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文档简介
专题四函数、不等式中的恒成立问题
纵观近几年高考对于函数、不等式中恒成立问题的考查重点是一次函数、二次函数的性质、不等式的性质及应用,图象、渗透换元、化归、数形结合、函数与方程、分类讨论、转化等数学思想方法.有的学生看到就头疼的题目,分析原因除了这类题目的入手确实不易之外,主要是学生没有形成解题的模式和套路,以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理.本文就高中阶段出现的这类问题进行总结和探讨.利用导数研究不等式问题的关键是函数的单调性和最值,各类不等式与函数最值关系如下:不等式类型与最值的关系∀x∈D,f(x)>M∀x∈D,f(x)min>M∀x∈D,f(x)<M∀x∈D,f(x)max<M∃x0∈D,f(x0)>M∀x∈D,f(x)max>M∃x0∈D,f(x0)<M∀x∈D,f(x)min<M∀x∈D,f(x)>g(x)∀x∈D,[f(x)-g(x)]min>0∀x∈D,f(x)<g(x)∀x∈D,[f(x)-g(x)]max<0∀x1∈D1,∀x2∈D2,f(x1)>g(x2)∀x∈D1,∀x∈D2,f(x)min>g(x)max不等式类型与最值的关系∀x1∈D1,∃x2∈D2,f(x1)>g(x2)∀x∈D1,∀x∈D2,f(x)min>g(x)min∃x1∈D1,∀x2∈D2,f(x1)>g(x2)∀x∈D1,∀x∈D2,f(x)max>g(x)max∃x1∈D1,∃x2∈D2,f(x1)>g(x2)∀x∈D1,∀x∈D2,f(x)max>g(x)min(续表)
注:上述的大于、小于改为不小于、不大于,相应的与最值对应关系的不等式也改变.如果函数没有最值,那么上述结果可以用函数值域相应的端点值表述.[例1]已知两个函数f(x)=8x2+16x-k,g(x)=2x3+5x2+4x,x∈[-3,3],k∈R.(1)若对∀x∈[-3,3],都有f(x)≤g(x)成立,求实数k的取值范围;(2)若∃x∈[-3,3],使得f(x)≤g(x)成立,求实数k的取值范围;(3)若对∀x1,x2∈[-3,3],都有f(x1)≤g(x2),求实数k的取值范围.解:(1)设h(x)=g(x)-f(x)=2x3-3x2-12x+k,问题转化为x∈[-3,3]时,h(x)≥0恒成立,即h(x)min≥0,x∈[-3,3].令h′(x)=6x2-6x-12=0,得
x=2或
x=-1,∵h(-3)=k-45,h(-1)=k+7,h(2)=k-20,h(3)=k-9,∴h(x)min=k-45≥0,得
k≥45.(2)据题意:∃x∈[-3,3],使f(x)≤g(x)成立,即为h(x)=g(x)-f(x)≥0在x∈[-3,3]上能成立,∴h(x)max≥0.∴h(x)max=k+7≥0,即k≥-7.(3)据题意:f(x)max≤g(x)min,x∈[-3,3],易得f(x)max=f(3)=120-k,g(x)min=g(-3)=-21,∴120-k≤-21,得k≥141.[例2](2020年押题导航卷)已知函数f(x)=ex[x2+(2a-5)·x-8a+5](a∈R).(1)若曲线f(x)在点(0,f(0))处的切线与直线x-6y+1=0垂直,求实数a的值;(2)当x∈[0,2]时,若不等式f(x)≥2e2恒成立,求实数a的取值范围.解:(1)由f(x)=ex[x2+(2a-5)x-8a+5]得f′(x)=ex[x2+(2a-3)x-6a]=ex(x+2a)(x-3),f′(0)=-6a=-6,所以a=1.(2)f′(x)=ex(x+2a)(x-3),x∈[0,2],令f′(x)=ex(x+2a)(x-3)=0,得x1=-2a,x2=3,①当-2a≤0,即a≥0时,f(x)在(0,2)单调递减,依题意则有,f(2)=-4(a+1)e2≥2e2成立,②当0<-2a<2,即-1<a<0时,f(x)在(0,-2a)上单调递增,在(-2a,2)上单调递减,【规律方法】已知不等式恒成立(或有解)求参数问题的解法(转化为最值问题)(1)分离参数法:化为
a>f(x)(或
a<f(x))恒成立或有解⇔a>fmax(x)(或a<fmin(x))或a>fmin(x)(或a<fmax(x))(2)直接求最值法:①f(x)>0恒成立(或有解)⇔fmin(x)>0(或fmax(x)>0)②解不等式,求参数的取值范围.[例3](2020年大数据精选模拟卷)已知函数f(x)=4x2-7 2-x,x∈[0,1]. (1)求f(x)的单调区间和值域;
(2)设a≥1,函数g(x)=x3-3a2x-2a,x∈[0,1],若对于任意x1∈[0,1],总存在x0∈[0,1],使得g(x0)=f(x1)成立,求a的取值范围.
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:(2)g′(x)=3(x2-a2).∵a≥1,当x∈(0,1)时,g′(x)<3(1-a2)≤0,因此当x∈(0,1)时,g(x)为减函数,从而当x∈[0,1]时,有g(x)∈[g(1),g(0)].又∵g(1)=1-2a-3a2,g(0)=-2a,即当x∈[0,1]时,有g(x)∈[1-2a-3a2,-2a].对于任意x1∈[0,1],f(x1)∈[-4,-3],存在x0∈[0,1]使得g(x0)=f(x1)成立,则[1-2a-3a2,-2a]⊇[-4,-3].
【名师点评】(1)求f(x)的值域可以利用导数,也可以利用基本不等式求解;
(2)若对于任意x1∈[0,1],总存在x0∈[0,1],使得g(x0)=f(x1)成立,本质就是函数f(x)的值域是函数g(x)值域的子集.(1)求曲线f(x)在x=1处的切线方程;(2)讨论函数g(x)的极小值;(3)若对任意的x1∈[-1,0],总存在x2∈[e,3],使得f(x1)>g(x2)成立,求实数a的取值范围.解:(1)∵f′(x)=
x-ex+(1-x)ex=x(1-ex),∴f′(1)=1-e,即所求切线的斜率为1-e.a<1,又g(x)的定义域为{x|x>0}, ∴当0<a<1时,由g′(x)>0,得0<x<a或x>1.
由g′(x)<0,得a<x<1.∴g(x)在(0,a)上单调递增,在(a,1)上单调递减,在(1,+∞)单调递增.∴g(x)的极小值为g(1)=1-a.当a≤0时,由g′(x)>0得x>1,由g′(x)<0得0<x<1,即g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.g(x)极小值=g(1)=1-a.综上,g(x)极小值=1-a.
(3)对任意的x1∈[-1,0],总存在x2∈[e,3],使得f(x1)>g(x2)成立,等价于f(x)在[-1,0]上的最小值大于g(x)在[e,3]上的最小值.
当x1∈[-1,0]时,f′(x)=x(1-ex)≤0,
f(x)在[-1,0]上单调递减,f(x)min=f(0)=1.
由(2)知,g(x)在[e,3]上单调递增,
注:e=2.71828…为自然对数的底数.
思维点拨:(1)首先求得导函数的解析式,然后结合函数的解析式确
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