高中数学-数列求和教学设计学情分析教材分析课后反思

PAGE2PAGE数列课标分析高考试题中，数列求和问题是试题的重要组成部分，高考重点考查的是公式求和法、裂项求和法和错位相减求和法，其中裂项求和法对数式的变换有较高的要求，要掌握一些常见的变换技巧。必修五是高中数学课程的必修模块之一，下面对于必修五的课程标准进行分析.1．课程标准的理念《标准》认为，学生的数学活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式.这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程.教材设置的“思考与交流”“课题学习”等学习活动内容，为学生形成积极主动的、多样的学习方式创造了有利的条件.数学的应用价值是数学发展最重要的意义之一，在当今知识经济时代，数学和计算机的结合使得数学能够在许多方面直接为社会创造价值，数学的应用日益引起人们的重视．我国的数学教育在很长一段时间内对于数学与实际、数学与其它学科的联系未能给予充分的重视，《标准》要求重视学生数学应用意识与应用能力的培养．2．数列的内容与要求（1）数列的概念和简单表示法通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式），了解数列是一种特殊函数．（2）等差数列、等比数列．①通过实例，理解等差数列、等比数列的概念．②探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和的公式．③能在具体的问题情境中，发现数列的等差和等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．④体会等差数列、等比数列与一次函数、指数函数的关系．(3)数列求和：非等差，等比数列转化为等差、等比数列进行求和3．对课程标准内容的体会（1）把握好本模块的教学难度．必须把基本知识与基本方法与基本技能作为教学重点，强化常规通法，不要随意或过早拔高教学要求．由于数列联系的知识面广，具有知识交汇点的特点，受高考试题的影响，教学要求很容易拔高，过早地进行针对“高考”的综合性训练，从而影响了基本内容的学习和掌握，加重了学生负担．事实上，学习是一个不断深化的过程，作为在第一次学习，应致力于打好基础并进行初步的综合训练，在后续的学习中通过对内容的不断应用来获得巩固和提高，最后在高三数学总复习时，通过知识的系统梳理和进一步的综合训练，使对本模块内容的掌握上升到一个新的档次．教学中应特别注意一些容易膨胀的地方，例如在学习数列的递推公式时，要控制难度，不要过多的涉及关于变形的技巧与繁杂的计算．（2）重视数学知识的形成过程教学．要让学生充分体验数学知识的形成过程．《标准》要求“让学生经历知识的产生和发展过程”，强调了教学中要重视知识的形成过程．因此，在有关概念、公式教学中，要根据实际情况，尽可能的引导学生对知识的形成过程进行探究，让学生充分体验数学知识的形成过程，从而使他们在学习中，能够积极地思考和主动建构．（3）注重数学思想方法的渗透．问题是数学的心脏，知识是数学的躯体，数学思想方法则是数学的灵魂．数学思想方法的掌握和运用对培养能力，发展智力，提高数学素养都有十分重要的作用．本模块蕴含的数学思想非常丰富，函数思想、方程思想、数形结合、转化与化归、递归思想、类比归纳、合理猜想、算法思想等，在教学中注意加以渗透．教材分析第二轮复习仅有两个半月时间，面面俱到从头来过一遍是根本办不到的。要紧紧围绕重点方法，重要知识点，重要数学思想和方法及近几年“热点”题型，进行针对性训练，狠抓过关。要做到这一点，必须吃透两头：一头是吃透例题，对精选例题的内容、知识范围，知识间的联系、技能、水准、难易程度等因素要一清二楚；另一头要吃透学生，对学生的知识水平、接受能力、心理特点要心中有数，做到选题的示范性、启发性、规律性、延伸性、起到以点代面，以少胜多的作用。近几年，高考数学试题稳中有变，变中求新．其特点是：稳以基础为主体，变以选拔为导向，能力溶“灵活”之中。鉴于此，复习安排要做到：1．客观题要加强速度和准度的强化训练。2.突出基础知识的灵活运用。3．突出“多层发展”训练．“一题多问，层层递进”是高考命题的又一特点。4．突出学生阅读分析能力训练。努力提高复习效率，以下五个方面是必须处理好的。一是课堂容量问题。提倡增大课堂复习容量，不是追求过多的讲，过多的练，面面俱到，“一网打着满河鱼”，而是重点问题舍得时间，非重点问题敢于取舍，集中精力解决学生困惑的问题，增大思维容量，减少废活，减少不必要的环节，少做无用功。二是讲练比例问题，第二轮复习容易形成“满堂灌”或“大撒手”，这样都不利于学生学懂会用。每堂课都要精讲精练，分配好讲练时间，一般以30分钟为宜。三是发挥学生主体地位问题。课堂中，有的讲得多，讲得快，学生被动听、机械记，久而久之，学生思维僵化，应变能力差；有的简单提问，过多的板演、笔算，貌似气氛活跃，讲练结合，其实是教师的情性行为。双边活动的真谛是让学生参与解题活动，参与教学过程，启迪思维，点拨要害。四是讲评的方式方法问题。学生抓不准，讲评随意，对答案式的讲评是影响讲评课效益的大敌。必须做到评前认真阅卷，评中归类、纠错、变式、辩论等方式的结合，要抓错误点，失分点，模糊点，剖析根源，彻底矫正。还可采取“自教自”的办法。让学生讲好解法，讲错误处，展开争论。这种方式，由于是从学生中来到学生中去，极易让学生接受。五是信息反馈问题。系统论的反馈原理指出，任何系统只有通过反馈信息，才能实现控制。