2024届新高考一轮复习湘教版 8-9 抛物线及其性质 学案

第九节抛物线及其性质【课标标准】1.掌握抛物线的定义、几何图形和标准方程.2.掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点).3.了解抛物线的简单应用．必备知识·夯实双基知识梳理1.抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离________的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的________，直线l叫做抛物线的________.2．抛物线的标准方程和简单几何性质标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0，0)对称轴x轴y轴范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R焦点________________________________离心率e＝1准线方程________________________________夯实双基1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．()(2)抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心.()(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．()(4)抛物线的方程都是二次函数．()2．(教材改编)已知抛物线的焦点坐标为(0，12)，则该抛物线的标准方程为(A．y2＝2x B．y2＝xC．x2＝2y D．x2＝－2y3．(教材改编)抛物线y2＝12x上与焦点的距离等于6的点的坐标是________．4．(易错)抛物线y＝－14x2的焦点坐标是(A．(0，－116) B．(－116，C．(0，－1) D．(－1，0)5．(易错)顶点在原点，且过点P(－2，3)的抛物线的标准方程是________．关键能力·题型突破题型一抛物线的定义及其应用例1(1)动圆与定圆A：(x＋2)2＋y2＝1外切，且和直线x＝1相切，则动圆圆心的轨迹是()A．直线 B．椭圆C．双曲线 D．抛物线(2)[2023·河南郑州模拟]抛物线C：y2＝16x的焦点为F，点M在C上，|MF|＝12，则M到y轴的距离是()A．4B．8C．10D．12(3)[2023·江西赣州模拟]已知直线mx－y＋1－2m＝0恒过定点A，抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点坐标为F(1，0)，P为抛物线E上的动点，则|PA|＋|PF|的最小值为()A．1B．2C．3D．4[听课记录]题后师说抛物线定义的应用策略巩固训练1(1)[2023·河北张家口期末]已知M(x0，y0)是拋物线C：y2＝2px(p>0)上一点，F是C的焦点，y0＝|MF|＝6，则p＝()A．2B．3C．6D．9(2)[2023·广东广州模拟]已知点P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点M(0，3)的距离与P到y轴的距离之和的最小值为________．题型二抛物线的标准方程例2分别根据下列条件，求抛物线的标准方程．(1)准线方程是4y＋1＝0；(2)抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点；(3)抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，|AF|＝5.[听课记录]题后师说求抛物线标准方程的常用方法巩固训练2(1)[2023·安徽蚌埠期末]设抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(2，m)到y轴的距离是到焦点距离的一半，则抛物线的标准方程为()A．y2＝2x B．y2＝4xC．y2＝8x D．y2＝16x(2)顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点的抛物线的标准方程为()A．x2＝－12y或y2＝16xB．x2＝12y或y2＝－16xC．x2＝9y或y2＝12xD．x2＝－9y或y2＝－12x(3)一个正三角形的两个顶点在抛物线y2＝ax上，另一个顶点是坐标原点，如果这个三角形的面积为363，则该抛物线的标准方程为________.题型三抛物线的几何性质例3(1)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，A为C上一点，且|AF|＝5，O为坐标原点，则△OAF的面积为()A．2 B．5C．23 D．4(2)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，垂足为A，如果△APF是边长为4的正三角形，那么此抛物线的焦点坐标为________，点P的横坐标xp＝________．[听课记录]题后师说(1)涉及抛物线上的点到直线的距离或到准线的距离时，常可相互转化．(2)应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了用数形结合思想解题的直观性．巩固训练3(1)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，点P在C上，直线PF与y轴交于点M，且PF＝2FM，则点P到准线l的距离为()A．3 B．4C．5 D．6(2)[2023·广东佛山模拟]已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线方程为x＝－12，若C上有一点A位于第一象限，且点A到抛物线焦点的距离为52，则点A的坐标为真题展台1.[2022·全国乙卷]设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3，0)，若|AF|＝|BF|，则|AB|＝()A．2 B．22C．3 D．322．[2021·新高考Ⅰ卷]已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP，若|FQ|＝6，则C的准线方程为____________.3．