACB-Z3=90--40°=50°,

.".Z2=180°-Z4=180°-50°=130°.

故答案为：130.

【点评】本题考查的是三角形的内角和，平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，

内错角相等.

14.一个不透明的箱子中有4个红球和若干个黄球，若任意摸出一个球，摸出红球的概率是

g则黄球个数是6个.

5

【分析】设这个箱子中黄球的个数为X个，再根据概率公式求出X的值即可.

解：设这个箱子中黄球的个数为X个，

根据题意得，--=3，

4+x5

解得x=6,

经检验，x=6是方程的解.

故答案为：6.

【点评】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

15.如图，在矩形ABCD中，E在4。边上，将aABE沿BE折叠，点4恰好落在矩形ABCO

的对称中心。处，若AB=3,则BC的长为一百

【分析】连接0D，由。是矩形ABC。中心，得到8,O,。共线，由翻折变换得到OB

=A8,由矩形的性质得到8O=2OB=2AB=6,由勾股定理求出的长即可.

解：连接。。，

是矩形A8CC中心，

：.B,0,。共线,

---AABE沿BE翻折到△OBE,

：.OB=BA,

•••四边形ABC。是矩形，。是它的中心，

.•.8D=2OB=2AB=2X3=6,BC^AD,

VZBAD=90°,

•■"AD=VBD2-AB2=V62-32=3V3>

BC=AD=3y/2-

故答案为：3百.

【点评】本题考查矩形的性质，中心对称，翻折变换，关键是掌握矩形的性质.

16.如图，在RtaABC中，ZACB=90°,ZABC=30°,AB=2百，将RlZiABC绕直角

顶点C逆时针旋转，当点A的对应点H首次落在AB边上时即停止转动，则点B经过的

【分析】首先根据解直角三角形计算出BC长，再根据等边三角形的判定和性质计算出

NAC4'=60",进而可得NBC*=60°,然后再根据弧长公式可得答案.

解：VZB=30°,4B=2百，

BC=AB*cos30°=3,ZA=60°,

u：AC=ArC,

二•NAA'。是等边三角形，

AZACAf=60°,

：.ZBCBf=60°,

...弧长/=60.兀X3=n,

180

故答案为：TT.

【点评】此题主要考查了等边三角形的判定和性质，以及弧长计算，关键是掌握弧长计

算公式.

三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分,

第22、23每小题6分，第24、25每小题6分，共72分，解答需写出必要的文字说明、证

明过程或演算步骤）

17.计算：|V3-2|-2tan60,+（冗-2023）°+屈•

【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答.

解：|'/3-2|-2tan6O0+（冗-2023）°+后

=2-料-2百+1+3百

=3.

【点评】本题考查了实数的运算，零指数基，特殊角的三角函数值，准确熟练地化简各

式是解题的关键.

6(x+2)>8x+9①

18.解不等式组:等+2>弩■②.

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中

间找、大大小小找不到确定不等式组的解集.

解：解不等式①，得：x<-1,

解不等式②，得：x>-5,

则不等式组的解集为-

2

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知

“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.

19.长沙电视塔位于岳麓山峰顶（如图），此峰顶距地面高度MN=270%电视塔集广播电

视信号发射和旅游观光功能于一身.如右图所示，小明同学在地面点A处测得峰顶N处

的仰角为15°,由点A往前走640〃?至点B处，测得电视塔顶P处仰角为45。，请求出

电视塔的高度NP.（假设图中A、B、M三点在一条直线上，参考数据：sinl5。心0.26,

cosl5°七0.97,tan15°仁0.27)

【分析】在RtZ\AMN中，根据三角函数的定义得到AM=1000〃?，根据等腰直角三角形

的性质得到PM=BM=360m,于是得到结论.

解：在RtZWWN中，VZAMN=90Q,MN=270m,NMAN=15°,

/.tanA=tanl5°=111=^12^0.27,

ANAM

：.AM=\000m,

：AB=640m,

1000-640=360(M,

在RtZYBPM中，VZPBM=45°,

；.PM=BM=360，”，

：.PN=PM-MN=360m,

答：电视塔的高度NP为360m.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握仰角俯角的定义和

锐角三角函数定义是解题的关键.

