信息论与编码循环码

信息论与编码循环码1第一页，共三十五页，编辑于2023年，星期六线性分组码的一般原理线性分组码的构造H矩阵（监督阵）HAT=0T或AHT=0监督阵2第二页，共三十五页，编辑于2023年，星期六H矩阵的性质：

H的行数就是监督关系式的数目，等于监督位个数r。

典型监督阵可分解为[PIr]形式，P为r

k阶矩阵，Ir

为r

r阶单位方阵。

由代数理论可知，H矩阵的各行应该是线性无关的

3第三页，共三十五页，编辑于2023年，星期六生成阵如果找到了码的生成矩阵G，则编码的方法就完全确定了。具有[IkQ]形式的生成矩阵称为典型生成矩阵。系统码4第四页，共三十五页，编辑于2023年，星期六G矩阵的性质：

G矩阵的各行是线性无关的。

G的各行本身就是一个码组。

如果已有k个线性无关的码组，则可以用其作为生成矩阵G。5第五页，共三十五页，编辑于2023年，星期六错误图样

B–A=E错误图样接收码发送码6第六页，共三十五页，编辑于2023年，星期六2.监督矩阵H和生成矩阵G（1）监督矩阵第七页，共三十五页，编辑于2023年，星期六我们把H称为监督矩阵，或称一致校验矩阵，一旦H给定，信息位和监督位之间的关系也就确定了。H为r×n阶矩阵，H矩阵每行之间是彼此线性无关的。H矩阵可分成两部分，其中P为r×k阶矩阵，Ir为r×r阶单位阵。能写成H=［PIr］形式的矩阵称为典型监督矩阵。第八页，共三十五页，编辑于2023年，星期六（2）生成矩阵第九页，共三十五页，编辑于2023年，星期六 称为生成矩阵，由G和信息组就可以产生全部码字。G为k×n阶矩阵，各行也是线性无关的。生成矩阵也可以分为两部分：其中Q为k×r阶矩阵，Ik为k阶单位阵，可以写成式（8-12）形式的G矩阵，称为典型生成矩阵。非典型形式的矩阵经过运算也一定可以化为典型矩阵形式。第十页，共三十五页，编辑于2023年，星期六（3）监督矩阵H和生成矩阵G之间的关系 由上可知，监督矩阵H和生成矩阵G之间有一一对应的关系。由于G的每一行都为码字，因此它必然满足式HAT=0T即HGT=0T第十一页，共三十五页，编辑于2023年，星期六3.线性分组码的译码——伴随式（校正子）S

若某一码字为许用码组，则它必然满足式。利用这一关系，在接收端将收到的码组和事先与发端约定好的监督矩阵相乘，看是否为零。若满足条件，则认为接收正确；反之，则认为传输过程中发生了错误，进而设法确定错误的数目和位置。第十二页，共三十五页，编辑于2023年，星期六例：设分组码(n,k)中k=4，为了纠正1位错码，由上式可知，要求监督位数r

3。若取r=3，则n=k+r=7。S1S2

S3错码位置S1

S2

S3错码位置001a0101a4010a1110a5100a2111a6011a3000无错码错码位置与校正子关系监督关系式13第十三页，共三十五页，编辑于2023年，星期六 令S=BHT，称为伴随式或校正子。S=BHT=（A+E）HT=EHT

由此可见，伴随式S与错误图样E之间有确定的线性变换关系，与发送码组A无关。接收端译码器的任务就是从伴随式确定错误图样，然后从接收到的码字中减去错误图样。第十四页，共三十五页，编辑于2023年，星期六从以上分析可以得出线性分组码译码的基本步骤：①计算接收码组B的伴随式S；②根据S找出错误图样E，判定误码位置；③根据E纠正错误，得到正确的码组A=E+B。第十五页，共三十五页，编辑于2023年，星期六错误图样和伴随式定义：发送码字c=(c1,c2,…,cn)经过有扰信道得到接收向量v=(v1,v2,…,vn)，则称e=(e1,e2,…,en)为错误图样，其中

ei=vi–ci。定义：设码C的校验矩阵为H，接收向量v的伴随式为s=vHT。16第十六页，共三十五页，编辑于2023年，星期六译码步骤1）由接收向量v计算伴随式s；2）由伴随式s求得错误图样e；3）c=v–e。17第十七页，共三十五页，编辑于2023年，星期六循环码18第十八页，共三十五页，编辑于2023年，星期六 循环码的概念： 循环性是指任一码组字循环一位后仍然是该编码中的一个码字。例：一种(7,3)循环码的全部码字如下 表中第2码字向右移一位即得到第5码字；第5码字向右移一位即得到第7码字。码组编号信息位监督位码组编号信息位监督位a6a5a4a3a2a1a0a6a5a4a3a2a1a0100000005100101120010111610111003010111071100101401110018111001019第十九页，共三十五页，编辑于2023年，星期六一般情况 若(an-1

an-2…a0)是循环码的一个码字，则循环移位后的码字： (an-2

an-3…a0

an-1) (an-3

an-4…an-1

an-2) …… (a0

an-1…a2

a1)

仍然是该编码中的码字。多项式表示法 一个长度为n的码字(an-1

an-2…a0)可以表示成

上式中x的值没有任何意义，仅用它的幂代表码元的位置。 例：码字1100101可以表示为20第二十页，共三十五页，编辑于2023年，星期六循环码的运算整数的按模运算 在整数运算中，有模n运算。例如，在模2运算中，有

1+1=20(模2)， 1+2=31(模2)，23=60(模2)

等等。 一般说来，若一个整数m可以表示为 式中，Q为整数，则在模n运算下，有

m

p(模n)

