2023年江苏省七市联考高考数学模拟试卷解析版

南通市2023届高三第一次调研测试解析版

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.(5分)已知集合4=31忘;(<3},B={x[2Vx<4},则AAB=()

A.(2,3JB.[I,4)C.(-8,4)D.[1,+°0)

【解答】解:AC8={x|2VxW3}=(2,3].

故选：A.

2.(5分)已知向量a,b满足|a|=1，|b|=2,Q,b〉=,则a•(a+b)=(

A.-2B.-1C.0D.2

【解答】解：根据题意可得)=；%■+1X2X(4)=0，

故选：C.

3.(5分)在复平面内，复数zi,Z2对应的点关于直线x-y=O对称，若=则0-

Z2|=()

A.&B.2C.2V2D.4

【解答】解：zi=1-i对应的点为(1,-1),其中(1,-1)关于x-y=0的对称点为

(-1,1),

故Z2—-1+J，

故|Z1-z2l=|l-i+l-i|=|2-2i1=74^4=272-

故选：C.

4.(5分)2022年神舟接力腾飞，中国空间站全面建成，我们的“太空之家”遨游苍穹.太

空中飞船与空间站的对接，需要经过多次变轨.某飞船升空后的初始运行轨道是以地球

的中心为一个焦点的椭圆，其远地点(长轴端点中离地面最远的点)距地面51，近地点

(长轴端点中离地面最近的点)距地面S，地球的半径为R,则该椭圆的短轴长为()

A.何用B.诋可

C.1(S1+R)(S2+R)D--(SI+R)(S2+R)

【解答】解：由题意得〃+c=5i+R,a-c=Sz+R,

:.序-2=(Si+R)(S2+R)，

故b"(Si+R)(S2+R)，

2b=24(S[+R)(S2+R)，

故选：D.

JTOTT

5.(5分)已知sin(a-^~)+cosCL=—<则cos(2a+-^)=()

A.理B,J-C.」D.』

25252525

【解答】解：•••sin(a」、1./।兀、3

.)+「nya=2L±Lsina+—cosa=sin(a+--)=—,

6,2265

./cz兀、_1C.2/z兀、_1OY9_7

cos(2a•t^)—1-2sin(a1-2X话一正,

故选：B.

6.(5分)已知随机变量X服从正态分布N(1,。2),有下列四个命题:

甲：P(X>m+1)>P(X<m-2)；

乙：P(X>m)=0.5；

丙：P(XW〃?)=0.5；

T：P(w-\<X<m)<P(m+\<X<m+2).

如果只有一个假命题，则该命题为()

A.甲B.乙C.丙D.丁

【解答】解：命题乙，丙同真假，

由题意可知，四个命题只有一个为假命题，

故乙，丙均为真命题，

所以\i—m,

P(X>/n+l)=P(X</n-1)>P(X<w-2),故甲正确，

P(w-\<X<m)=PCm<X<m+l)>PCm+\<X<m+2),故丁错.

故选：D.

7.(5分)已知函数/(x)的定义域为R,且/(2x+l)为偶函数，/(x)=fCx+\)-/(x+2),

若f(1)=2,则f(18)=()

A.1B.2C.-1D.-2

【解答】解：因为f(2r+l)为偶函数，所以f(2x+l)=/(-2x+l),

所以/(x+1)=/(-x+l),则/(x)关于x=l对称，

设f(x)=2sin(子乂止于)，f(l)=2sin("^-■>*1)=2，关于x=l对称，

ITITITTT

f(x)+f(x+2)=2sin(—x-»^-)+2sin[—(x+2)4^-]

/兀兀、/兀5、r

2[rsin(-z-xF+sin(—x-^H)]

n71兀K兀

r,_-____5兀-兀.-5兀■,c-兀

2[sirr-^-x：cos7+cos-z_xsinT+sinzxcos+cosz-xsinT-J=2cosz-x

63636363

-f(x+l)=2sin(-y-x-*^_)=2cos~^_x,所以f(x+1)=/(1)+f(x+2),

即f(x)=2sin•兀•卷)符合条件，

兀

所以f(18)=2sin(6兀7)=1-

故选：A.

