原创2022年《南方新课堂·高考总复习》数学 专题四 函数、不等式中的恒成立问题配套课件

专题四函数、不等式中的恒成立问题

纵观近几年高考对于函数、不等式中恒成立问题的考查重点是一次函数、二次函数的性质、不等式的性质及应用，图象、渗透换元、化归、数形结合、函数与方程、分类讨论、转化等数学思想方法.有的学生看到就头疼的题目，分析原因除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理.本文就高中阶段出现的这类问题进行总结和探讨.利用导数研究不等式问题的关键是函数的单调性和最值，各类不等式与函数最值关系如下：不等式类型与最值的关系∀x∈D，f(x)＞M∀x∈D，f(x)min＞M∀x∈D，f(x)＜M∀x∈D，f(x)max＜M∃x0∈D，f(x0)＞M∀x∈D，f(x)max＞M∃x0∈D，f(x0)＜M∀x∈D，f(x)min＜M∀x∈D，f(x)＞g(x)∀x∈D，[f(x)－g(x)]min＞0∀x∈D，f(x)＜g(x)∀x∈D，[f(x)－g(x)]max＜0∀x1∈D1，∀x2∈D2，f(x1)＞g(x2)∀x∈D1，∀x∈D2，f(x)min＞g(x)max不等式类型与最值的关系∀x1∈D1，∃x2∈D2，f(x1)＞g(x2)∀x∈D1，∀x∈D2，f(x)min＞g(x)min∃x1∈D1，∀x2∈D2，f(x1)＞g(x2)∀x∈D1，∀x∈D2，f(x)max＞g(x)max∃x1∈D1，∃x2∈D2，f(x1)＞g(x2)∀x∈D1，∀x∈D2，f(x)max＞g(x)min(续表)

注：上述的大于、小于改为不小于、不大于，相应的与最值对应关系的不等式也改变.如果函数没有最值，那么上述结果可以用函数值域相应的端点值表述.[例1]已知两个函数f(x)＝8x2＋16x－k，g(x)＝2x3＋5x2＋4x，x∈[－3,3]，k∈R.(1)若对∀x∈[－3,3]，都有f(x)≤g(x)成立，求实数k的取值范围；(2)若∃x∈[－3,3]，使得f(x)≤g(x)成立，求实数k的取值范围；(3)若对∀x1，x2∈[－3,3]，都有f(x1)≤g(x2)，求实数k的取值范围.解：(1)设h(x)＝g(x)－f(x)＝2x3－3x2－12x＋k，问题转化为x∈[－3,3]时，h(x)≥0恒成立，即h(x)min≥0，x∈[－3,3].令h′(x)＝6x2－6x－12＝0，得

x＝2或

x＝－1，∵h(－3)＝k－45，h(－1)＝k＋7，h(2)＝k－20，h(3)＝k－9，∴h(x)min＝k－45≥0，得

k≥45.(2)据题意：∃x∈[－3,3]，使f(x)≤g(x)成立，即为h(x)＝g(x)－f(x)≥0在x∈[－3,3]上能成立，∴h(x)max≥0.∴h(x)max＝k＋7≥0，即k≥－7.(3)据题意：f(x)max≤g(x)min，x∈[－3,3]，易得f(x)max＝f(3)＝120－k，g(x)min＝g(－3)＝－21，∴120－k≤－21，得k≥141.[例2](2020年押题导航卷)已知函数f(x)＝ex[x2＋(2a－5)·x－8a＋5](a∈R).(1)若曲线f(x)在点(0，f(0))处的切线与直线x－6y＋1＝0垂直，求实数a的值；(2)当x∈[0,2]时，若不等式f(x)≥2e2恒成立，求实数a的取值范围.解：(1)由f(x)＝ex[x2＋(2a－5)x－8a＋5]得f′(x)＝ex[x2＋(2a－3)x－6a]＝ex(x＋2a)(x－3)，f′(0)＝－6a＝－6，所以a＝1.(2)f′(x)＝ex(x＋2a)(x－3)，x∈[0,2]，令f′(x)＝ex(x＋2a)(x－3)＝0，得x1＝－2a，x2＝3，①当－2a≤0，即a≥0时，f(x)在(0，2)单调递减，依题意则有，f(2)＝－4(a＋1)e2≥2e2成立，②当0<－2a<2，即－1<a<0时，f(x)在(0，－2a)上单调递增，在(－2a，2)上单调递减，【规律方法】已知不等式恒成立(或有解)求参数问题的解法(转化为最值问题)(1)分离参数法：化为

a>f(x)(或

a<f(x))恒成立或有解⇔a>fmax(x)(或a<fmin(x))或a>fmin(x)(或a<fmax(x))(2)直接求最值法：①f(x)>0恒成立(或有解)⇔fmin(x)>0(或fmax(x)>0)②解不等式，求参数的取值范围.[例3](2020年大数据精选模拟卷)已知函数f(x)＝4x2－7 2－x，x∈[0,1]. (1)求f(x)的单调区间和值域；

(2)设a≥1，函数g(x)＝x3－3a2x－2a，x∈[0,1]，若对于任意x1∈[0,1]，总存在x0∈[0,1]，使得g(x0)＝f(x1)成立，求a的取值范围.

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：(2)g′(x)＝3(x2－a2).∵a≥1，当x∈(0,1)时，g′(x)<3(1－a2)≤0，因此当x∈(0,1)时，g(x)为减函数，从而当x∈[0,1]时，有g(x)∈[g(1)，g(0)].又∵g(1)＝1－2a－3a2，g(0)＝－2a，即当x∈[0,1]时，有g(x)∈[1－2a－3a2，－2a].对于任意x1∈[0,1]，f(x1)∈[－4，－3]，存在x0∈[0,1]使得g(x0)＝f(x1)成立，则[1－2a－3a2，－2a]⊇[－4，－3].

【名师点评】(1)求f(x)的值域可以利用导数，也可以利用基本不等式求解；

(2)若对于任意x1∈[0,1]，总存在x0∈[0,1]，使得g(x0)＝f(x1)成立，本质就是函数f(x)的值域是函数g(x)值域的子集.(1)求曲线f(x)在x＝1处的切线方程；(2)讨论函数g(x)的极小值；(3)若对任意的x1∈[－1,0]，总存在x2∈[e,3]，使得f(x1)>g(x2)成立，求实数a的取值范围.解：(1)∵f′(x)＝

x－ex＋(1－x)ex＝x(1－ex)，∴f′(1)＝1－e，即所求切线的斜率为1－e.a<1，又g(x)的定义域为{x|x>0}， ∴当0<a<1时，由g′(x)>0，得0<x<a或x>1.

由g′(x)<0，得a<x<1.∴g(x)在(0，a)上单调递增，在(a,1)上单调递减，在(1，＋∞)单调递增.∴g(x)的极小值为g(1)＝1－a.当a≤0时，由g′(x)>0得x>1，由g′(x)<0得0<x<1，即g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增.g(x)极小值＝g(1)＝1－a.综上，g(x)极小值＝1－a.

(3)对任意的x1∈[－1,0]，总存在x2∈[e,3]，使得f(x1)>g(x2)成立，等价于f(x)在[－1,0]上的最小值大于g(x)在[e,3]上的最小值.

当x1∈[－1,0]时，f′(x)＝x(1－ex)≤0，

f(x)在[－1,0]上单调递减，f(x)min＝f(0)＝1.

由(2)知，g(x)在[e,3]上单调递增，

注：e＝2.71828…为自然对数的底数.

思维点拨：(1)首先求得导函数的解析式，然后结合函数的解析式确