2021年河南省信阳市职业中学高三数学理测试题含解析

2021年河南省信阳市职业中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知a是函数f（x）=2x﹣的零点，若0＜x0＜a，则f（x0）的值满足（）A．f（x0）=0 B．f（x0）＞0C．f（x0）＜0 D．f（x0）的符号不确定参考答案：C考点： 函数的零点；函数的零点与方程根的关系．专题： 压轴题．分析： a是函数的零点，函数增函数，本题根据函数的单调性和零点的性质进行求解．解答： 解：∵在（0，+∞）上是增函数，a是函数的零点，即f（a）=0，∴当0＜x0＜a时，f（x0）＜0，故选C．点评： 函数是增函数，单调函数最多只有一个零点，a是函数的唯一零点2.

A．-l

B．0

C．

D．1参考答案：B3.阅读如下程序，若输出的结果为，则在程序中横线?处应填入语句为（

）（A）

（B）

（C）

（D）

参考答案：B略4.

（

）(A)

(B)-

(C)

(D)参考答案：C5.方程kx2+4y2=4k表示焦点在x轴的椭圆，则实数k的取值范围是（）A．k＞4 B．k=4 C．k＜4 D．0＜k＜4参考答案：D【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；规律型；方程思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】直接利用椭圆的简单性质考查不等式求解即可．【解答】解：方程kx2+4y2=4k表示焦点在x轴的椭圆，即方程表示焦点在x轴的椭圆，可得4＞k＞0．故选：D．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基础题．6.已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数f'（x）满足，且，其中e为自然对数的底数，则不等式的解集是（）A． B．（0，e） C． D．参考答案：B【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；63：导数的运算；67：定积分．【分析】根据题意，令g（x）=xf（x），分析可得g′（x）=[xf（x）]′=，对g（x）求积分可得g（x）的解析式，进而可得f（x）的解析式，再令h（x）=f（x）﹣x，对其求导可得h′（x）=f′（x）﹣1＜0，分析可得函数h（x）=f（x）﹣x在（0，+∞）上递减，将不等式变形可得f（x）﹣x＞﹣e=f（e）﹣e，结合函数的单调性分析可得答案．【解答】解：根据题意，令g（x）=xf（x），则有g′（x）=[xf（x）]′=，则g（x）=（lnx）2+C，即xf（x）=（lnx）2+C，则有f（x）=（lnx）2+，又由，即f（e）=+=，解可得C=，故f（x）=（lnx）2+，令h（x）=f（x）﹣x，则h′（x）=f′（x）﹣1=＜0，故函数h（x）=f（x）﹣x在（0，+∞）上递减，不等式，即f（x）﹣x＞﹣e=f（e）﹣e，则有0＜x＜e，即不等式的解集为（0，e）；故选：B．7.函数的最小正周期和最大值分别是（ ）A．π和

B．和1 C．π和1 D．2π和 参考答案：A最小正周期为π，最大值为，选A.

8.下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D.

根据奇偶性的定义和基本初等函数的性质易知A非奇非偶的增函数；B是奇函数且是减函数；C是奇函数且在，上是减函数；D中函数可化为易知是奇函数且是增函数.故选D.9.已知均为锐角，则下列不等式成立的是

(

)

A.

B.C. D.参考答案：B10.函数是（

）A.最小正周期为的偶函数

B.最小正周期为的奇函数

C.最小正周期为的偶函数

D.最小正周期为的奇函数参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某中学举行升旗仪式，如图所示，在坡度为的看台上，从正对旗杆的一列的第一排到最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为或，第一排和最后一排的距离，则旗杆CD的高度为

参考答案：3012.已知函数在区间上是减函数，则的取值范围是________．参考答案：【知识点】导数的应用；恒成立问题.B12【答案解析】

解析：因为函数在区间上是减函数，所以在区间恒成立，即在区间恒成立，而在区间上的最小值是2，所以.【思路点拨】由函数在区间上是减函数，可知在区间恒成立，即在区间恒成立，而在区间上的最小值是2，所以.13.对于函数，在使成立的所有常数中，我们把的最大值－1叫做的下确界，则函数的下确界为

参考答案：略14.已知数列的前项和为，若，则．参考答案：415.展开式中不含项的系数的和为

.参考答案：0采用赋值法，令x=1得：系数和为1，减去项系数即为所求，故答案为0.16.设是定义在R上的周期为2的函数，当时，，则

。参考答案：117.函数

的部分图象如图，则________

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设．（1）求的解集；（2）若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围．参考答案：（1）；（2）

试题解析：（1）由得：或或，

考点：解绝对值不等式，绝对值的性质，不等式恒成立．19.（12分）如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M、N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1、C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点纵坐标从大到小依次为A、B、C、D．（1）设e=，求|BC|与|AD|的比值；（2）若存在直线l，使得BO∥AN，求椭圆离心率e的取值范围．

