2021-2022学年湖南省邵阳市群西中学高三数学理下学期期末试题含解析

2021-2022学年湖南省邵阳市群西中学高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知双曲线M：﹣=1和双曲线N：﹣=1，其中b＞a＞0，双曲线M和双曲线N交于A，B，C，D四个点，且四边形ABCD的面积为4c2，则双曲线M的离心率为（）A． B．+3 C． D．+1参考答案：C【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据四边形ABCD的面积为4c2，可得双曲线M与N的交点在两坐标轴上的射影恰好是两双曲线的焦点，得交点坐标为：（c，c），其中c是两个双曲线公共的半焦距．将点（c，c）代入双曲线M（或双曲线N）的方程，结合b2=c2﹣a2化简整理，得e4﹣3e2+1=0，解之得到双曲线M的离心率．【解答】解：双曲线M：﹣=1和双曲线N：﹣=1，∴两个双曲线的焦距相等，∵四边形ABCD的面积为4c2，∴双曲线M与N的交点在两坐标轴上的射影恰好是两双曲线的焦点，∴交点坐标为：（c，c），代入双曲线M（或双曲线N）的方程，得：=1，去分母，得c2（c2﹣a2）﹣a2c2=a2（c2﹣a2），整理，得c4﹣3a2c4+a4=0，所以e4﹣3e2+1=0，∵e＞1，∴解之得e=，故选C．2.若x，y满足约束条件，则的最小值为A．－1 B．－2 C．1 D．2参考答案：A画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最小值，且最大值为.故选A.

3.如图，在矩形ABCD中，EF∥CD，GH∥BC，BC=2，，现分别沿EF，GH将矩形折叠使得AD与BC重合，则折叠后的几何体的外接球的表面积为（

）A. B. C.6π D.24π参考答案：B由题意得，折叠后的几何体为正三棱柱，且该三棱柱的底面边长为1，高为2．如图所示的正三棱柱．设上下底面的中心分别为，则球心为的中点，连，则，∴，即球半径，∴该几何体的外接球的表面积为．故选B．

4.函数的反函数是A.

B.

C.

D.参考答案：A5.由直线所围成的封闭图形的面积为A.

B.1

C.

D.参考答案：B由积分的应用得所求面积为，选B.6.某四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱的长度是A．29

B．

C．13

D．

参考答案：B【知识点】由三视图求面积、体积由题意可知几何体是底面为直角梯形，直角边长为：4，2，高为3的梯形，棱锥的高为2，高所在的棱垂直直角梯形的上直角顶点，所以侧棱最长为，底面梯形下底边锐角顶点与棱锥顶点连线，所以长度为：．故选B．【思路点拨】由三视图可知几何体是底面为直角梯形的四棱锥，通过三视图的数据，求出最长的侧棱长度即可．

7.展开式中不含项的系数的和为

．参考答案：0

略8.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=（）x，那么f﹣1（﹣9）的值为（）A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3参考答案：A【考点】反函数；函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】设f﹣1（﹣9）=x，则f（x）=﹣9，再利用奇函数的性质即可得出．【解答】解：设f﹣1（﹣9）=x，则f（x）=﹣9，设x＞0，则﹣x＜0．∵当x＜0时，f（x）=（）x，∴f（﹣x）==3x．∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣3x．∴﹣3x=﹣9，故：x=2．【点评】本题考查了奇函数的性质、反函数的性质，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．9.若实数满足恒成立，则函数的单调减区间为（

）参考答案：D略10.下列关于函数的判断正确的是

（

）

①

②是极小值，是极大值

③有最小值，没有最大值

④有最大值，没有最小值

A．①③

B．①②③

C．②④

D．①②④参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.两个等差数列则--=___________

参考答案：12.设和为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于；（2）若外一条直线与内的一条直线平行，则和平行；（3）设和相交于直线，若内有一条直线垂直于，则和垂直；（4）直线与垂直的充分必要条件是与内的两条直线垂直。上面命题中，真命题的序号