8.（5分）若过点P（60）可以作曲线y=(1-x），的两条切线，切点分别为A（xi，yi）,

B（X2，"），则yi”的取值范围是（)

A.(0,4/3)B.(-oo,o)U(0,4/3)

C.(-8,4/2)D.(-8,0)U(0,4/2)

-=xxx

【解答】解：设切点(x°,(1-Xg)e,/-e+(1-x)e=-xe,k=-xQe

则切线方程为y-(l-xo)广=-XoeX°(x-Xo)，又切线过h，。)，

•*,-(l-Xg)e°=-XQ60(t-Xg)»3-1=70(，-刈)，

22

X+XX

oooo-(t+1)XQ+1=0有两个不相等实根为，X2f

=+

其中X[X2=1,xi+x2tl,△=(t+1)2-4>0，.Ol或，<-3，

=X：+X：+X：+X：t+1,

y1y2(1"X1)(1-X2)e=[1-(X1+x2)Xjx2]e=(1-t)e

令g(t)=(1-r)ef+l,>1或-3,g'(r)=-

当V-3时，g,⑺>0,当r>l时，g⑺<0,

工函数g(x)在(-8,-3)上递增，在(1,+8)上递减，

又g(-3)=4/2,g(1)=0,

当/f-8时，g(f)->0,当/f+8时，g(/)f+8,

：.g(r)G(-8,0)U(0,4/2),

即y1y2cS,0)U(0,4e-2)-

故选：D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

（多选）9.（5分）在棱长为2的正方体488-481。功中,AC与8。交于点。，则（）

A.AQi〃平面BOG

B.3£>_L平面COCi

C.GO与平面ABC。所成的角为45°

D.三棱锥C-BOC\的体积为2

3

【解答】解：AOQ平面BOCi，BQu平面BOG,；.A。〃平面B。。，4

对;

因为BO_LC。，又CCi_L平面ABC。，BDu平面A8CD,

所以BDLCCi，C£>nCCi=C,CD,CCju平面COCi，平面CO。，B对；

因为CiC,平面ABCD,C\O与平面ABCD所成角为/CiOC,

因为tan/gOcE卢1，二/。℃片45°，C错；

1V2

因为正皿「左中用'恭2乂1乂2卷，。对・

故选：ABD.

TT

（多选）10.（5分）函数f（x）=sin（3x+o）（3〉0,|。|<亍）的部分图象如图

所示，则（）

A.3=2

B.中吟

TT

C./(%)的图象关于点(缶，0)对称

5兀

D.f(x)在区间(兀，~T)上单调递增

【解答】解：工工兀一7T兀

2632

兀

・•・TT=兀E2

3

(0=2,f(x)—■sin(2x+(p),f(———)=sin兀+0)—1,

rh工兀/./TT1T.2兀/7兀

22636

所以0+2兀=兀，。=-三，所以A选项正确，B选项错误.

326

f(x)=sin(2x~^-)>2x-^-=k兀，k€Z)

bbINN

TTTT

当k=0时，得x喘，所以f(x)关于(金，0)对称，c选项正确，

^^-+2ki兀<2x-^~<3+2k］兀，'■^-+k［兀<x<-^-+k［冗，k<€Z)

111

Z0Z0611

当h=1时，得/(X)在(5兀，匡兀)上递增，则f(x)在区间(兀，.)上单调

634

递增，。选项正确.

故选：ACD.

(多选)11.(5分)一个袋中有大小、形状完全相同的3个小球，颜色分别为红、黄、蓝，

从袋中先后无放回地取出2个球，记”第一次取到红球”为事件A,“第二次取到黄球”

为事件B,则()

A.P(A)」B.48为互斥事件

3

C.P(8|A)=AD.A,B相互独立

2

【解答】解：P(A)小，A正确；

3

A,8可同时发生，即“即第一次取红球，第二次取黄球”，43不互斥，3错误；

在第一次取到红球的条件下，第二次取到黄球的概率为方，C正确；

P(AB)[x春P(AB)卢P(A)P(B)，

oZooSNb

故A,8不独立，。错误；

故选：AC.

（多选）12.（5分）已知抛物线7=4），的焦点为尸，以该抛物线上三点A,B,C为切点的

切线分别是4,12,13,直线小/2相交于点。，/3与人，/2分别相交于点p，Q.记A,B,

。的横坐标分别为XI，X2,X3,则（）

A.DA-DB=OB.Xl+X2=2x3

C.\AF]-\BF\^\DF^D.\AP\'\CQ\^\PC\'\PD\

【解答】解：A,B,。的横坐标分别为xi，X2,X3，

2z

则可设A（X[，/"），B（Xo,c\fXo

1A乙

由抛物线/=4y,可得求导得y'=^x,所以人的斜率

2

所以1[：y'-r-=4-x1(x-Xi)>BPy^-x,x-jx1'

