经济数学基础（第六版）（上册）课件 第13讲3.4函数的极值

经济数学基础辅导第13讲顾静相3.4

函数的极值教学要求

理解函数极值的概念；

掌握求函数极值的方法．函数极值的定义

定义3.1设函数

y=f(x)在点

x0的某个邻域内有定义．(1)如果对该邻域内任意的

x(x

x0)，总有

f(x)<f(x0)，则称

f(x0)为函数

f(x)的极大值，并且称点x0为

f(x)的极大值点；函数极值的定义

定义3.1设函数

y=f(x)在点

x0的某个邻域内有定义．(1)如果对该邻域内任意的

x(x

x0)，总有

f(x)<f(x0)，则称

f(x0)为函数

f(x)的极大值，并且称点x0为

f(x)的极大值点；(2)如果对该邻域内任意的

x(x

x0)，总有

f(x)>f(x0)，则称

f(x0)为函数

f(x)的极小值，并且称

点x0为

f(x)的极小值点．

函数的极大值与极小值统称为函数的极值，极大值点与极小值点统称为极值点．函数极值的概念

函数

f(x)在

x1，x4两点处取得极大值，而在x2，x5两点处取得极小值，其中极大值

f(x1)小于极小值

f(x5)．o

a

x1x2x3

x4

x5

by=f(x)yx函数极值的概念

函数

f(x)在

x1，x4两点处取得极大值，而在x2，x5两点处取得极小值，其中极大值

f(x1)小于极小值

f(x5)．o

a

x1x2x3

x4

x5

by=f(x)yx

在函数的极值点处，曲线或者有水平切线，如

f

(x1)=0,f

(x5)=0，或者切线不存在，如在点x2,x4处

f

(x)不存在．但是，有水平切线的点不一定是极值点，如点

x3．由此可知，极值点应该在导数为

0或导数不存在的点中寻找．极值点的必要条件

定理3.5如果

f(x)在点

x0处取得极值且在

x0处可导，则

f

(x0)=0

．极值点的必要条件

定理3.5如果

f(x)在点

x0处取得极值且在

x0处可导，则

f

(x0)=0

．

几何意义：如果函数

y=f(x)在点

x0处具有极值，且曲线

y=f(x)在点

(x0,f(x0))处有不垂直于

x轴的切线，则该切线平行于

x轴．

使

f

(x0)=0的点，称为函数

f(x)的驻点．极值点的必要条件注意：1.可导函数

f

(x0)=0是点

x0为极值点的必要条件，但不是充分条件．也就是说，使

f

(x0)=0成立的点（驻点）并不一定是极值点，例如

f(x)=x3的驻点

x0=0不是它的极值点．极值点的必要条件注意：1.可导函数

f

(x0)=0是点

x0为极值点的必要条件，但不是充分条件．也就是说，使f

(x0)=0成立的点（驻点）并不一定是极值点，例如

f(x)=x3的驻点

x0=0不是它的极值点．2.使

f

(x)不存在的点

x0可能是函数

f(x)

的极值点，也可能不是极值点，如,

，显然

f

(0)不存在，但在

x0=0处却取得极小值

f(0)=0．极值点的第一判别法

定理3.6设函数

f(x)在点

x0的邻域内连续且可导

(允许

f

(x0)不存在)，当x由小增大经过x0点时，若

(1)f

(x)由正变负，则x0是极大值点；(2)f

(x)由负变正，则x0是极小值点；(3)f

(x)不改变符号，则x0不是极值点.极值点的第一判别法

定理3.6设函数

f(x)在点

x0的邻域内连续且可导

(允许

f

(x0)不存在)，当x由小增大经过x0点时，若

(1)f

(x)由正变负，则x0是极大值点；(2)f

(x)由负变正，则x0是极小值点；(3)f

(x)不改变符号，则x0不是极值点.

