2023年北师大八年级数学下册图形的平移和旋转知识点

§3.1生活中的平移

一、新知要点

(1)平移的概念(2)平移的特点(3)平移的基本性质

火车沿笔直的轨道行驶、缆车沿笔直的索道滑行、火箭升空等物体都是沿

着一条直线运动的，那么在运动的过程中这些物体的形状、大小、位置等因素

中，哪些没有发生改变？哪些发生了变化？这种运动就叫做什么？

1.图形的平移

例1：下图中的图形A向右平移了6格得到图形A'

(1)平移的概念:在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离,这样

的图形运动称为平移,平移不改变图形的形状和大小。

(2)平移的特点：

①平移是指整个图形平行移动,涉及图形的每一条线段,每一个点。通过平

移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离。

②平移不改变图形的形状、大小，方向，只改变图形的位置。

例2、观测下图aABE沿射线XY的方向平移一定距离后成为aCDF。

找出图中存在的平行且相等的三条线段和一组全等三角形。

7Y

一C

X声

AD

'F

1

BE

（3）平移的基本性质：

通过平移，相应点所连的线段平行且相等，相应线段平行且相等，相应角

相等。

二、新知巩固（练习）

1.平移改变的是图形的（）

A位置B大小C形状D位置、大小和形状

2.通过平移，相应点所连的线段（）

A平行B相等C平行且相等D既不平行,又不相等

3.通过平移，图形上每个点都沿同一个方向移动了一段距离，下面说法对的的是

()

A不同的点移动的距离不同B既也许相同也也许不同

C不同的点移动的距离相同D无法拟定

4.如图，四边形ABCD平移后得到四边形EFGH,

填空(1)CD=(2)ZF=—

(3)IIE=,(4)ZD=_____,

(5)DH=«

5.如图,若线段CD是由线段AB平移而得到的,

则线段CD、AB关系是.

6.试着做一做:

(1)把图形向右平移7格后得到(2)把图形向左平移5格后到的

图形涂上颜色。的图形涂上颜色。

三、归纳小结

・通过本节课的学习，我们明白了什么叫平移。(在平面内，将一个图形沿某

个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。)

・总结出了平移的性质。(平移不改变图形的形状和大小。通过平移,相应点

所连的线段平行且相等;相应线段平行且相等，相应角相等。）

四、课外作业:

1.将长度为3cm的线段向上平移20cm,所得线段的长度是（）

A3cmB23cmC20cmD17cm

2.关于平移的说法，下列对的的是（）

A通过平移相应线段相等;B通过平移相应角也许会改变

C通过平移相应点所连的线段不相等;D通过平移图形会改变、

3.把可以平移到黑色Ui位置的白涂上颜色。

uaa

口©

4.把图中的三角形ABC（可记为△ABC）向右平移6个格子,画出所得的△ABC.

二、新知要点

1.平移图形的规律,作图的顺序；

2.平行线的作法及相应点的连结;

3.平移三要素:原图形位置，平移方向，平移距离。

例1:观测理解平移后的图形。

J1

1f/f/

f

口辛修i格

i)

