2024届一轮复习数学新材人教A版 第四章 三角函数与解三角形 4-2　同角三角函数基本关系式及诱导公式 学案

§4.2同角三角函数基本关系式及诱导公式2.掌握诱导公式，并会简单应用．知识梳理1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：________________.(2)商数关系：___________________________________________________________________.2．三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα余弦cosα正切tanα－tanα口诀奇变偶不变，符号看象限常用结论同角三角函数的基本关系式的常见变形sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cosα)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sinα)；(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)使sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是α为锐角．()(2)若sin(kπ－α)＝eq\f(1,3)(k∈Z)，则sinα＝eq\f(1,3).()(3)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.()(4)若α∈R，则tanα＝eq\f(sinα,cosα)恒成立．()教材改编题1．若cosα＝eq\f(1,3)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，则tanα等于()A．－eq\f(\r(2),4)B.eq\f(\r(2),4)C．－2eq\r(2)D．2eq\r(2)2．若sinα＋cosα＝eq\f(\r(2),2)，则sinαcosα等于()A．－eq\f(1,2)B．－eq\f(1,4)C.eq\f(\r(2),2)D．23．化简eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,2))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)＋α)))·cos(2π－α)的结果为______.题型一同角三角函数基本关系例1(1)(多选)已知θ∈(0，π)，sinθ＋cosθ＝eq\f(1,5)，则下列结论正确的是()A．θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)) B．cosθ＝－eq\f(4,5)C．tanθ＝－eq\f(3,4) D．sinθ－cosθ＝eq\f(7,5)(2)已知cosα＝－eq\f(5,13)，则13sinα＋5tanα＝______.(3)已知tanα＝2，则eq\f(3sinα－2cosα,sinα＋cosα)＝______；eq\f(2,3)sin2α＋eq\f(1,4)cos2α＝________.听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华(1)应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．(2)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.跟踪训练1(1)(2021·新高考全国Ⅰ)若tanθ＝－2，则eq\f(sinθ1＋sin2θ,sinθ＋cosθ)等于()A．－eq\f(6,5) B．－eq\f(2,5)C.eq\f(2,5) D.eq\f(6,5)(2)若θ为△ABC的一个内角，且sinθ·cosθ＝－eq\f(1,8)，则sinθ－cosθ等于()A．±eq\f(\r(5),2) B.eq\f(\r(3),2)C．－eq\f(\r(5),2) D.eq\f(\r(5),2)题型二诱导公式例2(1)已知x∈R，则下列等式恒成立的是()A．sin(3π－x)＝－sinxB．sineq\f(π－x,2)＝coseq\f(x,2)C．tan(x－π)＝－tanxD．cos(－x)＝－cosx(2)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－x))＝eq\f(1,3)，且0<x<eq\f(π,6)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋x))－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋x))的值为________．听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华诱导公式的两个应用(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了；(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了．跟踪训练2(1)若eq\f(sin3π－α－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,2)－α)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＋cos－π＋α)＝eq\f(1,3)，则tanα等于()A.eq\f(3,4)B．－eq\f(1,2)C．－eq\f(4,3)D.eq\f(1,2)(2)已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝eq\f(4,5)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))的值为()A.eq\f(3,5)B．－eq\f(3,5)C.eq\f(4,5)D．－eq\f(4,5)题型三同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用例3(1)(2023·长沙模拟)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝eq\f(3,5)，且eq\f(π,4)－α为第二象限角，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(13π,4)))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(21π,4)))＝________.(2)已知－π<x<0，sin(π＋x)－cosx＝－eq\f(1,5).则eq\f(sin2x＋2sin2x,1－tanx)＝________.听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华(1)利用同角三角函数基本关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．(2)注意角的范围对三角函数值符号的影响．跟踪训练3(1)(2023·衡水模拟)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))＋cos(π－α)＝sinα，则2sin2α－sinα·cosα等于()A.eq\f(21,10)B.eq\f(3,2)C.eq\f(\r(3),2)D．2(2)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－