湖北省荆州市南门中学高三数学理期末试题含解析

湖北省荆州市南门中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知双曲线的左、右焦点分别为、，抛物线的顶点在原点，它的准线与双曲线的左准线重合，若双曲线与抛物线的交点满足，则双曲线的离心率为

A．

B．

C．

D．参考答案：答案：B2.已知函数f(x)在实数集R上具有下列性质：①f(x+2)=?f(x)；②f(x+1)是偶函数；③当x1≠x2∈时，(f(x2)?f(x1))(x2?x1)<0，则f(2011),f(2012),f(2013)的大小关系为（

）

A、f(2011)>f(2012)>f(2013)

B、f(2012)>f(2011)>f(2013)C、f(2013)>f(2011)>f(2012)

D、f(2013)>f(2012)>f(2011)参考答案：D试题分析：由得，所以函数是以为周期的周期函数，又是偶函数，所以函数的图象关于直线对称，即，由可知函数在区间上是减函数，，，，所以，即，故选D.考点：函数的单调性、奇偶性与周期性.3.命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是()A．所有不能被2整除的整数都是偶数B．所有能被2整除的整数都不是偶数C．存在一个不能被2整除的整数是偶数D．存在一个能被2整除的整数不是偶数参考答案：D略4.复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：C【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算．【分析】根据题意，由复数的计算公式可得==﹣﹣i，进而由复数的几何意义可得该复数对应的点的坐标，即可得答案．【解答】解：根据题意，==﹣﹣i，则该复数对应的点为（﹣，﹣），对应点在第三象限；故选：C．5.已知函数相邻两对称轴的距离为2π，则以下说法正确的是（

）A.

B.函数f(x)的一个周期是2πC.函数f(x)的一个零点为 D.函数f(x)的图象关于直线对称参考答案：C【分析】由题意可知，所以，，再判断函数性质，确定选项.【详解】由题意可知，故B不正确；，，故A不正确；，当时，，所以正确；当，解得：，，可知函数的图象不关于对称，故D不正确.故选：C【点睛】本题考查三角函数解析式的求法和函数性质，意在考查基础知识，属于基础题型.6.已知直线x+y=a与圆x2+y2=1交于A，B两点，O是坐标原点，向量满足，则实数a的值为（）A．1 B．2 C．±1 D．±2参考答案：C【考点】直线与圆的位置关系．【专题】综合题；方程思想；演绎法；直线与圆．【分析】先由向量关系推出OA⊥OB，结合直线方程推出A、B两点在坐标轴上，然后求得a的值．【解答】解：由满足，得，因为直线x+y=a的斜率是﹣1，所以A、B两点在坐标轴上并且在圆上；所以（0，1）和（0，﹣1）点都适合直线的方程，a=±1；故选C．【点评】本题考查直线和圆的方程的应用，向量的模的有关知识，是基础题．7.已知函数的最小正周期为，为了得到函数.的图象，只要将的图象（

）A．向左平移个单位长度

B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度

D．向右平移个单位长度参考答案：B解：由于的最小正周期为，所以.所以.所以将函数向右平移，即可得到.故选B.8.已知等差数列的公差，它的第1、5、17项顺次成等比数列，则这个等比数列的公比是A．4

B．3

C．2

D．参考答案：B9.函数y=4cos（）的一个对称中心为

(

)

A

B

C

D参考答案：B略10.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设向量，其中，，，若，C点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设为椭圆上在第一象限内的一点，，分别为左、右焦点，若，则以为圆心，为半径的圆的标准方程为