3乙/4

同理可得“：y^x2x-|-X2)

fv_l12

y^xlx-Ixl

直线/i，/2方程联立，11解得即X0=X」：X2,所以X1+X2

„_11232

y^x2x~7x2

=2%3，故8正确;

Xi+xXix

D(—J~99

24

x「X2X1x/2X[+X2xx/2

则DA-DB=(x2

T~了一(X2「一，~~r

,x「X2X](x-X2)、/2-XiX2(X2-X[)

'~2-'4)(~2-'4

222

(xj-X2)X|X2(Xj-X2)(xj-X2)

（4+XJ2）不一定为°，故A错误;

2

|AF|•|BF|=(-^-+l)

/.\22,Q.222

IO〃2(X1+X2)I<X[X2_1)2X1+2X/2+X2X1x?_=

444162

2222

XtX2^2+1^|4f1|BF|)故c正确；

1644

pJI+XQX]XO)-2+X0x2x0)

-2-'4'Q-2-'4'

22

x0-x<„x<x0-xQ„Ix0-x.IV4+x<

22

(-V)^-(­°4—-)=-~y—」，

2

QQ1—J(X2-XO)2T(X2X0-X0]|X2-X0|74+X0

2

『Ci-J(x「xo)2|(xixo-xo]|X1-X0|74+X0

X-XZX,Xn-Xix-I|J4+X1

I?n2121n2X2-X0

IPD7(-^)+(4°)--"4'

：.\AP\\CQ\=\PC\\PD\,D正确,

故选：BCD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

'l+log9(2-x)»x<1

13.(5分)已知函数f(x)=《，则f(f(-2))=4.

2X-1»x>l

l+log9(2-x)>x<1

【解答】解：因为f(x)=，

2X-1»x>l

所以/(-2)=l+log2(2-(-2))=l+log24=3,

所以/"(-2))=f(3)=23',=22=4.

故答案为：4.

in-1

14.(5分)写出一个同时满足下列条件①②的等比数列｛如｝的通项公式斯=_(得)(答

案不唯一).

①斯。〃+1<0；②.

【解答】解：・・•数列｛〃”｝为等比数列，且满足①如痴+1V0;②|涮>%+1|,

•<0,..qV。，

♦I编>“1|,・・・0|V1,/.-1<9<0,

11n-11n-1

取〃1=1,q=~,贝!Jcin=1X（—）=（-»—）,

in-1

故答案为：（二）（答案不唯一）.

15.（5分）已知圆。/+）2=/（r>0）,设直线x+我y—5=0与两坐标轴的交点分别为

A,B,若圆。上有且只有一个点P满足科P|=|8P|,则r的值为

【解答】解：根据题意易得A（百，0）,B（0,1）,PA=PB.

在A8的垂直平分线上，又应，

nAB3

...A8中垂线的斜率为我，又A8的中点为号，A）,

由点斜式方程得小巧（X平），

化简得

又尸在圆O:7+》2=/满足条件的户有且仅有一个，

直线y=Mx-l与圆相切，

73^12

故答案为：

2

16.（5分）已知正四棱锥S-A8CZ）的所有棱长都为1,点E在侧棱SC上.过点E且垂直

于SC的平面截该棱锥，得到截面多边形T,则T的边数至多为5,7的面积的最大

值为亚,

—3—

【解答】解：取SC中点尸，BFLSC,DF1SC,DFC\BF=F,

；.SC_L平面BDF,

作平面与平面8。下平行，截面至多为五边形，如图，

令型=入，：.EP=XBF=J^-X-SP=XSB=X,

SF2

：.PB=\-入，BQ=1-A,PQ=I-X,NQ=MP=XBD=y/2人，

卷+21X

AC0SZDFB==,AsinZDFB

V3_XV3__33

,22

・°1yV3yV3.y2>/2_V2.2

xxXxX

-SAEMP=2———T'

■:MN与NQ的夹角，而SA与BD垂直，

SpMNQ^入(1-入)，

•,.S=6X(1-入)邛入2=一^_入2+^入，

当人上时，s取最大值为亚.

33

故答案为：5;亚.

3

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）在①Si，S2,8成等比数列，②网=2他+2,③S8=S4+S7-2这三个条件中任选

两个，补充在下面问题中，并完成解答.

已知数列｛斯｝是公差不为0的等差数列，其前"项和为S,且满足

（1）求｛蜘｝的通项公式；

(2)求」一■1一—-t一+-H—~—

aaa

l2a2a3a3a4ann+l

注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案计分.

