概率论与数理统计田第7讲

则称X

在(a,b)上服从均匀分布，记为

X～U(a,b)二几个重要的连续型随机变量及其分布f

(

x)1.

均匀分布（Uniform）(1)

若随机变量X

的概率密度为ab1,

a

x

b其他b

a0,f

(x)

b

a10x

aF(x)

x

a

a

x

bb

x若X～U(a,b)，X

的分布函数为F

(

x)abx对于满足a

c

<

d

b的任意的c

,

d,

有P(c

<

X

d)=(dc)

/

(ba)b

xb

a10x

aF(x)

x

a

a

x

b一般地，设D是轴上区间（或一些不相交的区间之并），若X的概率密度为0,

x

D,

x

D1f

(x)

D的长度则称X在D上服从均匀分布。

10

x

30其它f

x

30

0例1设公共汽车站从上午7时起每隔15分钟来一班车,如果某乘客到达此站的时间是7:00到7:30之间的均匀随机变量．试求该乘客候车时间不超过5分钟的概率.解:设该乘客于7时X

分到达此站则X

服从区间[0,

30]上的均匀分布令B

={

候车时间不超过5分钟

}P

B

P

10

X

15

P

25

X

30

10

x

30其它f

x

30

0P

B

P

10

X

15

P

25

X

3025

30

1

dx

1

dx15

3010

30=

13

10

x

30其它f

x

30

030

30=

13P

B

P

10

X

15

P

25

X

30

5

52

指数分布(Exponential)若随机变量X

的概率密度为>0，则称X

服从参数为的指数分布,其中常数记为X~E()x

00,

x

0f

(x)

ex

,f

(

x)xo0x

0x

0F

(

x

)

1

e

xX

的分布函数为oxF

(

x)1定义

设连续型随机变量X

的概率密度为其中θ

0

为常数,则称X

服从参数为

的指数分布.

0,x

0,x

0.f

(

x)

θ1

e

x

θ

,指数分布的另一种等价定义例2：经过长期的观测，对某些电子元件的寿命可作如下假定：在已使用了t小时的条件下，在以后的t小时内损坏的概率为t+o(t)，其中是不依赖于t的常数；电子元件寿命为零的概率是零，求电子元件在T内损坏的概率。解：设电子元件的寿命为X,其分布函数为F(x).依题意，要求F(T)=P(XT).

由题中假定，知F

(0)

P(

X

0)

0P(t

X

t

t

|

X

t)

t

o(t)P(t

X

t

t

|

X

t)经过长期的观测，对某些电子元件的寿命可作如下假定：在已使用了t

小时的条件下，在以后的t小时内损坏的概率为t+o(t)，其中是不依赖于t的常数；电子元件寿命为零的概率是零，求电子元件在T内损坏的概率。设电子元件的寿命为X,其分布函数为F(x).另外，由条件概率的定义，知P(

X

t)

P(t

X

t

t,

X

t)1

P(

X

t)1

F

(t)

P(t

X

t

t)

F

(t

t)

F

(t)

t

o(t)F

(t

t)

F

(t)

1

F

(t)

t

o(t)从而有F

(t

t)

F

(t)

(

o(t)

)(1

F

(t))t

t令t

0,

得一阶线性微分方程F

(0)

0F

(t)

(1

F

(t)解之，得F

(t)

1

et

,

t

00,

t

0F

(T

)

1

eTP(

X

s

t

|

X

s)

P(

X

t)事实上P(

X

s)P(

X

s

t

|

X

s)

P(

X

s

t,

X

s)

P(

X

s

t)P(

X

s)

1

F

(s)x

00

x

0F(x)

1

exes

1

F

(s

t)

e

(st

)

te

1

F

(t)

P(

X

t)服从指数分布的随机变量X具有以下性质:无记忆性或称无后效性，即对于任意s,t

>0,

有无后效性是指数分布的特征。如果X表示某仪器的工作寿命,无后效性的解释是:当仪器工作了s小时后再能继续工作t小时的概率等于该仪器刚开始就能工作t

小时的概率。有人将这一性质描述为

“永葆青春”。一般来说，电子元件等具备这种性质，它们本身的老化是可以忽略不计的，造成损坏的原因是意外的高电压等等。P(

X

s

t

|

X

s)

P(

X

t)0!

t

0P

X

t

P

N

t

0

e

t

e

t例3

设时间(0,

t

]内有N(t)粒子放射出来,且N

t

~

P

t

设X

为第一个粒子发射出来的时刻，则X

t

N

t

0所以从而F

(t)

P(

X

t)

1

P

X

t

1

e

t即

X~E()

.3.