20.2022年10月12日“天宫课堂”第三课在中国空间站开讲并直播，神舟十四号三位航

天员相互配合，生动演示了微重力环境下的四个实验：A.毛细效应实验；B.水球变“懒”

实验；C.太空趣味饮水；D.会调头的扳手.某校九年级数学兴趣小组成员为研究“九

年级学生对这四个实验中最感兴趣的是哪一个？”随机调查了本年级的部分学生，并绘

制了两幅不完整的统计图，请根据图中的信息回答下列问题：

（1）本次被调查的学生有50人:扇形统计图中D所对应的圆心角的度数为

36°；

（2）请补全条形统计图；

（3）该校九年级共有650名学生，请估计该校九年级学生中对a水球变“懒”实验最

感兴趣的学生大约有多少人？

（4）李老师计划从小明、小刚、小兰、小婷四位学生中随机抽取两人参加学校的微重力

【分析】（1）用对。实验最感兴趣的人数除以其所占的百分比可得本次被调查的学生人

数；用360°乘以被调查的学生中对。实验最感兴趣的人数所占的百分比，即可得扇形

统计图中。所对应的圆心角的度数.

（2）用被调查的学生总人数分别减去对A,C,。实验最感兴趣的人数，可得对B实验

最感兴趣的人数，补全条形统计图即可.

（3）根据用样本估计总体，用650乘以被调查的学生中对艮水球变“懒”实验最感兴

趣的人数所占的百分比，即可得出答案.

（4）画树状图得出所有等可能的结果数和恰好抽中小刚、小兰两人的结果数，再利用概

率公式可得出答案.

解：（1）本次被调查的学生有20・40%=50（人）.

扇形统计图中。所对应的圆心角的度数为360°xg=36°.

50

故答案为：50：36。.

（2）50-10-20-5=15（人）.

补全条形统计图如图所示.

.•.该校九年级学生中对反水球变“懒”实验最感兴趣的学生大约有.195人.

(4)画树状图如下:

开始

小明小刚小兰小婷

/KX\/N/N

小刚小兰小婷小明小兰小婷小明小刚小婷小明小刚小兰

共有12种等可能的结果，其中恰好抽中小刚、小兰两人的结果有2利3

，恰好抽中小刚、小兰两人的概率为三=J.

【点评】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能

够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解

答本题的关键.

21.如图，在中，G是的中点，点F在CD上，FG的延长线与A8的延长线交

于点E,连接BF,CE.

(1)求证：四边形CEB尸是平行四边形；

(2)若AO=6,ZA=60°,/AEC=90",

①试求GF的长度；

②四边形CEB尸的面积.

【分析】(1)证AGC尸也4GBE(AS4),得FG=EG,即可得出结论:

（2）①由平行四边形的性质得BC=AO=6,再证平行四边形"BF是矩形，然后由矩

形的性质即可得出结论；

②解直角三角形求出BE,CE,可得结论.

【解答】（1）证明：•.•四边形ABC£＞是平行四边形，

J.AB//CD,

:.NGCF=NGBE,

：G是BC的中点，

：.CG=BG,

在△GCF和AGBE中，

2GCF=NGBE

-CG=BG.

NCGF=NBGE

:./XGCF注AGBE（ASA）,

：.FG=EG,

四边形CEB尸是平行四边形；

（2）解：①；四边形ABC。是平行四边形，

：.BC^AD=6,

由（1）可知，四边形CEBF是平行四边形，

VZAEC=90°,

平行四边形CEB尸是矩形，

：.EF=BC=6,

：.GF=—EF=3；

2

②

：.ZA=ZCBE=60°,

.•.BE=BCcos60。=3,EC=«BE=36,

矩形CEBF的面积=BE・CE=9日.

【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定

与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键.

22.2022年4月16B,神舟十三号裁人飞船返回舱成功着陆，任务取得圆满成功.航模店

看准商机，推出了“神舟”和“天宫”模型.已知每个“天宫”模型的成本比“神舟”

模型低20%,同样花费320元，购进“天官”模型的数量比''神舟"模型多4个.