[2021·新高考Ⅱ卷]抛物线y2＝2px(p>0)的焦点到直线y＝x＋1的距离为2，则p＝()A．1 B．2C．22 D．4第九节抛物线及其性质必备知识·夯实双基知识梳理1．相等焦点准线2．F(p2，0)F(－p2，0)F(0，p2)F(0，－p2)x＝－p2x＝p2y夯实双基1．(1)×(2)√(3)×(4)×2．解析：由题意可设抛物线方程为x2＝2py(p＞0)，则p2＝12，得p∴抛物线的标准方程为x2＝2y.故选C.答案：C3．解析：抛物线y2＝12x的准线方程为x＝－3.∵抛物线y2＝12x上的点到焦点的距离等于6，∴根据抛物线上的点到焦点的距离等于点到准线的距离，可得所求点的横坐标为3，代入抛物线方程，可得y2＝36，∴y＝±6，即所求点的坐标为(3，6)或(3，－6)．故答案为(3，6)或(3，－6)．答案：(3，6)或(3，－6)4．解析：抛物线的标准方程为x2＝－4y，故抛物线开口向下，焦点在y轴的负半轴上，∴焦点坐标为(0，－1)．故选C.答案：C5．解析：设抛物线的标准方程为y2＝kx或x2＝my，代入点P(－2，3)，解得k＝－92，m＝43，所以y2＝－92x或x2＝答案：y2＝－92x或x2＝4关键能力·题型突破例1解析：(1)设动圆的圆心为C，则C到定圆A：(x＋2)2＋y2＝1的圆心的距离等于动圆的半径r＋1，而动圆的圆心到直线x＝1的距离等于r，所以动圆圆心到直线x＝2的距离为r＋1，根据抛物线的定义知，动圆的圆心轨迹为抛物线．故选D.(2)抛物线C：y2＝16x的准线方程为x＝－4.设M(x0，y0)，由抛物线的定义知：|MF|＝12，即x0＋4＝12，即x0＝8，所以M到y轴的距离是8.故选B.(3)方程mx－y＋1－2m＝0可化为y－1＝m(x－2)，所以直线mx－y＋1－2m＝0恒过定点A(2，1).因为抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点坐标为F(1，0)，所以p2＝1，即p＝2所以y2＝4x.过点P作PP1⊥准线x＝－1，垂足为P1，则|PP1|＝|PF|，过点A作AA1⊥准线x＝－1，垂足为A1，所以|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PP1|≥|AA1|＝3，当且仅当A，P，A1三点共线时取等号，所以|PA|＋|PF|的最小值为3.故选C.答案：(1)D(2)B(3)C巩固训练1解析：(1)由定义|MF|＝x0＋p2＝y0＝6，又y02＝36＝2所以36＝2p(6－p2)，解得p＝故选C.(2)由抛物线y2＝4x可知其焦点为F(1，0)，由抛物线的定义可知|PF|＝xP＋1，故点P到点M(0，3)的距离与P到y轴的距离之和为|PM|＋xP＝|PM|＋|PF|－1≥|MF|－1＝1+32－1＝即点P到点(0，3)的距离与P到y轴的距离之和的最小值为1.答案：(1)C(2)1例2解析：(1)准线方程为y＝－14，所以抛物线开口向上，且p2＝得p＝12，所以抛物线方程是x2＝y(2)双曲线方程x29-y216＝1，左顶点为(所以抛物线的焦点为(－3，0)，抛物线的开口向左，p2＝3，p＝6所以抛物线方程是y2＝－12x.(3)设抛物线方程y2＝2px(p>0)，当y＝－3时，x＝92p|AF|＝92p+p2＝5，即p2－10p＋9＝0，解得p＝1或抛物线方程为y2＝2x或y2＝18x.设抛物线方程y2＝－2px(p>0)，当y＝－3时，x＝－92p|AF|＝92p+p2＝5，解得p＝1或抛物线方程为y2＝－2x或y2＝－18x.综上可知，抛物线方程为y2＝±2x或y2＝±18x.巩固训练2解析：(1)点P(2，m)到y轴的距离是到焦点距离的一半，因为点P到y轴的距离为2，所以点P到焦点距离为4，由抛物线的定义得2＋p2＝4，所以p＝4，所以抛物线的标准方程为y2＝8x故选C.(2)对于直线方程3x－4y－12＝0，令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4，所以抛物线的焦点为(0，－3)或(4，0)．当焦点为(0，－3)时，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则p2＝3，所以p＝6此时抛物线的标准方程为x2＝－12y.当焦点为(4，0)时，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则p2＝4，所以p＝8此时抛物线的标准方程为y2＝16x.故所求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝16x.故选A.(3)设正三角形边长为x.由三角形的面积公式得363＝12x2sin60°，解得：x＝由抛物线的对称性可知，正三角形在抛物线上的两点关于x轴对称，则当a>0时，三角形的一个顶点坐标为(63，6)，代入y2＝ax得a＝23；当a<0时，三角形的一个顶点坐标为(－63，6)，代入y2＝ax得a＝－23.综上，a＝±23.所以抛物线的标准方程为y2＝±23x.答案：(1)C(2)A(3)y2＝±23x例3解析：(1)F(1，0)，设A(m，n)，则|AF|＝m＋1＝5，∴m＝4，∴n＝±4，∴S△AOF＝12×1×4＝故选A.(2)如图所示：设P(y022p，y0)，则|PA|＝又在Rt△AMF中，∠AFM＝∠FAP＝60°，故tan∠AFM＝AMMF＝y0p＝3联立①②式，得p＝2，|y0|＝23.故焦点坐标为(1，0)，点P的横坐标为xp＝y02答案：(1)A(2)(1，0)3巩固训练3解析：(1)由抛物线C：y2＝4x，可知F(1，0)，即|OF|＝1(O为坐标原点)，过点P作y轴的垂线，垂足为N，由三角形相似可知OFPN＝FMPM＝所以|PN|＝3|FO|＝3.所以点P到准线l的距离为4.故选B.(2)因为抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线方程为x＝－12∴－p2＝－12，即p＝∴C：y2＝2x，又点A到抛物线焦点的距离为52∴xA＋12＝52，即xA＝2，又点A∴yA2＝2×2，yA＝2，即A(2，答案：(1)B(2)(2，2)真题展台——知道高考考什么？1．解析：由已知条件，易知抛物线y2＝4x的焦点为