辽宁省大连市长海中学高三数学理上学期期末试卷含解析

辽宁省大连市长海中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（A）54

（B）27

（C）18

（D）

9参考答案：C略2.3名工作人员安排在正月初一至初五的5天值班，每天有且只有1人值班，每人至多值班2天，则不同的安排方法共有

（

）

A．30种

B．60种

C．90种

D．180种参考答案：C略3.已知函数，若，则实数x的取值范围是（

）A．(－∞,e+1)

B．(0,+∞)

C．(1,e+1)

D．(e+1,+∞)参考答案：C4.定义在R上的函数f（x）满足：f(x)+(x)>l，f(0)=4，则不等式exf(x)>ex+3（其中e为自然对数的底数）的解集为(

)

A． B．C． D．参考答案：A5.有一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.16

B.20

C.24

D.32参考答案：B由三视图可知此几何体为组合体：长方体去掉一角，其直观图如图：∵长方体的三边长分别为2，3，4，∴长方体的体积为24去掉的三棱锥的体积为××24=4∴此组合体的体积为24﹣4=20．6.已知函数,若||≥,则的取值范围是A.

B.

C.

D.参考答案：D略7.以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确的序号是

A．①、②

B．①、③

C．③、④

D．①、④参考答案：C提示：根据时，递增；时，递减可得8.设x∈R，则“|x－2|<1”是“x2＋x－2>0”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：A【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：由“|x﹣2|＜1”得1＜x＜3，由x2+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，即“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件，故选A．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．9.定义运算：，将函数的图象向左平移（）个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则的最小值为A．

B．

C．

D．参考答案：B10.若条件的 （

） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.椭圆的一个焦点为F，点P在椭圆上，且（O为坐标原点）为等边三角形，则椭圆的离心率

.参考答案：答案：

12.已知命题“存在”是真命题，则实数的取值范围是

参考答案：a<-1或a>1__13.已知是方程的两个虚根，且，则实数的值为

参考答案：14.设A，B是球O的球面上两点，∠AOB=，C是球面上的动点，若四面体OABC的体积V的最大值为，则此时球的表面积为．参考答案：36π【考点】球的体积和表面积．【分析】当点C位于垂直于面AOB时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，利用三棱锥O﹣ABC体积的最大值为，求出半径，即可求出球O的体积【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时VO﹣ABC=VC﹣AOB=×R2×sin60°×R=，故R=3，则球O的表面积为4πR2=36π，故答案为：36π．【点评】本题考查球的半径，考查体积的计算，确定点C位于垂直于面AOB时，三棱锥O﹣ABC的体积最大是关键．属于中档题15.已知随机变量服从正态分布，且，则___________．参考答案：0.3试题分析：考点：正态分布【方法点睛】正态分布下两类常见的概率计算(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，及曲线与x轴之间的面积为1.(2)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个.16.若，则目标函数的最小值为_______________.

参考答案：417.在三棱锥P-ABC中，平面ABC，AB=BC=2，PB=2，则点B到平面PAC的距离是

．

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．(Ⅰ)求a和sinC的值；

（Ⅱ）求的值．参考答案：（Ⅰ）△ABC中,由得由,得又由解得由,可得a=8.由,得.（Ⅱ）,19.(12分)如图，已知长方体直线与平面所成的角为，垂直于，为的中点.（I）求异面直线与所成的角；（II）求平面与平面所成的二面角；（III）求点到平面的距离.参考答案：解析：解法一：在长方体中，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，所在的直线为轴建立如图示空间直角坐标系由已知可得，又平面，从而与平面所成的角为，又，，从而易得（I）

因为所以=易知异面直线所成的角为（II）易知平面的一个法向量设是平面的一个法向量，由即∴即平面与平面所成的二面角的大小（锐角）为（III）点到平面的距离，即在平面的法向量上的投影的绝对值，∴距离=所以点到平面的距离为解法二：(I)连结B1D1，过F作B1D1的垂线，垂足为K∵BB1与两底面ABCD，A1B1C1D1都垂直∴又因此FK∥AE∴∠BFK为异面直线BF与AE所成的角连结BK，由FK⊥面BDD1B1得FK⊥BK从而△BKF为Rt△