t/

ff

1ill评稀黑

例2：把图中的三角形ABC（可记为AABC）向右平移8个格子，画出所得的△

解：（1）、通过平移的图形与本来的图形的相应线段，相应

角,图形的形状和大小都。

（2）、平移的相应点所连线段o

（3）、其中BC与B'C'的关系是（位置关系和数量关

系）。

线段AB与A'B'的关系是（位置关系和数量关系）。

若AC=5,则A'C'=，若/BAC=60°，则NB'A'C=。

若△ABC周长为30,则AA，Q'C周长为。

若aABC面积为S,则4A'B'C'面积为。

例3:画出平移后的图形。

通过操作我们发现：

1.在方格纸上平移图形时，把一个图形向某个方向平移几格，不是指原图形和平移后

得到的新图形两个图形之间的空格有几格，而是指原图形的每个顶点都向这一方向平移了

几格。

2.在方格纸上平移图形时,可以把这个图形的各个顶点按指定的方向平移到新位置,先

分别描出各点，再把各点按本来的顺序连接起来,成为按规定平移后得到的新图形。

3.用平移的方式画一排或一列图形时」可以在第一个图形的底部或左右画一条横线或竖

线，以这条横线或竖线为基准，画出的图形就是平移得到的。

4.平移图形或物体时，可以一次平移，也可以两次平移，物体的方向都不会改变。

例4：如图，通过平移，aABC的顶点A移到了点D,请作出平移后的三角形。A分析：

由于A与D是相应点,而平移的相应点的连线段平行且相等所以平移方向一一射线AD,平移

距离一一线段AD的长，

作法：£1.分别过点B、C沿AD方向作线段BE、CF,使它们与AD平行且相等A

2.顺次连结D、EF

参考图

三、新知巩固

1.分别画出将口向下平移4格，向左平移8格后得到的图形。

f

分析：5其分别画出将口向下平7侈4格、向左平，移8格后得到的图］员先要分别描出口zg

个顶点向下平移4格、向左平移8格后的新位置上的四个顶点,再把四个顶点顺次连接起

来，就得到符合题意规定的图形。

2.画出花瓶向上平移4格后的图形，再3.画出三角形向右平移6格后的图形,

画出它继续向左平移7格后的图形。再画出梯形向下平移5格后的图形

四、归纳小结

・通过本节课的学习我们学会了平移作图。

・拟定一个图形平移后的位置所需条件为：①图形本来的位置；②平移的方向；③平移

的距离。

五、课外作业

1.下列说法对的的是()

A由平移得到的两个图形的相应点连线长度不一定相等

B我们可以把“火车在一段笔直的铁轨上行驶了一段距离”看作“火车沿着铁轨方

向的平移”

C小明第一次乘观光电梯，随着电梯向上升,他快乐地对同伴说：“太棒了，我现在比

大楼还高呢，我长高了！”

D在图形平移过程中，图形上也许会有不动点

2.画画做做想想

V涂上颜色。

(1)移6格后得到的

平移2格后的图形

3.如图，已知△ABC,画出△ABC沿PQ方向平移

2cm后的△△'B'C

4.二年级同学表演节目，11个男同学排成一排，每两个男生之间安排一个女生，表演节

目的男女生一共有多少人？

§3.3生活中的旋转

一、知识回顾

下列现象哪些是平移？

H_Ij

平移的特点有哪些？

①平移是指整个图形平行移动，涉及图形的每一条线段，每一个点.通过平

移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离。

②平移不改变图形的形状、大小，方向，只改变图形的位置。

平常生活中，我们经常见到（钟表、风扇、汽车方向盘，摩天轮，旋转木

马……）钟表指针的转动、风扇扇叶的转动、汽车方向盘的转动等情景。（1）

上面情景中的转动现象，有什么共同特性？（2）钟表的指针、钟摆在转动过程

中，其形状、大小、位置是否发生改变?风扇扇叶的转动、汽车方向盘的转动

呢？

二、新知要点

1.旋转

在平面内，将一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度,这样的图形

运动称为旋转。这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。旋转不改变图

形的大小和形状。

注意：”将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度”意味着图形上的

每个点同时都按相同的方式转动相同的角度。在物体绕着一个定点转动时，它

的形状和大小不变。因此,旋转具有不改变图形的大小和形状的特性。

例1.如图，假如把钟表的指针看做三角形OAB,它绕0点按顺时芝型

旋转得到AOEF,在这个旋转过程中：B

A

O

(1)旋转中心是什么？旋转角是什么？

(2)通过旋转，点A、B分别移动到什么位置?

解：(1)旋转中心是0,NA0E、ZBOF等都是旋转

角.

(2)通过旋转,点A和点B分别移动到点E和点F的置。

2.旋转的性质

(1)相应点到旋转中心的距离相等；

(2)相应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；

(3)旋转前、后的图形全等；

(4)图形的旋转由旋转中心和旋转角度决定。

三、新知巩固

1.如图所示,假如把钟表的指针看作四边形AOBC,它绕0点按顺时针方向旋

转得到四边形DOEF。在这个旋转过程中

(1)旋转中心是什么？旋转角是什么？

(2)通过旋转，点A、B分别移到什么位置？

⑶AO与DO的长有什么关系？B0与E0呢？

(4)ZAOD与NBOE有什么大小关系？

2.在正方形ABCD中，Z1=Z2=30°,

试把AADE绕点A顺时针旋转90°,

观测整个图形中角与角之间,线段

与线段之间,存在哪些相等的关系？

探索DE,BF,AF之间的关系

四、归纳小结

•结识了旋转的图形；

・旋转图形的三要素：旋转中心、旋转角、旋转方向;

・旋转图形的性质。

五、课外作业

1.平移不改变图形的_______只改变图形的位置。故此若将线段AB向右平移3cm,

得到线段CD,假如AB=5cm,则CD=

2.下列关于旋转和平移的说法对的的是()

A旋转使图形的形状发生改变

B由旋转得到的图形一定可以通过平移得到

C平移与旋转的共同之处是改变图形的位置和大小

D相应点到旋转中心距离相等

3.如图,正方形ABCD可以当作由三角形______旋转而成的，其旋转

中心为点，旋转角度依次为,，—

4.下列现象哪些是平移,哪些是旋转。

左图中的头像，是一个顽皮的小孩,正在嬉皮笑脸地开玩笑。

倒过头来仔细看看，再说一说这是个什么人?他是什么样的表情?