所以，在模n运算下，一个整数m等于它被n除得的余数。21第二十一页，共三十五页，编辑于2023年，星期六码多项式的按模运算 若任意一个多项式F(x)被一个n次多项式N(x)除，得到商式Q(x)和一个次数小于n的余式R(x)，即 则在按模N(x)运算下，有 这时，码多项式系数仍按模2运算。 例1：x3被(x3+1)除，得到余项1，即 例2： 因为

x

x3+1x4+x2+1

x4+x

x2+x+1

在模2运算中加法和减法一样。22第二十二页，共三十五页，编辑于2023年，星期六循环码的数学表示法 在循环码中，设T(x)是一个长度为n的码字，若 则T(x)也是该编码中的一个码字。

[证]设一循环码为 则有 上式中的T(x)正是码组T(x)向左循环移位i次的结果。 例：一循环码为1100101，即 若给定i=3，则有 上式对应的码组为0101110，它正是T(x)向左移3位的结果。结论：一个长为n的循环码必定为按模(xn+1)运算的一个余式。23第二十三页，共三十五页，编辑于2023年，星期六循环码的生成如果有了生成矩阵G，就可以由k个信息位得出整个码字A： 例:(7,4)码 式中， 生成矩阵G的每一行都是一个码组。因此，若能找到k个已知的码字，就能构成矩阵G。如前所述，这k个已知码组必须是线性不相关的。在循环码中，一个(n,k)码有2k个不同的码字。若用g(x)表示其中前(k-1)位皆为“0”的码字，则g(x)，xg(x)，x2g(x)，，xk-1g(x)都是码组，而且这k个码组是线性无关的。因此它们可以用来构成此循环码的生成矩阵G。24第二十四页，共三十五页，编辑于2023年，星期六在循环码中除全“0”码组外，再没有连续k位均为“0”的码组。否则，在经过若干次循环移位后将得到k位信息位全为“0”，但监督位不全为“0”的一个码组。这在线性码中显然是不可能的。因此，g(x)必须是一个常数项不为“0”的(n-k)次多项式，而且这个g(x)还是这种(n,k)码中次数为(n–k)的唯一一个多项式。因为如果有两个，则由码的封闭性，把这两个相加也应该是一个码组，且此码组多项式的次数将小于(n–k)，即连续“0”的个数多于(k–1)。显然，这是与前面的结论矛盾的。我们称这唯一的(n–k)次多项式g(x)为码的生成多项式。一旦确定了g(x)，则整个(n,k)循环码就被确定了。25第二十五页，共三十五页，编辑于2023年，星期六因此，循环码的生成矩阵G可以写成例：

上表中的编码为(7,3)循环码，n=7,k=3,n–k=4，其中唯一的一个(n–k)=4次码多项式，且前(k-1)=2位皆为“0”的码字是第二码字0010111，与它对应的码多项式，即生成多项式，为

g(x)=x4+x2+x+1。码组编号信息位监督位码组编号信息位监督位a6a5a4a3a2a1a0a6a5a4a3a2a1a0100000005100101120010111610111003010111071100101401110018111001026第二十六页，共三十五页，编辑于2023年，星期六

g(x)=x4+x2+x+1即“10111”

将此g(x)代入上矩阵，得到 或 上式不符合G=[IkQ]形式，所以它不是标准生成矩阵。但它经过线性变换后，不难化成标准阵。 此循环码的码字多项式表示式T(x)： 上式表明，所有码字多项式T(x)都能够被g(x)整除，而且任意一个次数不大于(k–1)的多项式乘g(x)都是码多项式。27第二十七页，共三十五页，编辑于2023年，星期六寻求码生成多项式因为任意一个循环码T(x)都是g(x)的倍式，故它可以写成

T(x)=h(x)g(x)

而生成多项式g(x)本身也是一个码组，即有

T

(x)=g(x)

由于码字T

(x)是一个(n–k)次多项式，故xkT

(x)是一个n次多项式。由 可知，xk

T

(x)在模(xn+1)运算下也是一个码组，所以有 上式左端分子和分母都是n次多项式，故相除的商式Q(x)=1。因此，上式可以写成28第二十八页，共三十五页，编辑于2023年，星期六将T(x)=h(x)g(x)和T

(x)=g(x)代入 化简后，得到上式表明，生成多项式g(x)应该是(xn+1)的一个因子。例：(x7+1)可以分解为 为了求出(7,3)循环码的生成多项式g(x)，需要从上式中找到一个(n–k)=4次的因子。这样的因子有两个，即 以上两式都可以作为生成多项式。 选用的生成多项式不同，产生出的循环码码字也不同。29第二十九页，共三十五页，编辑于2023年，星期六循环码的编码方法用xn-k乘m(x)。这一运算实际上是在信息码后附加上(n–k)个“0”。例如，信息码为110，它写成多项式为m(x)=x2+x。当n–k=7–3=4时，xn-km(x)=x4(x2+x)=x6+x5，它表示码组1100000。用g(x)除xn-km(x)，得到商Q(x)和余式r(x)，即有 例：若选定g(x)=x4+x2+x+1，则有 上式是用码多项式表示的运算。它和下式等效：编出的码字T(x)为：T(x)=xn-km(x)+r(x)

在上例中，T(x)=1100000+101=1100101 30第三十页，共三十五页，编辑于2023年，星期六循环码的解码方法在检错时：当接收码字没有错码时，接收码组R(x)必定能被g(x)整除，即下式 中余项r(x)应为零；否则，有误码。当接收码组中的错码数量过多，超出了编码的检错能力时，有错码的接收码组也可能被g(x)整除。这时，错码就不能检出了。在纠错时：用生成多项式g(x)除接收码组R(x)，得出余