线性代数第一章节演示文稿

线性代数第一章节演示文稿当前第1页\共有40页\编于星期二\12点（优选）线性代数第一章节当前第2页\共有40页\编于星期二\12点性质3

行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数，等于用数乘此行列式.推论1

行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．推论2如果行列式中有一行(列)元素全为零，则此行列式的值为零.当前第3页\共有40页\编于星期二\12点推论3

行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．证明当前第4页\共有40页\编于星期二\12点性质4

若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.则D等于下列两个行列式之和：例如当前第5页\共有40页\编于星期二\12点性质5

把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．例如当前第6页\共有40页\编于星期二\12点二、应用举例我们将应用行列式性质来计算行列式，我们约定：当前第7页\共有40页\编于星期二\12点例１计算例2计算当前第8页\共有40页\编于星期二\12点例3

计算阶行列式解将第都加到第一列得当前第9页\共有40页\编于星期二\12点当前第10页\共有40页\编于星期二\12点例4证明当前第11页\共有40页\编于星期二\12点证明当前第12页\共有40页\编于星期二\12点当前第13页\共有40页\编于星期二\12点同理：当前第14页\共有40页\编于星期二\12点例5反对称行列式的形式为：由性质1当前第15页\共有40页\编于星期二\12点1.5行列式按行（列）展开定义1：在阶行列式中，把元素所在的第行和第列划去后，留下来的阶行列式叫做元素的余子式，记作叫做元素的代数余子式．1.5.1余子式，代数余子式定义例如当前第16页\共有40页\编于星期二\12点1.5.2行列式按行（列）展开法则定理1行列式D等于其任意一行（列）的元素与它的代数余子式的乘积之和，即

推论

行列式的某一行（列）的各元素与另外一行（列）的对应元素的代数余子式的乘积之和等于零。当前第17页\共有40页\编于星期二\12点综上所述，可得到代数余子式的一个重要结论：例1设当前第18页\共有40页\编于星期二\12点例2证明范德蒙（Vandermonde）行列式

证用数学归纳法当前第19页\共有40页\编于星期二\12点当前第20页\共有40页\编于星期二\12点n-1阶范德蒙德行列式当前第21页\共有40页\编于星期二\12点1.5.3拉普拉斯定理定义2当前第22页\共有40页\编于星期二\12点第1行第3行第2列第4列当前第23页\共有40页\编于星期二\12点定理2

拉普拉斯(Laplace)定理注：行列式按行（列）展开就是拉普拉斯定理k=1时的特殊情形。当前第24页\共有40页\编于星期二\12点例3

用拉普拉斯定理计算行列式解：选取第1，2行，只有三个非零二阶子式，对应的代数余子式为当前第25页\共有40页\编于星期二\12点例4证明当前第26页\共有40页\编于星期二\12点例5

计算2n阶行列式当前第27页\共有40页\编于星期二\12点设线性方程组则称此方程组为非

齐次线性方程组;此时称方程组为齐次线性方程组.1.非齐次与齐次线性方程组的概念1.6克莱姆法则当前第28页\共有40页\编于星期二\12点定理1(Cramer法则)如果线性方程组的系数行列式不等于零，即当前第29页\共有40页\编于星期二\12点其中是把系数行列式中第列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的阶行列式，即那么线性方程组有解，并且解是唯一的，解可以表为当前第30页\共有40页\编于星期二\12点证明在把个方程依次相加，得当前第31页\共有40页\编于星期二\12点由代数余子式的性质可知,于是当时,方程组有唯一的一个解当前第32页\共有40页\编于星期二\12点由于方程组与方程组等价,故也是方程组的解.当前第33页\共有40页\编于星期二\12点二、重要推论定理1

如果线性方程组的系数行列式则一定有解,且解是唯一的.定理2

如果线性方程组无解或有无穷多个不同的解，则它的系数行列式必为零.当前第34页\共有40页\编于星期二\12点齐次线性方程组的相关定理定理3

如果齐次线性方程组的系数行列式

,则齐次线性方程组只有零解.当前第35页\共有40页\编于星期二\12点定理4

如果齐次线性方程组

有非零解,则它的系数行列式必为零.有非零解.系数行列式当前第36页\共有40页\编于星期二\12点例1

用