§3.4简朴的旋转作图

一、知识回顾

1.旋转的概念

2.旋转的三要素

3.旋转的性质

如图，在方格上作出“小旗子”绕0点按顺时针方向旋转90度后的图案,

并简述理由。

二、新知要点

简朴图形的旋转作图

两种情况：①给出绕着旋转的定点，旋转方向和旋转角的大小;

②给出定点和图形的一个特殊点旋转后的相应点。

作图环节：①作出图形的几个关键点旋转后的相应点；

②顺次连接各点得到旋转后的图形。

例1.如图,△ABC绕C点旋转后，顶点A的相应点为点

D*

D,试拟定顶点B相应点的位置，以及旋转后的三角形.人

分析：绕C点旋转,A点的相应点是D点，那么旋转角就

B

是/ACD,根据相应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转

角，即NBCB'=NACD,又由相应点到旋转中心的距离相等，即CB=CB',就

可拟定B'的位置，如图所示.

解：(1)连结CD

(2)以CB为一边作NBCE,使得NBCE=NACDE。

(3)在射线CE上截取CB'=CB/\/

则夕即为所求的B的相应点.1At

(4)连结DB'

则ADB'C就是AABC绕C点旋转后的图形。

例2.如图，四边形ABCD是边长为1的正方形,且DE=；,4-P

△ABF是aADE的旋转图形./

(1)旋转中心是哪一点？FBc

(2)旋转了多少度？

(3)AF的长度是多少？

(4)假如连结EF,那么AAEF是如何的三角形?

分析：由4ABF是4ADE的旋转图形，可直接得出旋转中心和旋转角，规

定AF的长度,根据旋转前后的相应线段相等,只规定AE的长度，由勾股定理很

容易得到。4ABF与AADE是完全重合的，所以它是直角三角形.

解：(1)旋转中心是A点

(2):△ABF是由AADE旋转而成的

，B是D的相应点

.,.ZDAB=90°就是旋转角

(3)VAD=1,DE=1

4

•.•相应点到旋转中心的距离相等且F是E的相应点

・A口后

..AF=---

4

(4)VZEAF=90°(与旋转角相等)且AF=AE

.•.△EAF是等腰直角三角形.

三、新知巩固

1.平面图形的旋转一般情况下改变图形的()

A位置oB大小C形状“D性质

2.9点钟时，钟表的时针和分针之间的夹角是()

A30°oB45°C60°oD90°

3.将平行四边形ABCD旋转到平行四边形A'B'C'D'的位置，下列结论错误的是

()

A.AB=A'B'B.AB〃A'B'C.ZA=ZAZ。D.△ABC^AA,

B'C

4.做一做

在图1中，将大写字母A绕着它右下侧的顶点按顺时针方向旋转90度,请作出旋转后

的图案.

图1

四、归纳小结

・图形的旋转

・图形旋转的性质

・简朴图形的旋转作图环节

五、课外作业

1.钟表上的指针随时间的变化而移动,这可以看作是数学上的_____。

2.菱形ABCD绕点。沿逆时针方向旋转到四边形AB'C'D,则四边形A'6'C'。'是

3.△ABC绕一点旋转到AA'B'C,则aABC和AA'B'C的关系是。

4.钟表的时针通过20分钟,旋转了度。

5.图形的旋转只改变图形的,而不改变图形的。

6.在图中,将大写字母H绕它右上侧的顶点按逆时针方向旋转90。，请作出旋转后的

图案。

7.将一个等腰直角三角形/8C（如图2ZA是直角）绕着它的一个顶点B逆时针方向

旋转，分别作出旋转下列角度后的图形。

(1)45°(2)90°(3)135°(4)180°

8.将下面的图案绕点。顺时针方向旋转90度,作出旋转后的图形。

图3

对比平移、轴对称两种图形变换,旋转变换与它们有哪些共性和区别？

§3.5他们是如何变过来的

一、知识回顾

i.平移的概念：

在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，

这样的图形运动称为平移

2.平移的性质：

1.平移不改变图形的大小和形状。

2.相应点所连的线平行且相等。

相应线段平行且相等。

相应角相等。

3.旋转的概念:

4.旋转的性质

5.轴对称的概念

6.轴对称的性质

观测下列图形是怎么变过来的?

