2023学年完整公开课版对顶角

6.9直线的相交第1课时

对顶角 【明目标、知重点】

1.了解相交线、对顶角的概念，能从图中辨认对顶角；2.掌握对顶角的性质．填要点·记疑点1．相交线的概念

定义：如果两条直线__________________，就说这两条直线相交，该公共点叫做这两条直线的________．2．对顶角的概念及性质

定义：顶点相同，角的两边互为反向延长线．

性质：对顶角________．只有一个公共点交点相等探要点·究所然类型之一对顶角的概念例1下面四个图形中，是对顶角的图形有 (

) A．0个B．1个C．2个D．3个B变式跟进1如图6－9－1，直线AB，CD相交于O，所形成的∠1，∠2，∠3，∠4中，下列分类不同于其他三个的 (

)A．∠1和∠2 B．∠2和∠3C．∠3和∠4 D．∠2和∠4图6－9－1D变式跟进2如图6－9－2，直线AB，CD相交于点O，∠DOE＝90°，则∠AOE与∠DOB的关系是(

)

图6－9－2A．对顶角B．互补的两个角C．互余的两个角D．一对相等的角C【解析】∵∠DOE＝90°，∠EOC＝90°，即∠AOC＋∠AOE＝90°，∵∠AOC＝∠DOB，∴∠DOB＋∠AOE＝90°，即∠AOE与∠DOB互余．类型之二利用余角、补角和对顶角的性质进行有关的计算例2如图6－9－3，三条直线AB，CD，EF相交于点O，∠AOF＝3∠FOB，∠AOC＝90°，求∠EOC的度数．

图6－9－3 【解析】因为∠AOF与∠FOB互为补角，又知∠AOF＝3∠FOB，可求出∠FOB，∠AOF.根据对顶角相等得∠AOE＝∠FOB，又因为∠AOC＝90°，故∠EOC＝90°－∠AOE.解：∵∠FOB＋∠AOF＝180°，∠AOF＝3∠FOB，∴∠FOB＋3∠FOB＝180°，∴∠FOB＝45°.∴∠AOE＝∠FOB＝45°.∴∠EOC＝∠AOC－∠AOE＝90°－45°＝45°.【点悟】要学会在解题中灵活运用对顶角和邻补角的性质，将已知条件与要求的角联系起来．变式跟进3如图6－9－4，直线AB与CD相交于点O，∠1＝50°.求∠2和∠3的度数．

图6－9－4解：∵∠1与∠3是邻补角，∴∠3＝180°－∠1＝130°，又∵∠1与∠2是对顶角，∴∠2＝∠1＝50°.变式跟进4如图6－9－5，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD.∠AOC＝120°，求∠DOE的度数．

图6－9－5解：∵∠AOC＝120°，∴∠AOD＝180°－∠AOC＝60°，又∵OE平分∠AOD，∴∠DOE＝30°.类型之三对顶角的探究型问题例3观察图6－9－6中图形，寻找对顶角(不含平角)．图6－9－6(1)如图①所示，图中共有_____对对顶角；(2)如图②所示，图中共有_____对对顶角；(3)如图③所示，图中共有______对对顶角；(4)研究(1)～(3)小题中直线条数与对顶角的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成__________对对顶角；(5)若有180条直线相交于一点，则可形成__________对对顶角．【解析】此题为找规律的题目，由两条直线相交形成的对顶角的对数为2对，3条直线相交于一点的图形可以看成是“3个”两条直线相交于一点的图形，因此对顶角的对数是2×3＝6(个)；4条直线相交于一点的图形可以看成是“6个”两条直线相交于一点的图形，因此对顶角的对数是2×6＝12(个)．从下表中发现：(n－1)n261232220研究(1)～(3)小题中直线条数与对顶角的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成(n－1)n对对顶角．若有180条直线相交于一点，则可形成32220对对顶角．直线条数234…n对顶角个数2＝1×26＝2×312＝3×4…(n－1)×n【点悟】找规律的题目必须弄清序号n与对应式子之间的变化关系．变式跟进5如图6－9－7，3条直