极值点第一判别法通常叫做极值存在的充分条件．求函数极值的步骤（1）确定函数

f(x)的定义域，并求其导数f

(x)；（2）解方程

f

(x)=0，求出

f(x)在其定义域内的所有驻点；

（3）找出

f(x)的连续但导数不存在的所有点；（4）讨论

f

(x)在驻点和不可导点的左、右两侧附近符号变化的情况，确定函数的极值点；（5）求出极值点所对应的函数值（极大值和极小值）．用第一判别法求函数极值例1求函数

的极值．用第一判别法求函数极值例1求函数

的极值．解（1）函数

f(x)的定义域为(-∞,+∞)，且

；（2）令

f

(x)=0，得驻点

x1=0，x2=1；（3）该函数没有导数不存在的点；（4）驻点将定义域分成三个子区间

(-∞,0),

(0,1),(1,+∞)．用第一判别法求函数极值解……

驻点将定义域分成三个子区间

(-∞,0),

(0,1),(1,+∞)．

当x

(-∞,0)时，f

(x)>0；

当x

(0,1)时，f

(x)<0；所以

x1=0是

f(x)的极大值点，极大值是f(0)=2；

又当

x

(0,1)时，f

(x)<0；

当

x

(1,+∞)时，f

(x)<0；所以

x2=1不是

f(x)的极值点．用第一判别法求函数极值例2求函数

的极值．用第一判别法求函数极值例2求函数

的极值．解（1）函数

f(x)的定义域为(-∞,+∞)，且

；（2）令

f

(x)=0，得驻点

x1=8；（3）f

(x)在点

x2=0处不存在；（4）导数不存在点

x2=0和驻点

x1=8，将定义域分成三个子区间

(-∞,0),(0,8),(8,+∞)．用第一判别法求函数极值解……

导数不存在点

x2=0和驻点

x1=8，将定义域分成三个子区间

(-∞,0),(0,8),(8,+∞)．

当

x

(-∞,0)时，f

(x)<0；

当

x

(0,8)时，f

(x)>0；所以

x2=0是函数

f(x)的极小值点，极小值是

f(0)=0．

又当

x

(0,8)时，f

(x)>0；

当

x

(8,+∞)时，f

(x)<0；所以

x1=8是

f(x)的极大值点，极大值是

f(8)=4.极值点的第二判别法

定理3.7设函数

f(x)在点

x0处具有二阶导数，且

f

(x0)=0，

（1）若

f

(x0)<0，则函数

f(x)在点

x0处取得极大值；

（2）若

f

(x0)>0，则函数

f(x)在点

x0处取得极小值

（2）若

f

(x0)=0，则不能判断

f(x0)是否是极值．极值点的第二判别法

极值点第二判别法也是极值存在的充分条件，它表明在函数

f(x)的驻点

x0处，若二阶导数

f

(x0)

0，那么该驻点一定是极值点，可以用

f

(x0)的符号判定

f(x0)是极大值还是极小值.

若二阶导数

f

(x0)=0，那么该驻点是否为极值点还要用第一判别法进行判别．用第二判别法求函数极值例3求函数

的极值．用第二判别法求函数极值例3求函数

的极值．解

函数

f(x)的定义域为(-∞,+∞)，且

；令

f

(x)=0，得驻点

x1=1，

，x3=-1；该函数没有导数不存在的点．用第二判别法求函数极值例3求函数

的极值．解……因为

，，所以

x1=1是

f(x)的极小值点，极小值是

f(1)=0；

是

f(x)的极大值点，极大值是

．用第二判别法求函数极值解……

由于

，不能用第二判别法判别

x3=-1是否为极值点．改用第一判别法，

当

x

(-∞,-1)时，f

(x)>0；

而当

时，f

(x)>0；故由第一判别法可知，x3=-1不是

f(x)的极值点．最大值、最小值及其求法

因此，求连续函数

f(x)在闭区间

[a,b]上的最大值和最小值，只需分别求出

f(x)在其驻点、导数不存在的点以及端点

a,b处的函数值．这些函数值中的最大者就是函数在

[a,b]上的最大值，最小者就是函数在

[a,b]上的最小值．最大值、最小值及其求法

当

x0

[a,b]是

f(x)的最大值点或最小值点时，那么对任意的

x

[a,b]，都有

f(x0)≥

f(x)，或

f(x0)≤

f(x)．

也就是说，最大值、最小值是对整个区间而言的，它可能在区间的内点取得（则它必是极值点），也可能在区间的端点取得．最大值、最小值及其求法例4求函数

在区间[-4,4]上的最大值和最小值．最大值、最小值及其求法例4求函数

在区间[-4,4]上的最大值和最小值．解

因为