．参考答案：12.对任意两个实数，定义若，，则的最小值为

．参考答案：【知识点】函数的图象与图象变化。B8

【答案解析】-1解析：因为对任意两个实数x1，x2，定义，又f（x）=x2﹣2，g（x）=﹣x，由x2﹣2≥﹣x，得x≤﹣2或x≥1，则当x2﹣2＜﹣x时，得﹣2＜x＜1．所以y=max（f（x），g（x）），其图象如图，由图象可知函数max（f（x），g（x））的最小值为﹣1．故答案为﹣1．【思路点拨】通过求解不等式x2﹣2≥﹣x，得出f（x）≥g（x）和f（x）＜g（x）的x的取值范围，结合新定义得到分段函数max（f（x），g（x））的解析式，在平面直角坐标系中作出分段函数的图象，则分段函数的最小值可求．13.已知数列的前项和为，且，则=

.参考答案：414.已知为线段上一点，为直线外一点，为上一点，满足，，，且，则的值为

参考答案：315.等差数列前9项的和等于前4项的和．若，则k=________．参考答案：法1：有题意知,即，所以，又，所以。法2：利用方程组法求解。16.设向量(I)若

(II)设函数参考答案：略17.向量，向量．若，则实数k=______．参考答案：－3【分析】由向量垂直的坐标表示求解即可【详解】，，则，得故答案为【点睛】本题考查向量的坐标运算，垂直的坐标表示，熟记公式准确计算是关键，是基础题三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）（2013?桐乡市校级模拟）已知函数f（x）=ln（ex+k）（k为常数）是实数集R上的奇函数（1）求k的值（2）若函数g（x）=λf（x）+sinx是区间[﹣1，1]上的减函数，且g（x）≤t2+λt+1在x∈[﹣1，1]上恒成立，求t的取值范围（3）讨论关于x的方程的根的个数．参考答案：【考点】函数奇偶性的性质；函数恒成立问题；导数在最大值、最小值问题中的应用．

【专题】计算题；压轴题；分类讨论；转化思想．【分析】（1）因为定义域是实数集R，直接利用奇函数定义域内有0，则f（﹣0）=﹣f（0）即f（0）=0，即可求k的值；（2）先利用函数g（x）的导函数g'（x）=λ+cosx≤0在[﹣1，1]上恒成立，求出λ的取值范围以及得到g（x）的最大值g（﹣1）=﹣1﹣sin1；然后把g（x）≤t2+λt+1在x∈[﹣1，1]上恒成立转化为﹣λ﹣sin1≤t2+λt+1（λ≤﹣1），整理得（t+1）λ+t2+sin1+1≥0（λ≤﹣1）恒成立，再利用一次函数的思想方法求解即可．（3）先把方程转化为=x2﹣2ex+m，令F（x）=（x＞0），G（x）=x2﹣2ex+m

（x＞0），再利用导函数分别求出两个函数的单调区间，进而得到两个函数的最值，比较其最值即可得出结论．【解答】解：（1）因为函数f（x）=ln（ex+k）（k为常数）是实数集R上的奇函数，所以f（﹣0）=﹣f（0）即f（0）=0，则ln（e0+k）=0解得k=0，显然k=0时，f（x）=x是实数集R上的奇函数；（2）由（1）得f（x）=x所以g（x）=λx+sinx，g'（x）=λ+cosx，因为g（x）在[﹣1，1]上单调递减，∴g'（x）=λ+cosx≤0

在[﹣1，1]上恒成立，∴λ≤﹣1，g（x）max=g（﹣1）=﹣λ﹣sin1，只需﹣λ﹣sin1≤t2+λt+1（λ≤﹣1），∴（t+1）λ+t2+sin1+1≥0（λ≤﹣1）恒成立，令h（λ）=（t+1）λ+t2+sin1+1（λ≤﹣1）则解得t≤﹣1（3）由（1）得f（x）=x∴方程转化为=x2﹣2ex+m，令F（x）=（x＞0），G（x）=x2﹣2ex+m

（x＞0），（8分）∵F'（x）=，令F'（x）=0，即=0，得x=e当x∈（0，e）时，F'（x）＞0，∴F（x）在（0，e）上为增函数；当x∈（e，+∞）时，F'（x）＜0，F（x）在（e，+∞）上为减函数；（9分）当x=e时，F（x）max=F（e）=（10分）而G（x）=（x﹣e）2+m﹣e2