正态分布若r.v

X

的概率密度为X

~

N

(,

2

)e

,

x

22

2(

x

)12f

(

x)

其中

，

均为常数，且

>0，则称X服从参数为

，

的正态分布.记作X

的分布函数为dte12

22

(t

)2xF

(

x)

4.

正态分布N

(,

2

)a.

正态分布的密度曲线是一条关于

对称的钟形曲线.特点是“两头小，中间大，左右对称”.f

(μ+c)=f

(μ-c)密度函数图形的特点b.

决定了图形的位置。正态分布N

(,

2

)的密度函数图形特点c.在x=μ处达到最大值:e,

x

22

2(

x

)12f

(

x)

12

f

()

决定了图形中峰的陡峭程度.d.这说明曲线f(x)向左右伸展时，越来越贴近x轴。即f

(x)以x轴为渐近线。e,

x

22

2(

x

)12f

(

x)

当x→

∞时，f(x)

→

0,e.e,

x

22

2(

x

)12f

(

x)

为f

(x)的两个拐点的横坐标。x

=

μ

σ年降雨量、同龄人身高、在正常条件下各种产品的质量指标——如零件的尺寸；纤维的强度和张力、农作物的产量，小麦的穗长、株高、测量误差、射击目标的水平或垂直偏差、信号噪声等等，都服从或近似服从正态分布.设X~

N

(,

2

),X的分布函数是

exdt,

x

22

2(t

)12F

(x)

5.正态分布的分布函数设X~

N

(,

2

),X

的分布函数为5.正态分布的分布函数2dt

0.5

e2

2(t

)12F

()

e

dtx

t226.标准正态分布e

x

12

,2

x2

1

2

(

x)

0,

1

的正态分布称为标准正态分布.其密度函数和分布函数常用

(x)和(x)表示：(

x)(

x)

(

x)注意：Φ(0)=0.5Φ(x)=1

Φ(x)

x

xe

dtx

2t2(

x)

1

2若X～N(0,

1)，对任意的实数x1,x2

(x1<x2)，有P(x1

X

x2

)

(x2

)

(x1)人们已编制了

(x)的函数表，可供查用。P(

X

x1)

(x1),P(

X

x1)

1

(x1)7.正态分布的计算

(

x

)对任意的实数x1，x2

(x1<x2)，有)1x

P(

X

x1)

F

(x1)

()1x

P(

X

x1)

1

F

(x1)

1

()(1

2

2

112)

(x

x

P(x

X

x

)

F(x

)

F(x

)

xe

2

du22ue

dt

F(x)

x2

2(t)1212例4

设

X

~

N(,

2),

求

P(

|X

|

<

k

)的值,

k=1,

2,

3解：P(|

X

|

k

)

P(

k

X

k

)

(

k

)

(

k

)

(k

)

(k

)

(k

)

[1

(k

)]

2(k

)

1当k=1,当k=2,P(|

X

|

)

2(1)

1

0.6826P(|

X

|

2

)

2(2)

1

0.9544当k=3,P(|

X

|

3

)

2(3)

1

0.9974质量控制中的3原则。设在正常生产的情况下，某零件的尺寸X服从正态分布N(,2)，为了在生产

过程中随时检查有无系统性误差出现，人们画了一

个质量控制图。每隔一定时间，对产品尺寸进行检

查，测量的产品的尺寸应落在上、下控制线之内。

如果点超出控制线，则很有可能是生产出现了异常

情况，应该暂停生产进行检查。当然也可能虚报，

但虚报的可能性比较小。例5

某市高校高等数学统考,

假定考生成绩

X

~

N(,

2).

现已知80分以上者占总人数的33%, 40分以下者占总人数的8%,

求考生的及格率.(80

)

0.67(

40

)

0.08解：依题意，知P(

X80)=0.33P(X40)=0.08因此有P(X<80)=0.67(

40

)

0.08反查标准正态分布表得80

0.44,

40

1.405

解上述联立方程组，得

70.46,

21.68(80

)

0.67

(0.44)(

40)

0.92

(1.405)某市高校高等数学统考,假定考生成绩X

~

N(,

2).现已知80分以上者占总人数的33%,

40分以下者占总人数的8%,

求考生的及格率.

70.46,

21.68所以21.68

(0.48)

0.6844P(

X

60)

1

(

60

70.46)

1

(0.48)例6

一桥长60m,

以桥的中点为原点,沿着桥的方向引入坐标轴.

一架飞机沿着坐标轴俯冲投弹轰炸此桥,假定弹着点的坐标X

~

N(0,

100

2).求投掷一枚炸弹,

命中此桥