提高课堂复习效益，加强信息反馈是必不可少的。学情分析高三第一轮复习一般以知识、技能、方法的逐点扫描和梳理为主。通过第一轮复习，学生大都能掌握基本概念的性质、定理及其一般应用。但知识较为零散，综合应用存在较大的问题，因此第二轮复习的首要任务是把整个高中基础知识有机地结合在一起，构建出高中数学知识的“树形图”。同时第二轮复习承上启下，是促进知识灵活运用的关键时期，是促进学生素质、能力发展的关键时期，因而对讲、练、检测要求较高。第二轮复习承上启下，是知识系统化、条理化，促进灵活运用的关键时期，是促进学生素质、能力发展的关键时期，因而对讲练、检测等要求较高，故有“二轮看水平”之说。二轮复习过程中，应做到以下几点：1．克服难题过多，起点过高。复习集中几个难点，讲练耗时过多，不但基础没夯实，而且能力也上不去。2．克服速度过快，内容多，时间短，未做先讲或讲而不做，一知半解，题目虽练习，却仍不会做。3．克服只练不讲，教师不选范例，不指导，忙于选题刻印。4．克服照抄照搬，对外来资料、试题,不加选择,整套搬用，题目重复，针对性不强。5.克服高原现象，第二轮复习“大考”、“小考”不断，次数过多，难度偏大，成绩不理想，形成了心理障碍，或量大题不难，学生忙于应付，被动做题，兴趣下降，思维呆滞。第2讲数列的求和问题考纲要求：（1）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题。（2）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题。（3）会将非等差、等比转化为等差等比求和，能熟练应用分组求和，乘公比错位相减，并项，裂项法求和。1．(2015·安徽)已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列{an}的前n项和等于________．2.设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n＝________.高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求一般数列的和，体现转化与化归的思想.热点一分组转化求和有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并．例1．(2015·福建)在等差数列{an}中，a2＝4，a4＋a7＝15.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝2＋n，求b1＋b2＋b3＋…＋b10的值．跟踪练习1：等比数列{an}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足：bn＝an＋(－1)nlnan，求数列{bn}的前n项和Sn.变式：求前2n项的和思维升华在处理一般数列求和时，一定要注意使用转化思想．把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和，在求和时要分析清楚哪些项构成等差数列，哪些项构成等比数列，清晰正确地求解．在利用分组求和法求和时，由于数列的各项是正负交替的，所以一般需要对项数n进行讨论，最后再验证是否可以合并为一个公式．热点二错位相减法求和错位相减法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列．例2．(2014·课标全国Ⅰ)已知{an}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2－5x＋6＝0的根．(1)求{an}的通项公式；(2)求数列{eq\f(an,2n)}的前n项和．跟踪练习2已知数列{an}的前n项和为Sn，且有a1＝2,3Sn＝5an－an－1＋3Sn－1(n≥2)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝(2n－1)an，求数列{bn}的前n项和Tn.思维升华(1)错位相减法适用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列；(2)所谓“错位”，就是要找“同类项”相减．要注意的是相减后得到部分，求等比数列的和，此时一定要查清其项数．(3)为保证结果正确，可对得到的和取n＝1,2进行验证．1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1>0，a3＋a10>0，a6a7<0，则满足Sn>0的最大自然数n的值为()押题依据等差数列的性质和前n项和是数列最基本的知识点，也是高考的热点，可以考查学生灵活变换的能力．2．已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝a(Sn－an＋1)(a为常数，且a>0)，且4a3是a1与2a2的等差中项．(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝eq\f(2n＋1,an)，求数列{bn}的前n项和Tn.押题依据错位相减法求和是高考的重点和热点，本题先利用an，Sn的关系求an，也是高考出题的常见形式．第2讲数列求和评测练习1．已知数列1eq\f(1,2)，3eq\f(1,4)，5eq\f(1,8)，7eq\f(1,16)，…，则其前n项和Sn为()A．n2＋1－eq\f(1,2n) B．