原创2022年《南方新课堂·高考总复习》数学 第三章 第8讲 解三角形应用举例配套课件

第8讲解三角形应用举例课标要求考情分析能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题1.本节复习时应联系生活实例，体会建模，掌握运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本方法.2.加强解三角形及解三角形的实际应用，培养数学建模能力，这也是近几年高考的热点之一已知条件应用定理一般解法

一边和两角(如a，B，C)正弦定理由A＋B＋C＝180°，求角A；由正弦定理求b与c.在有解时只有一解1.解三角形的常见类型及解法在三角形的六个元素中要已知三个(除三个角外)才能求解，常见类型及其解法如下表所示：已知条件应用定理一般解法

两边和夹角(如a，b，C)余弦定理正弦定理由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出角A或B；再由A＋B＋C＝180°求另一角.在有解时只有一解

三边(a，b，c)余弦定理由余弦定理求角A，B；再由A＋B＋C＝180°求角C.在有解时只有一解(续表)已知条件应用定理一般解法两边和其中一 边的对角

(如a，b，A)正弦定理余弦定理由正弦定理求角B；再由A＋B＋C＝180°，求角C；再利用正弦定理或余弦定理求c.可有两解、一解或无解(续表)2.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题等.

3.实际问题中的常用角

(1)仰角和俯角： 与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方的角叫做仰角，目标视线在水平视线下方的角叫做俯角[如图3-8-1(1)].(1)(2)图3-8-1(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等.(3)方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α[如图3-8-1(2)].(4)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数.题组一走出误区1.(多选题)下列命题不正确的是()

A.从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°

C.方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系

D.方位角大小的范围是[0，2π)，方向角大小的范围一般是答案：AB

题组二走进教材

2.(必修5P11例1改编)如图3-8-2，某河段的两岸可视为平行，在河段的一岸边选取两点A，B，观察对岸的点C，测得∠CAB＝75°，∠CBA＝45°，且AB＝200m.则A，C两点的距离为()图3-8-2答案：A

3.(必修5P19

第4题改编)江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距()

解析：如图D22，过炮台顶点A作水平面的垂线，垂足为B.设A处测得船C，D的俯角分别为45°，30°，连接BC，BD.在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，则AB＝BC＝30m.在Rt△ABD

图D22答案：D题组三真题展现

4.(2014年四川)如图3-8-3，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度是60m，则河流的宽度BC＝()图3-8-3答案：C

5.(2019年北京)如图3-8-4，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，∠APB是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为()图3-8-4A.4β＋4cosβC.2β＋2cosβB.4β＋4sinβD.2β＋2sinβ

解析：观察图D23可知，当P为优弧AB的中点时，阴影部分的面积S取最大值， 此时∠BOP＝∠AOP＝π－β，面积S的最图D232sinβ＋2sinβ＝4β＋4sinβ.

故选B.

答案：B考点1测量距离问题自主练习

1.(2018年宁夏银川一中月考)如图3-8-5，设A，B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是m，∠BAC＝α，∠ACB＝β，则A，B两点间的距离为()

图3-8-5＝，故选C.A.msinα

sinβB.

msinαsin(α＋β)C.

msinβsin(α＋β)D.

msin(α＋β)sinα＋sinβ解析：∠ABC＝π－(α＋β)，由正弦定理得

ABsinβ＝

ACsin∠ABC，∴AB＝

m·sinβmsinβsin[π－(α＋β)]sin(α＋β)答案：C

2.海洋蓝洞是罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞.若要测量如图3-8-6所示的海洋蓝洞的口径(即A，B两点间的距离)，现取两点C，D，测得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则图中海洋蓝洞的口径为________.图3-8-6解析：由已知得，在△ACD中,∠ACD＝15°,∠ADC＝150°，所以∠DAC＝15°，

在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，所以∠DBC＝30°，由正弦定理

CDsin∠CBD＝

BCsin∠BDC，在△ABC中，由余弦定理，

3.(2017年江西赣州模拟)如图3-8-7，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为()图3-8-7解析：由题意，可知∠BDC＝90°－45°＝45°，又∠BCD＝90°，∴BC＝CD＝40(海里).在△ADC中，∠ADC＝105°，∠ACD＝90°－60°＝30°，∴∠DAC＝45°.由正弦定理，在△ABC中，由余弦定理，得答案：A【题后反思】(1)利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的模型.(2)利用正弦、余弦定理解出所需要的边和角，求得该数学模型的解.考点2测量高度问题师生互动

[例1](1)(2015年湖北)如图3-8-8，一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝_____m.

图3-8-8

(2)(2014年全国Ⅰ)如图3-8-9，为测量山高MN，选择点A和另一座山的山顶C为测量观测点.从点A测得点M的仰角为∠MAN＝60°,点C的仰角为∠CAB＝45°，以及∠MAC＝75°；从点C测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100m，则山高MN＝________m.图3-8-9解析：根据题意得，在△ABC中,已知∠CAB＝45°,∠ABC

答案：150【题后反思】(1)测量高度时，要准确理解仰角、俯角的概念.(2)分清已知量和待求量，分析(画出)示意图，明确在哪个三角形内运用正弦或余弦定理.【考法全练】

(2017年河南郑州模拟)在地平面上有一旗杆OP(O在地面)，为了测得它的高度h，在地平面上取一基线AB，测得其长为20m，在A处测得P点的仰角为30°，在B处测得P点的仰角为45°，又测得∠AOB＝30°，则旗杆的高h等于_______.

解析：如图D24及根据题意有∠PAO＝30°,∠PBO＝45°，AB＝20，AO＝

h，BO＝，在hABO中，利用余弦定理求得h＝20(m).图D24答案：20m

考点3测量角度问题多维探究

[例2]如图3-8-10，在海岸A

处发现北偏东45°方向，距A追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜.问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间.

图3-8-10

思维点拨：根据题意在图中标注已知条件，先使用余弦定理求BC，再使用正弦定理求角度.

解：设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，则CD＝10t海里，BD＝10t海里，在△ABC中，由余弦定理，有

∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分种.

【规律方法】角度问题的解题方法 首先应明确方位角的含义，在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步，通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点.

提醒：方向角是相对于某点而言的，因此确定方向角时，首先要弄清是哪一点的方向角.【考法全练】(2019年山东泰安模拟)如图

3-8-11，A，B是海面上两个固海里的D处有一定观测站，现位于B点南偏东45°且相距5艘轮船发出求救信号.此时在A处观测到D位于其北偏东30°处，位于A北偏西30°且与A相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？

图3-8-11在△ACD中，由余弦定理可得

∴CD＝30(海里).

又救援船的速度为30海里/小时，所以救援船到达D点所需时间为1小时.⊙解三角形中的最值问题[例3](2018年河南郑州检测)在△ABC中，内角

A，B，C(1)求角A；(2)求cosB＋cosC的最大值；(3)若b＋c＝1，求实数a的取值范围；(4)求b＋c a的取值范围；

换一角度理解，显然当S△ABC取最大值时，对b，c要求相同，因此必有b＝c.

图3-8-12【策略指导】三角函数中最值(或范围)问题△ABC中，若已知角C及其对边c.(1)可用“化角”的方法求形如a＋b＝

csinc(sinA＋sinB)的式子的取值范围；

(2)可用余弦定理得含有a＋b、ab及a2＋b2的等式，再利用均值定理化为以a＋b或ab为变量的不等式求得a＋b或ab的最值，从而可得三角形周长或面积的最值