（写出所有真命题的序号）.参考答案：考查立体几何中的直线、平面的垂直与平行判定的相关定理。真命题的序号是(1)(2)13.已知在平面直角坐标系中，为原点，且（其中均为实数），若N（1，0），则的最小值是

.参考答案：略14.设P是函数y=x+（x＞0）的图象上任意一点，过点P分别向直线y=x和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则的值是．参考答案：﹣1考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：设P（x0，）（x0＞0），可得|PA|，|PB|，由O、A、P、B四点共圆，可得∠APB=，由数量积定义可求．解答：解：设P（x0，）（x0＞0），则点P到直线y=x和y轴的距离分别为|PA|==，|PB|=x0．∵O、A、P、B四点共圆，所以∠APB=π﹣∠AOB=∴==﹣1故答案为：﹣1点评：本题考查平面向量数量积的运算，涉及点到直线的距离公式和四点共圆的性质，属中档题．15.圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是

cm。参考答案：4试题分析：设球半径为r，则由可得，解得．考点：1．组合几何体的面积、体积．【思路点睛】本题考查几何体的体积，考查学生空间想象能力，解答时，首先设出球的半径，然后再利用三个球的体积和水的体积之和，等于柱体的体积，求解即可．16.在区间和内分别取一个数记为，则方程表示焦点在x轴上的椭圆的概率为________.参考答案：17.设函数，则不等式的解为

．参考答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.为预防病毒爆发，某生物技术公司研制出一种新流感疫苗，为测试该疫苗的有效性（若疫苗有效的概率小于%，则认为测试没有通过），公司选定个流感样本分成三组，测试结果如下表：分组组组组疫苗有效疫苗无效已知在全体样本中随机抽取个，抽到组疫苗有效的概率是．（1）现用分层抽样的方法在全体样本中抽取个测试结果，问应在组抽取样本多少个？（2）已知，30，求通过测试的概率．参考答案：19.设p：关于x的不等式ax＞1的解集是{x|x＜0}；q：函数的定义域为R．若p∨q是真命题，p∧q是假命题，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】复合命题的真假．【分析】根据指数函数的单调性求得命题p为真时a的取值范围；利用求出命题q为真时a的范围，由复合命题真值表知：若p∨q是真命题，p∧q是假命题，则命题p、q一真一假，分p真q假和q真p假两种情况求出a的范围，再求并集．【解答】解：∵关于x的不等式ax＞1的解集是{x|x＜0}，∴0＜a＜1；故命题p为真时，0＜a＜1；∵函数的定义域为R，∴?a≥，由复合命题真值表知：若p∨q是真命题，p∧q是假命题，则命题p、q一真一假，当p真q假时，则?0＜a＜；当q真p假时，则?a≥1，综上实数a的取值范围是（0，）∪[1，+∞）．20.在矩阵A的变换下，坐标平面上的点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变．（1）求矩阵A及A﹣1；（2）求圆x2+y2=4在矩阵A﹣1的变换下得到的曲线方程．参考答案：【考点】矩阵与向量乘法的意义；逆矩阵的意义．【分析】（1）由题意求出A=，再求出△=|A|=3，由此能求出A﹣1．（2）由=，得，由此能求出圆x2+y2=4在矩阵A﹣1的变换下得到的曲线方程．【解答】解：（1）∵在矩阵A的变换下，坐标平面上的点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，∴A=，∵△=|A|=3，∴A﹣1=．（2）由=，得，∴，代入x2+y2=4，得9x'2+y'2=4，∴圆x2+y2=4在矩阵A﹣1的变换下得到的曲线方程为9x2+y2=4．21.设.（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）在锐角中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,a=1,求面积的最大值.参考答案：（I）单调递增区间是；单调递减区间是（II）面积的最大值为22.已知函数．（1）解不等式；（2）记函数的最小值m，正实数a，b满足，求证：．参考答案：（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）利用零点分段讨论方法可解不等式.（2）利用绝对值不等式可求，再利用基本不等式求出的最小值后可证.【详解】（1）等价于或或，故或或，综上解集为