【解答】解：（1）选①②，设等差数列｛斯｝的公差为d,

VSi，S2,S4成等比数列,44=242+2,

a[(4aj+6d)=(2a।+d)2

解得ai=2,d=4,

aJ+3d=2(a1+d)+2

Aan=2+4Cn-1）=4〃-2；

选①③，设等差数列仅〃｝的公差为d,

VS1，S2,S4成等比数列,Sg=S4+Si-2,

ai(4ai+6d)=(2ai+d)2

111，解得m=2,d=4,

8aj+28d=4a]+6d+7a1+2Id-2

・=2+4(n-1)=4〃-2；

选②③，设等差数列｛斯｝的公差为d,

•.,。4=2。2+2,S8—S4+S7-2,

'a1+3d=2(a1+d)+2

・Y,解得〃i=2,d=4,

8aj+28d=4a|+6d+7aj+21d~2

・••斯=2+4(〃-1)=4〃-2；

(2)由(1)得加=4几-2,

则1=________1________J_________1_______」______」)，

ananH(4n-2)(4n+2)4(2n~l)(2n+l)8、2n-l2n+l

---+~--+•••+-----L+…+一-_―—)=

a]a2a2a3anan+l83352n-l2n+l

1(1_1、1二n

8'2n+l；-4(2n+l),

18.(12分)第二十二届卡塔尔世界杯足球赛(F/E4WbHdC〃pQaSr2022)决赛中，阿根廷

队通过扣人心弦的点球大战战胜了法国队.某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社

团.足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各100名进

行调查，部分数据如表所示：

喜欢足球不喜欢足球合计

男生40

女生30

合计

(1)根据所给数据完成上表，并判断是否有99.9%的把握认为该校学生喜欢足球与性别

有关？

(2)社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门.己知

男生进球的概率为2,女生进球的概率为工，每人射门一次，假设各人射门相互独立，

32

求3人进球总次数的分布列和数学期望.

2________n(ad-bc)?_______

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(片女)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【解答】解：(1)2义2列联表如下：

喜欢足球不喜欢足球合计

男生6040100

女生3070100

合计90110200

2-20QX(60X70-40X30)2>

K100X10QX90X11018・18210.828

故有99.9%的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关.

(2)3人进球总次数彳的所有可能取值为0,1,2,3,

P«=0)=(WP^=1)=CHT4+2X(3)24,

2

P(&=2)=C；|-||+(f)2P(^3)=(1)X|=|，

故孑的分布列如下:

0123

P152

IsIsg-9

故E的数学期望，E(g)=ix*+2X扛X看唱.

19.(12分)在△ABC中，A,B,C的对边分别为a,b,c,acosB-2acosC=(2c-/?)cosA.

(1)若c=Y§〃，求cos3的值；

(2)若人=1,N84C的平分线AO交3c于点。，求AO长度的取值范围.

【解答】解：(1)VacosB-2acosC=(2c-b)cosA,

・••在△ABC中，由正弦定理得sinAcosB-2sirk4cosC=(2sinC-sinB)cosA,

...sinAcos8+cosAsin8=2sinAcosC+2cosAsinC,sin(A+8)=2sin(A+C),

；.sinC=2sin8,即c=2b,C=M

24232

.“a2+c2-b2a+3a逐次

♦c°sB=2ac=2a芯aFT

(2)由(1)得c=2b,b=l,则c=2,

••S△轴c,2sin20=-^-2ADsin01-AD-sin^，

•e,AD^cos0，8£(0,»

o乙

•"•AD€(o,-1-).

o

20.(12分)如图，在△ABC中，AO是BC边上的高，以AZ)为折痕，将△AC。折至

的位置，使得PBLAB.

(1)证明：P8_L平面A8O；

(2)若A£»=PB=4,BD=2,求二面角B-刑-。的正弦值.