（x＞0）∴G（x）在（0，e）上为减函数，在（e，+∞）上为增函数；（11分）当x=e时，G（x）min=m﹣e2（12分）∴当m﹣，即m＞时，方程无解；当m﹣，即m=时，方程有一个根；当m﹣，即m＜时，方程有两个根；（14分）【点评】本题主要考查函数奇偶性的性质，函数恒成立问题以及导数在最大值、最小值问题中的应用，是对知识的综合考查，属于难题．在涉及到奇函数定义域内有0时，一般利用结论f（0）=0来作题．19.（本小题满分13分）为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中的微量元素的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5件产品的测量数据：编号123451691781661751807580777081（1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；（2）若产品中的微量元素满足175，且75时,该产品为优等品．（i）用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；（ii）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数的分布列、数学期望及其方差．参考答案：（1）乙厂生产的产品总数为……………2分（2）显然编号为2,5的产品为优等品,即样本中有两件产品为优等品所以,样本中优等品的频率为……………………3分所以,乙厂生产的优等品的数量为……5分（3）

…………6分，的分布列为：…………………9分012∴

………………11分

………13分20.已知函数f（x）=x2﹣x3，g（x）=ex﹣1（e为自然对数的底数）．（1）求证：当x≥0时，g（x）≥x+x2；（2）记使得kf（x）≤g（x）在区间[0，1]恒成立的最大实数k为n0，求证：n0∈[4，6]．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）构造函数h（x）=g（x）﹣x﹣，求出函数导函数，对导函数求导后可得导函数的单调性，进一步确定导函数的符号，得到函数h（x）的单调性，可得h（x）≥h（0）=0得答案；（2）由（1）知，当kf（x）时，必有kf（x）≤g（x）成立，然后利用分析法证明当x∈[0，1]时，4f（x），当k≥6时，取特值x=说明不等式kf（x）≤g（x）在区间[0，1]上不恒成立，从而说明n0∈[4，6]．【解答】证明：（1）设h（x）=g（x）﹣x﹣，即h（x）=，则h′（x）=ex﹣1﹣x，h″（x）=ex﹣1，当x≥0时，h″（x）≥0，h′（x）为增函数，又h′（0）=0，∴h′（x）≥0．∴h（x）在[0，+∞）上为增函数，则h（x）≥h（0）=0，∴g（x）≥x+；（2）由（1）知，当kf（x）时，必有kf（x）≤g（x）成立．下面先证：当x∈[0，1]时，4f（x），当x=0或1时，上式显然成立；当x∈（0，1）时，要证4f（x），即证4（x﹣x2），也就是证8x2﹣7x+2≥0．∵＞0．∴当k≤4时，必有kf（x）≤g（x）成立．∴n0≥4；另一方面，当k≥6时，取x=，kf（x）﹣g（x）=＞0，∴当k≥6时，kf（x）≤g（x）不恒成立．∴n0≤6．综上，n0∈[4，6]．【点评】本题考查利用等式研究函数的单调性，训练了分析法证明函数不等式，体现了特值思想方法的应用，是中档题．21.（本小题满分12分）已知函数在处取得极值.(1)求实数的值；

(2)若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数根,求实数的取值范围；(3)证明:对任意的正整数,不等式都成立.参考答案：解:(1)

…………1分时,取得极值,

…………2分故解得经检验符合题意.…………3分（2）由知

由,得

令则在区间上恰有两个不同的实数根等价于在区间上恰有两个不同的实数根.

当时,,于是在上单调递增;

当时,,于是在上单调递减.…………6分依题意有,解得,

…………8分(3)的定义域为,由(1)知,令得,或(舍去),

当时,,单调递增;当时,,单调递减.为在上的最大值.