n2＋2－eq\f(1,2n)C．n2＋1－eq\f(1,2n－1) D．n2＋2－eq\f(1,2n－1)2．已知在数列{an}中，a1＝－60，an＋1＝an＋3，则|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a30|等于()A．445 B．765C．1080 D．31053．在等差数列{an}中，a1＝－2012，其前n项和为Sn，若eq\f(S2012,2012)－eq\f(S10,10)＝2002，则S2014的值等于()A．2011 B．－2012C．2014 D．－20134．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝3，an＋1an－1＝an(n≥2)，则数列{an}的前40项和S40等于()A．20 B．40C．60 D．805．eq\f(1,22－1)＋eq\f(1,32－1)＋eq\f(1,42－1)＋…＋eq\f(1,n＋12－1)的值为()A.eq\f(n＋1,2n＋2) B.eq\f(3,4)－eq\f(n＋1,2n＋2)C.eq\f(3,4)－eq\f(1,2)(eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)) D.eq\f(3,2)－eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)6．(2015·)设数列{an}的前n项和为Sn.已知2Sn＝3n＋3.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足anbn＝log3an，求{bn}的前n项和Tn.评测练习答案1．已知数列1eq\f(1,2)，3eq\f(1,4)，5eq\f(1,8)，7eq\f(1,16)，…，则其前n项和Sn为()A．n2＋1－eq\f(1,2n) B．n2＋2－eq\f(1,2n)C．n2＋1－eq\f(1,2n－1) D．n2＋2－eq\f(1,2n－1)答案A解析因为an＝2n－1＋eq\f(1,2n)，所以Sn＝eq\f(n1＋2n－1,2)＋eq\f(1－\f(1,2n)·\f(1,2),1－\f(1,2))＝n2＋1－eq\f(1,2n).2．已知在数列{an}中，a1＝－60，an＋1＝an＋3，则|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a30|等于()A．445 B．765C．1080 D．3105答案B解析∵an＋1＝an＋3，∴an＋1－an＝3.∴{an}是以－60为首项，3为公差的等差数列．∴an＝－60＋3(n－1)＝3n－63.令an≤0，得n≤21.∴前20项都为负值．∴|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a30|＝－(a1＋a2＋…＋a20)＋a21＋…＋a30＝－2S20＋S30.∵Sn＝eq\f(a1＋an,2)n＝eq\f(－123＋3n,2)×n，∴|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a30|＝765.3．在等差数列{an}中，a1＝－2012，其前n项和为Sn，若eq\f(S2012,2012)－eq\f(S10,10)＝2002，则S2014的值等于()A．2011 B．－2012C．2014 D．－2013答案C解析等差数列中，Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d，eq\f(Sn,n)＝a1＋(n－1)eq\f(d,2)，即数列{eq\f(Sn,n)}是首项为a1＝－2012，公差为eq\f(d,2)的等差数列；因为eq\f(S2012,2012)－eq\f(S10,10)＝2002，所以，(2012－10)eq\f(d,2)＝2002，eq\f(d,2)＝1，所以，S2014＝2014[(－2012)＋(2014－1)×1]＝2014，选C.4．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝3，an＋1an－1＝an(n≥2)，则数列{an}的前40项和S40等于()A．20 B．40C．60 D．80答案C解析由an＋1＝eq\f(an,an－1)(n≥2)，a1＝1，a2＝3，可得a3＝3，a4＝1，a5＝eq\f(1,3)，a6＝eq\f(1,3)，a7＝1，a8＝3，…，这是一个周期为6的数列，一个周期内的6项之和为eq\f(26,3)，又40＝6×6＋4，所以S40＝6×eq\f(26,3)＋1＋3＋3＋1＝60.5．