（1）“神舟"和''天宫"模型的成本各多少元？

（2）该航模店计划购买两种模型其100个，且每个“神舟”模型的售价为34元，“天

官”模型的售价为26元.设购买“神舟”模型a个，销售这批模型的利润为卬元.

①求w与a的函数关系式（不要求写出a的取值范围）；

②若购进“神舟”模型的数量不超过“天官”模型数量的一半，则购进“神舟”模型多

少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？

【分析】（1）设“神舟”模型成本为每个x元，则“天宫”模型成本为每个（1-20%）

x=0.8x（元）,根据同样花费320元，购进“天官”模型的数量比“神舟”模型多4个.列

出方程，解方程即可，注意验根；

（2）①设购买“神舟”模型。个，则购买“天宫”模型（100-“）个，根据总利润=两

种模型利润之和列出函数解析式即可；

②根据购进“神舟”模型的数量不超过“天官”模型数量的一半求出。的取值范围，由

函数的性质求最值即可.

解：（1）设“神舟”模型成本为每个x元，则“天宫”模型成本为每个（1-20%）x=

0.8x（元）,

根据题意得：—=77^--4）

x0.8x

解得x=20,

经检验，x=20是原方程的解，

0.8%=16（元）,

答：“神舟”模型成本为每个20元，“天宫”模型成本为每个16元；

（2）①设购买“神舟”模型。个，则购买“天宫”模型（100-。）个，

贝IJw=（34-20）a+（26-16）（100-a）=4a+1000,

.♦.w与a的函数关系式为vv=4«+1000；

②•.•购进“神舟”模型的数量不超过“天官”模型数量的一半，

：.a^—(100-a),

2

解得aW挈，

；w=4a+1000,4>0,a是正整数，

...当x=33时，w最大，最大值为1132,

答：购进“神舟”模型33个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是1132元.

【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用和分式方程的应用，关键是

找到等量关系列出函数解析式和方程.

23.如图，已知A8为。。的直径，CD是弦，A8LC。，垂足为点E,OF±AC,垂足为点

F,BE=OF.

(1)求证：AC=CQ；

(2)若BE=4,8=8百，求阴影部分的面积.

【分析】(1)根据AA5证明△AFO丝aCEB即可判断;

(2)根据SM=S国形OCD~SAOC。计算即可.

【解答】(1)证明：TAB为。。的直径，

•，-BC=BC»CE=±CD,

：.NA=NDCB,

：.OF_LAC,

：.ZAFO=ZCEBAF=­AC,

12

•；BE=OF,

：.AAFO^ACEB(A4S),

：.AF=CE,

：.AC=CD；

(2)〈AB为。。的直径，ABLCD,

.•.CE=£cQ=4百，

设OC=r,贝U0E=r-4,

Ar2=0-4)2+(4-\/3)2

:.r=8,

连接OD,

在RtZ\OEC中，OE=4=/OC,

AZOC£=30°,ZCOB=60°,

：.ZCOD=\20Q,

AAFO^ACEB,

:.SAAFO=S»BCE,

:+S&]=S用形。。-S^OCD

=磔=2芷-工X8百X4

3602

=争-16V3.

o

【点评】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，以及扇形的面积的计算，正确求得NC0E

的度数是解决本题的关键.

24.如图，抛物线)>=以2+乐+c(/>#0)的顶点为A,与y轴交于点C.过点4作线段A8

垂直y轴交于点B,过点C作线段CD垂直抛物线的对称轴交于点D,我们称矩形ABCD

为抛物线y=or2+bx+c"W0)的“伴随矩形”.

(1)请根据定义求出抛物线y^2x2+4x-2的“伴随矩形"ABC。的面积；

(2)已知抛物线y=-/-3x+2的“伴随矩形”为矩形ABCD,若矩形ABC。的四边与

直线y=,〃x-〃?+1共有两个交点，且与双曲线y=2坦无交点，请直接写出m的取值范围；

X

(3)若对于开口向上的抛物线、=〃/+法+半”#0),当y=0时，方程级2+法+申=0

的两个根为箝，必且满足下列条件：①该抛物线的“伴随矩形"A3CQ为正方形；@1

<SA8CD<9(其中SABCD表示矩形A3CQ的面积)；③x；+xg+(2-4t)x〔X?的最小

值为-20f.请求出满足条件的f值.