P

【解答】(1)证明：..工。是BC边上的高，

：.PD±AD,AD1.BD,

,：PDC\BD=D,PD,BOu平面PBZ),PBD,

•.,P2u平面PBO,：.ADVPB,

又AD,ABu平面AB。，ADDAB^A,

，PB_L平面AB。；

(2)解：以。为坐标原点，D4所在直线为x轴，08所在直线为y轴，垂直AOB平面

为Z轴，建立空间直角坐标系,

AD=PB=4,BD=2,

则8(0,2,0),P(0,2,4),A(4,0,0),D(0,0,0),

0,4),PA=(4,-2,-4),DA=(4,0,0)，

设平面BPA与平面PAD的一个法向量分别为

rij=(xj»yt,Z[),n2=(x2>y2»z2)，

f•.

n.-BP=4z<=0

故｛_«,一>,,解得：zi=0,令xi=l,得：yi—2,

nj-PA=4xJ-2YJ-4zl=0

f•.

n2PA=4x2-2y2-4z2=0

则7i7=(1,2,0),I——，解得：*2=0，令22=1，则y2=-

n「DA=4x2=0

2,

故式=(0,-2,1)，

设二面角B-也-Q平面角为。，显然。为锐角,

用「叼I二|(1,2,0)-(0,-2,1)I=4=±

£11至1-YI+4XW+4WT7T一百

2

,,sin©=V1-cos6年,

b

即二面角B-PA-D的正弦值为3.

5

21.(12分)已知双曲线C：号_%=1(a>0,b>0)的左顶点为4,过左焦点尸的直线

与C交于P,Q两点.当尸。_Lx轴时，|%|=/而，△外。的面积为3.

(1)求C的方程;

(2)证明：以PQ为直径的圆经过定点.

【解答】解：(1)当PQ_Lx轴时，P,。两点的横坐标均为-c,

i2,2i2

代入双曲线方程，可得了「二2—♦y。二一—，即|PF|=—，

(,2

(―)2+(c-a)2=(V10)2

a

由题意，可得上.他：(c-a)=3，

2a

c2=.a2+-b2

解得。=1，b=V3，c=2,

2

...双曲线C的方程为：2-^-=l；

x3

(2)证明：设P。方程为-2,P(xi，yi),。(犯，”)，

=-

xiny222222

联立方程＜9^3(my-4my+4)-y=3^(3m-l)y-12iny+9=0,

I3x-y=3

以PQ为直径的圆的方程为(1-xi)(x-X2)+(y-yi)(y-”)=0,

22

x-(X[+X.)x+X]Xq+y-(丫产2)丫+丫逐2=0'

由对称性知以P0为直径的圆必过x轴上的定点，令y=0,可得/-(xi+%2)x+xix2+y\y2

=0,

*/、，12m2,4

而x+x=m(y+y)-4--2--4=—2—，

12123m-13m-1

2—31rl2-4

xx=(my「2)(my-2)=myy-2m(y1+y)+4=-----万---，

1221223m-1

2

x2-—1—x+丹——+——=0^(3m2-l)x2-4x+5-3m2=0^[(3川-1)

3m-13m-13m-1

X+3“2-5](x-1)=0对V〃?WR恒成立,

・・x=

・・・以尸。为直径的圆经过定点(1,0).

22.(12分)已知函数f(x)*二和g(x)=a+lnx有相同的最大值.

X-iY

ae$

(1)求实数。;

(2)设直线y=人与两条曲线y=/(x)和y=g(x)共有四个不同的交点，其横坐标分

别为XI，X2»X3，X4(XIVx2Vx3Vx4)，证明：X1X4=X2%3・

x-1x-1r-

e-e-xv11-x

【解答】解：(1)f，(x)小・，令/(x)=0=>x=l.

ax-12ax-1

e)«e

V/(x)有最大值,

・・・々>0且/(尤)在(0,1)上单调递增;(1,+8)上单调递减,

1-a-lnx-lnx

'•f(x)=f⑴a=l时，g(x)

111axx2x2

当OVkVI时，g'(x)>0,g(x)单调递增；当x>l时，g'(x)<0,g(x)单调递减,

:・g(X)max=g(1)=〃，

即a=l；

a

⑵由f(x)=b=士_b=0»由g(x)=b=>1lnx_b=o，

eX

X

令F(x)=-b,F'(x)T

X-1

ee

当0<x<l时，F(%)>0,当x>l时，F(x)<0,

所以尸(x)在(0,1)上单调递增；(1,+8)上单调递减，.•.尸(x)至多两个零点,

区c/\1+lnx,2,、-lnx

令G(x)=------------b,G(X)=_5-

*YX4

当0<x<l时，G'(%)>0,当x>l时，G'(x)<0,

所以G(x)在(0,1)上单调递增；(1,+8)上单调递减；，G(x)至多两个零点.

令F(x)=G(x)士』,

x-1x

eA

1+lnx

当x€(0,工］时，InxW-1,所以\>0；

eex-1x

当(1,+°°)时,由吃。lnexln