eq\f(1,22－1)＋eq\f(1,32－1)＋eq\f(1,42－1)＋…＋eq\f(1,n＋12－1)的值为()A.eq\f(n＋1,2n＋2) B.eq\f(3,4)－eq\f(n＋1,2n＋2)C.eq\f(3,4)－eq\f(1,2)(eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)) D.eq\f(3,2)－eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)答案C解析∵eq\f(1,n＋12－1)＝eq\f(1,n2＋2n)＝eq\f(1,nn＋2)＝eq\f(1,2)(eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋2))，∴eq\f(1,22－1)＋eq\f(1,32－1)＋eq\f(1,42－1)＋…＋eq\f(1,n＋12－1)＝eq\f(1,2)(1－eq\f(1,3)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,4)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,5)＋…＋eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋2))＝eq\f(1,2)(eq\f(3,2)－eq\f(1,n＋1)－eq\f(1,n＋2))＝eq\f(3,4)－eq\f(1,2)(eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2))．6．(2015·)设数列{an}的前n项和为Sn.已知2Sn＝3n＋3.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足anbn＝log3an，求{bn}的前n项和Tn.解(1)因为2Sn＝3n＋3，所以2a1＝3＋3，故a1＝3，当n＞1时，2Sn－1＝3n－1＋3，此时2an＝2Sn－2Sn－1＝3n－3n－1＝2×3n－1，即an＝3n－1，所以an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3，n＝1，,3n－1，n＞1.))(2)因为anbn＝log3an，所以b1＝eq\f(1,3)，当n＞1时，bn＝31－nlog33n－1＝(n－1)·31－n.所以T1＝b1＝eq\f(1,3)；当n＞1时，Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝eq\f(1,3)＋(1×3－1＋2×3－2＋…＋(n－1)×31－n)，所以3Tn＝1＋(1×30＋2×3－1＋…＋(n－1)×32－n)，两式相减，得2Tn＝eq\f(2,3)＋(30＋3－1＋3－2＋…＋32－n)－(n－1)×31－n＝eq\f(2,3)＋eq\f(1－31－n,1－3－1)－(n－1)×31－n＝eq\f(13,6)－eq\f(6n＋3,2×3n)，所以Tn＝eq\f(13,12)－eq\f(6n＋3,4×3n)，经检验，n＝1时也适合．综上可得Tn＝eq\f(13,12)－eq\f(6n＋3,4×3n).效果分析我们都知道数学知识点和基本技能的熟练程度、完备程度以及扎实的计算功底是学生基本功强弱的重要体现。通过做题，发现好学生的知识点较全面，基本能理解题意，计算能力较强，可是大部分学生的计算能力很差。比如本次考试的题目，大多数学生知道思路，可由于计算能力特差或者是钻牛角尖等，导致最后运算结果不对，白白失分。一．学生存在的问题：1.很多同学缺少严谨认真的思维习惯和审题习惯。不能融会贯通。数学要求学生必须严密，做到言之有理，一丝不苟。学案中出现的错误，老师感到很惋惜，错就错在粗心大意，审题不清。2.解题过程不完整、解题格式随意性强，知识点掌握的不准确，相当多问题含含糊糊。由于种种原因，致使学生的习惯不太好、总给人一种毛毛糙糙的感觉。不求严谨，提到知识点好像啥都会，可真的动起手，错误百出。二．解决方案及实施计划针对以上问题我们提出以下方案：1.“要抓质量，先抓习惯”。帮助学生培养良好的学习习惯和学习方法。教给学生怎样学习数学，提高学生的数学学习能力。激发学习兴趣，养成自主学习的习惯和方法。2.平时在教学中，注意进一步加强基础知识的教学，培养学生对各知识点的融会贯通的能力、注重课后落实注重开发性地使用教材，在做到“吃透”教材的前提下，大胆创新，对于知识的重难点力求把握准确，突破有法。3.让学生在变化的情景中去运用，在理解的基础上去训练，而不是变成大量的、机械的、重复的操练，因为操练、重复只能加重学习负担，降低学习效率，从而引起学生的厌恶。同时，要重视能力的培养，继续加强运算能力。班级24年级学科高三数学时间2016.3.23节次3课题数列求和课型复习授课人听评人员赵海彬信杰韩宝成刘娅张红丁健刘喜艳杨建国李翠高岩吴爱琴课堂过程记录讲述本节的高考要求，整体回顾知识，公式等等。对例题、变式进行讲解，并让学生进行板演和点评，并进行讨论。让学生对本节的题型、方法、数学思想进行总结，并整理本节的内容观课记录1．数列求和的方法：公式求和法；分组求和法；并项求和；错位相减法2．数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后根据通项公式的运算形式选择不同的求和方式高考体验:基本量法求通项和前n项和分组求和和并项求和变式练习错位相减法求和练习：【失误与防范】1.直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论．2、错位相减时，要注意公比和相减后的剩余项教师能够把握课标要求，紧扣教学目标，科学运用教材，重点突出，难点突破，适当渗透思想和方法。注重学生对知识的理解，能做到因材施教。适当的运用多媒体，使教学更加直观，形象，有趣。教师语言亲切，教态自然有亲和力。学生参与性很强，能够发现和提出有价值的问题，敢于发表自己的见解，思维活跃，教学目标达成度高。优化建议记录人：张红《数列求和》的课后反思课程内容是数列求和，是现