【分析】(1)求出A(-1,-4),C(0,-2),即可得矩形ABC。的边长分别为1

和2,再求面积即可；

(2)先求出“伴随矩形”为矩形ABCQ的四个顶点坐标分别为A(-V，¥)，B(0,

24

¥■),C(0,2),。(Y，2),直线经过B点时产-学，直线经过。点时产

424

W，贝卜早〈川<-苦时，矩形ABCC的四边与直线尸必〃?+1共有两个交点，当

545

双曲线经过A点时，机=-¥，则机<-¥■时，矩形ABC。的四边与双曲线了=项无

88x

交点，故-1£<"?<-时，满足题意；

48

(3)抛物线的“伴随矩形"ABCQ的顶点分别是A(-4,]■-上_),8(0,,

2a24a24a

22

C(0,当，。日)，由题意可得|一2|=卜互|,日鸟＜9,求出

22a22a4a4a23

Wl,再由△=4-6a20,进一步确定《Wawg,根据韦达定理得xi+x2=-xi,xi=

33a

77-,则x；+x%(2-*t)X[x)?=4(--r)2-4凡当03时，4(3-Z)2-4r2=-

2a1/3i/a

201,解得f=9；当tVW•时，4(--t)2-4t--20/,解得t=-2；当时;

2282

-20f=-4t2,解得f=0(舍)或f=5(舍)；综上所述：r的值为9或-

解：(1)\'y^2x2+4x-2^2(x+1)2-4,

；.A(-1,-4),

当x=0时，y=-2,

：.C(0,-2),

・,・伴随矩形”/158的面积=2乂1=2；

Q17

(2)•.•y=-/-3x+2=-(x+-)2+-^—,

24

，“伴随矩形”为矩形ABC。的四个顶点坐标分别为A(-於，¥■),8(0,¥■),

244

3

C(0,2),D(-4,2),

2

直线经过3点时，+1=¥，解得〃尸一学,

44

直线经过。点时，-日机-，"+1=2,解得根=-3,

25

-学3时，矩形ABCD的四边与直线y=mx-m+\共有两个交点,

45

当双曲线经过A点时，机=一,

；./«<-¥时，矩形ABC。的四边与双曲线y=2胆无交点,

8x

-■时，满足题意；

48

(3)\'y=ax2+bx+—=a(x+?)

22a24a

.\A(--,—-上)，

2a24a

.♦.抛物线的“伴随矩形”4BC。的顶点分别是4(-力-，於-「)B(0,

2a24aA

C(0,—),£>(一旦，—)

22a2

,“伴随矩形"A8C。为正方形，

,bb2t

•I-7r-l=l~—I，

2a4a

・b=±2,

"1WSABC°W9,

h2

•1W—W9,

4a<

•抛物线开口向上，

・4>0,

.1工，

3

•方程。口的+田二。的两个根为Xl,X2,

A=4-6Q20,

.<2

3

.ly<2

・・^WqW-，

33

♦工一b,_3

..Xl+X2=---,X\'X2=，

a2a

2

：•x|+x(2-^-t)Xi乂2=号-2・福+(2-*，)•导=4(--r)2-4r2,

1zz

，匕3a2a32aa

x；+x$+(2」gt)xix2的最小值为-203

当t>3时,4(3-力2-今2=-20/,

解得1=9；

QQ

当时、4（士-，）2-4产=-206

22

解得t-一1；

o

当士WK3时，-20t=-4凡

2

解得1=0（舍）或f=5（舍）；

综上所述：f的值为9或-右

【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，矩形的性

质，弄清“伴随矩形”的定义是解题的关键.

25.如图1,在。。中，A8为直径，点C在圆上，tan/A=[,A8=±g,。是A8上一

15