参考答案：【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由题意设椭圆方程，联立即可求得A和B坐标，当时，，分别用yA、yB表示A、B的纵坐标，；（2）分类，当t=0时的l不符合题意，当t≠0时，当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等，根据斜率公式求得t，由，即可椭圆离心率e的取值范围．【解答】解：（1）因为C1、C2的离心率相同，故依题意可设．设直线l：x=t（|t|＜a）分别和C1、C2的方程联立，求得．当时，，分别用yA、yB表示A、B的纵坐标，∴．|BC|与|AD|的比值；（2）t=0时的l不符合题意，t≠0时，BO∥AN，当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等，即：，解得．因为|t|＜a，又0＜e＜1，所以，解得．∴当时，存在直线l，使得BO∥AN，即离心率e的取值范围是，∴椭圆离心率e的取值范围．【点评】本题考查椭圆离心率的应用，考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题．20.已知函数的最大值为.（1）求的值；（2）若，，求的最大值.参考答案：（1）由于，所以（2）由已知，有，因为（当取等号），（当取等号），所以，即，故.21.（本小题满分10分）已知函数．(I)若不等式的解集为，求实数a的值；(II)在(I)的条件下，若存在实数使成立，求实数的取值范围．参考答案：（Ⅰ）由得，∴，即，∴，∴。┈┈┈┈5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知,令，则，∴的最小值为4，故实数的取值范围是。┈┈┈┈┈10分22.（16分）已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且a1=a，（an+1）（an+1+1）=6（Sn+n），n∈N*．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若对于?n∈N*，都有Sn≤n（3n+1）成立，求实数a取值范围；（3）当a=2时，将数列{an}中的部分项按原来的顺序构成数列{bn}，且b1=a2，证明：存在无数个满足条件的无穷等比数列{bn}．参考答案：【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（1）当n=1时，（a1+1）（a2+1）=6（S1+1），故a2=5；当n≥2时，（an﹣1+1）（an+1）=6（Sn﹣1+n﹣1），可得（an+1）（an+1﹣an﹣1）=6（an+1），因此an+1﹣an﹣1=6，分奇数偶数即可得出．（2）当n为奇数时，，由Sn≤n（3n+1）得，恒成立，利用单调性即可得出．当n为偶数时，，由Sn≤n（3n+1）得，a≤3（n+1）恒成立，即可得出．（3）证明：当a=2时，若n为奇数，则an=3n﹣1，所以an=3n﹣1．解法1：令等比数列{bn}的公比q=4m（m∈N*），则．设k=m（n﹣1），可得5×4m（n﹣1）=5×[3（1+4+42+…+4k﹣1）+1]，=3[5（1+4+42+…+4k﹣1）+2]﹣1，…．因为5（1+4+42+…+4k﹣1）+2为正整数，可得数列{bn}是数列{an}中包含的无穷等比数列，进而证明结论．解法2：设，所以公比．因为等比数列{bn}的各项为整数，所以q为整数，取，则q=3m+1，故，由得，，n≥2时，，可得kn是正整数，因此以数列{bn}是数列{an}中包含的无穷等比数列，即可证明．【解答】解：（1）当n=1时，（a1+1）（a2+1）=6（S1+1），故a2=5；当n≥2时，（an﹣1+1）（an+1）=6（Sn﹣1+n﹣1），所以（an+1）（an+1+1）﹣（an﹣1+1）（an+1）=6（Sn+n）﹣6（Sn﹣1+n﹣1），即（an+1）（an+1﹣an﹣1）=6（an+1），又an＞0，所以an+1﹣an﹣1=6，…（3分）所以a2k﹣1=a+6（k﹣1）=6k+a﹣6，a2k=5+6（k﹣1）=6k﹣1，k∈N*，故…（2）当n为奇数时，，由Sn≤n（3n+1）得，恒成立，令，则，所以a≤f（1）=4．…（8分）当n为偶数时，，由Sn≤n（3n+1）得，a≤3（n+1）恒成立，所以a≤9．又a1=a＞0，所以实数a的取值范围是（0，4]．…（10分）（3）证明：当a=2时，若n为奇数，则an=3n﹣1，所以an=3n﹣1．解法1：令等比数列{bn}的公比q=4m（m∈N*），则．设k=m（n﹣1），因为，所以5×4m（n﹣1）=5×[3（1+4+42+…+4k﹣1）+1]，=3[5（1+4+42+…+4k﹣1）+2]﹣1，…（14分）因为5（1+4+42+…+4k﹣1）+2为正整数，所以数列{bn}是数列{an}中包含的无穷等比数列，因为公比q=4m（m∈N*）有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列，故无穷等比数列{bn}有无数个．…（16分）解法2：设，所以公比．因