将军饮马问题 -

课题学习：最短路径2021/5/91看图思考：为什么有的人会经常践踏草地呢？绿地里本没有路，走的人多了……禁止践踏两点之间，线段最短爱护草坪连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短2021/5/92将军饮马问题：

将军每天骑马从城堡A出发，到城堡B，途中马要到小溪边饮水一次。将军问怎样走路程最短？这就是被称为"将军饮马"而广为流传的问题。2021/5/93P两点之间线段最短.根据：BA(一)两点在一条直线两侧例1.如图：古希腊一位将军骑马从城堡A到城堡B，途中马要到小溪边饮水一次。问将军怎样走路程最短？最短路线：将军饮马：A---P---B.2021/5/94

例2.如图：一位将军骑马从城堡A到城堡B，

途中马要到河边饮水一次，

问：这位将军怎样走路程最短？AB河两点在一条直线同侧(二)一次轴对称：2021/5/95BAB’C例2作法：（1）作点B关于直线MN

的对称点B’（2）连结B’A，交MN于点C；

所以点C就是所求的点．MN两点在一条直线同侧(二)一次轴对称：2021/5/96∴BC+AC

<BC’+AC’，即AC+BC最小．NABCB'C'∵直线MN是点B、B’的对称轴，

点C、C’在对称轴上，∴BC=B’C，BC’=B’C’．在MN

上任取另一点C’，连结BC、BC’、AC’、

B’C’．例2证明：在△AB’C’中，AB’<

AC’+B’C’，∴BC+AC

=B’C+AC

=

B’A．M∴BC’+AC’=B’C’+AC’两点在一条直线同侧(二)一次轴对称：2021/5/97例2变式1：已知：P、Q是△ABC的边AB、

AC上的点，你能在BC上确定一点R，

使△PQR的周长最短吗？两点在一条直线同侧(二)一次轴对称：2021/5/98.....例3已知如图和内一点,(三)二次轴对称：一点在两相交直线内部求作:OM上一点B,ON上一点C,使AB+BC+AC最小作法（1）作点A关于OM、ON的对称点A’、A”2021/5/99草地河边.驻地A例3.如图：一位将军骑马从驻地A出发，先牵马去草地

OM吃草，再牵马去河边ON喝水，最后回到驻地A，问：这位将军怎样走路程最短？OMN(三)二次轴对称：一点在两相交直线内部2021/5/910例3变式1：已知P是△ABC的边BC上的点，你能在AB、AC上分别确定一点Q和R，

使△PQR的周长最短吗？(三)二次轴对称：一点在两相交直线内部2021/5/911例4：如图，A为马厩，B为帐篷，将军某一天要

从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，

再到河边饮马，然后回到帐篷，

请你帮助确定这一天的最短路线。（四）二次轴对称：两点在两相交直线内部2021/5/912例4答案：如图,A是马厩,B为帐篷,牧马人某一天要从马厩牵出马,先到草地边某一处牧马,再到河边饮马,然后回到帐篷.请你帮他确定这一天的最短路线.ABA′B′CD（四）二次轴对称：两点在两相交直线内部2021/5/913......（四）二次轴对称：两点在两相交直线内部例4变式1：已知：MON和MON内两点A、B。求作：点C和点D,使得点C在OM上，点D在ON上，且AC+CD+BD+AB最短。2021/5/914例4变式2：如图，OMCN是矩形的台球桌面，有黑、白两球分别位于B、A两点的位置上，

试问怎样撞击白球，使白球A依次碰撞球台边OM、ON后，反弹击中黑球？（四）二次轴对称：两点在两相交直线内部2021/5/915......AA'BB'CDMON例4变式2：（四）二次轴对称：两点在两相交直线内部2021/5/916（2）把A，B在直线同侧的问题转化为

在直线的两侧，化折线为直线，将军饮马的实质：（3）可利用“两点之间线段最短”

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