二、新知要点

例1：下图由四部分组成,每部分都涉及两个小“十”字，其中一部分能通过适当的旋转

得到其他三部分吗？能通过平移吗?能通过轴对称吗？尚有其它方式吗？

✓iJLA.yiJDKLA.>IJL/V

XTXT

解析：(1)整个图形可以看做是由十”字组成部分通过连续七次平移前后的图形

共同组成;

(2)整个图形也可以看做是由左边的两个“十”字组成的部分通过三次放置形成的；

(3)整个图形不定期可以看做把左边的两个“十”字组成的部分先通过平移一次形成

左右四个“十”字组成的图形，然后绕图形中心旋转90度前后的图形共同组成；

(4)整个图形还可以看做把左边的两个“十”字组成的部分通过二次轴对称形成

的。

通过上述问题的讨论，我们看到图形的平移、旋转，轴对称变换是图形变换中最基本

的三种变换方式,它们是此后设计图案的重要手段。

例2:“想一想”你能将下面的左图，通过平移或旋转得到右图吗？

三、新知巩固

1.如何将下图中的甲图变成乙图案?

假如一个图形沿一条直线折叠后,

直线两旁的部分可以重合,

那么这个图形叫做轴对称图形

对称轴

例：如何将下图中的甲图变成乙图案?

2、下图是由三个正三角形拼成的，它可以看作由其中一个三角形通过如何的变化而得

到的？

看一看:

下列三幅图案分别是由什么“基本图形”通过平移或旋转而得到的?

1.

2.

试一试:

如何将下图中的甲图变成乙图?

做一做：

如图①，在正方形力中,E是/1〃的中点,F是8A延长线上的一点,

2

(1)求证：/VIBE丝△/£>尸.

(2)阅读下列材料:如图②，把△ABC沿直线平移线段8c的长度，可以变到△EC。的

位置；如图③，以3c为轴把aABC翻折180°,可以变到△OBC的位置；如图④，以点

A为中心，把△ABC旋转180。，可以变到△4比>的位置，像这样其中一个三角形是由另一个

三角形按平行移动、翻折、旋转等方法变成的，这种只改变位置，不改变形状大小的图形变

换，叫做三角形的全等变换.

(1)在图①中，可以通过平移、翻折、旋转中的哪一种方法，使△ABE变到△AO尸的位

置？

(2)指出图①中线段8E与。尸之间的关系.

1.旋转的三要素

(1)旋转中心;

(2)旋转方向；

(3)旋转角度。

三、解答题

9.下图中的两个正方形的边长相等，请你指出可以通过绕点。旋转而互相得到的图形

并说明旋转的角度.

11.如图，菱形A'B'C'D'是菱形ABCD绕点0顺时针旋转90。后得到的，你能

作出旋转前的图形吗？

12.Rtz^ABC,绕它的锐角顶点A分别逆时针旋转90°,180°和顺时针旋转

90°,

A

(1)试作出Rt^ABC旋转后的三角形;

(2)将所得的所有三角形当作一个图形，你将得到如何的图形？

13.如图,将右面的扇形绕点0按顺时针方向旋转，分别作出旋转下列角度后的图形:

(1)90°；(2)180°

你能发现将扇形旋转多少度后能与原图形重合吗？

14.如图，分析图中的旋转现象，并仿照此图案设计一个图案.

§3.6简朴的图案设计

图案设计：图案的设计是由基本图形通过适当的平移、旋转、轴对称等图形的变换而得到

的。其中中心对称是旋转变换的一种特例。

2.中心对称

把一个图形绕着某一点旋转180。,假如它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形

关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形的相应点叫做关于中心

的对称点。

3.中心对称图形

假如把一个图形绕着某一点旋转180°后能与自身重合,那么我们就说，这个图形

是中心对称图形。

4.中心对称的性质

（1）关于中心对称的两个图形是全等形。

（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都通过对称中心，并且被对称中心平分。

（3）关于中心对称的两个图形，相应线段平行（或者在同一直线上）且相等。

5.在“党”“在”“我”“心”“中”五个汉字中，旋转180°后不变的字是

在字母“X”、"V”、"Z”、"H”中绕某点旋转（旋转度数不超过180）后不

能与原图形重合的是

3.如图⑴,两块完全重合的正方形纸片,假如上面的一块统正方形的中心。作0°〜90°

的旋转，那么旋转时露出的4ABC的面积（S）随着旋转角度（n）的变化而变化，下面

表达S与n的关系的图象大体是图⑵中的（）

5.如图是跷跷板示意图，模板AB通过点O,且可以绕点O上下转动，假如