在Rt△B1KF和Rt△B1D1中，由得

又BF=∴∠BFK=∴异面直线所成的角为(II)由于DA⊥面AA1B，由A作BF的垂线AG，垂足为G，连结DG，由三垂线定理知BG⊥DG∴∠AGD即为平面BDF与平面AA1B所成二面角的平面角。且∠DAG=90°在平面AA1B中，延长BF与AA1交于点S∵F为A1B1的中点，A1F∴A1、F分别为SA、SB的中点，即SA=2A1A=2=AB∴Rt△BAS为等腰三角形，垂足G点实为斜边SB的中点F，即G、F重合。易得AG=AF=SB=在Rt△BAS中，AD=∴∠AGD=即平面BDF与平面AA1B所成二面角(锐角)的大小为。(III)由(II)知平面AFD是平面BDF与平面AA1B所成二面角的平面角所成的平面。∴面AFD⊥平面BDF在Rt△ADF中，由A作AH⊥DF于H，则AH即为点A到平面BDF的距离由AH·DF=AD·得AH=所以点到平面的距离为20.（12分）（2015?上饶三模）已知函数f（x）=（mx+1）（1nx﹣3）．（1）若m=1，求曲线y=f（x）在x=1的切线方程；（2）设点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））满足1nx1?1nx2=31n（x1?x2）﹣8，（x1≠x2），判断是否存在点P（m，0），使得∠APB为直角？说明理由；（3）若函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，求实数m的取值范围．参考答案：考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．

专题：导数的综合应用．分析：（1）通过m=1，求出取得坐标，切线的斜率，然后求曲线y=f（x）在x=1的切线方程；（2）设点P（m，0），A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））满足lnx1?lnx2=ln（x1?x2）（x1≠x2），化简向量数量积的表达式，推出数量积是否为0，即可判断是否存在实数m，使得∠APB为直角；（3）求出函数的导数，通过函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，导数大于等于0．构造新函数，通过新函数的值域，求解实数m的取值范围；解答：解：（1）m=1，函数f（x）=（x+1）（lnx﹣3）．∴f（1）=﹣6，切点坐标（1，﹣6），∴f′（x）=（lnx﹣3）+（x+1），∴f′（1）=1，∴切线方程为：y﹣6=x﹣1．∴切线方程为x+y+5=0；（2）依题意得=（x1﹣m，f（x1）），=（x2﹣m，f（x2）），∴=（x1﹣m）（x2﹣m）+f（x1）f（x2）=（x1﹣m）（x2﹣m）+（mx1+1）（lnx1﹣3）（mx2+1）（lnx2﹣3）=x1x2﹣m（x1+x2）+m2+（m2x1x2+m（x1+x2）+1）（lnx1lnx2﹣3（lnx1+lnx2）+9）=x1x2﹣m（x1+x2）+m2+（m2x1x2+m（x1+x2）+1）=（1+m2）（x1x2+1）＞0∴不存在实数m，使得∠APB为直角；（3）∵f′（x）=m（lnx﹣3）+（mx+1）=，若函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，则f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，有mx（lnx﹣2）+1≥0在（0，+∞）上恒成立，设h（x）=x（lnx﹣2），∴h′（x）=lnx﹣1，∴h（x）在（0，e）是减函数，在（e，+∞）是增函数，∴h（x）≥h（e）=﹣e，∴h（x）值域[﹣e，+∞），即mt+1≥0在t∈[﹣e，+∞）恒成立，∴，解得0＜m＜．点评：本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，函数恒成立，考查转化思想的应用．21.（本小题满分12分）已知是以点为圆心的圆上的动点，定点．点在上，点在上，且满足．动点的轨迹为曲线。???（Ⅰ）求曲线的方程；???（Ⅱ）线段是曲线的长为的动弦，为坐标原点，求面积的取值范围。

参考答案：解：（Ⅰ）∴为的垂直平分线，∴,又

（2分）∴动点的轨迹是以点为焦点的长轴为的椭圆．∴轨迹E的方程为

（4分）（Ⅱ）解法一∵线段的长等于椭圆短轴的长，要使三点能构成三角形，则弦不能与轴垂直，故可设直线的方程为，由，消去，并整理，得设，，则，。

（6分），，，．

（8分）又点到直线的距离，，

（10分），．

（12分）解法二：∵线段的长等于椭圆短轴的长，要使三点能构成三角形，则弦不能与轴垂直，故可设直线的方程为，由，消去，并整理，得设，，则，

（8分），

（10分）又点到直线的距离，。设，则，，．

（1222.已知函数的最大值为5.（1）求a的值；（2）求f(x)的最小正周期及单调递减区间.参考答案：（1）－3；（2）最小正周期为π，单调递减区间为.【分析】（1）将函数的解析式利