平面与平面平行

8.5.3

平面与平面平行第八章立体几何初步问题1

两个平面平行可以通过定义来判断，即通过两个平面没有公共点而得到两个平面平行．由于平面的无限延展，很难去判断平面与平面是否有公共点，因此很难直接利用定义判断．数学中的“定义”都是充要条件，类似于研究直线与平面平行的判定那样，平面与平面平行的判定，是否有更简便的方法？一、探究两个平面平行的判定定理问题2

平面内的直线有无数多条，我们难以对所有直线逐一检验，能否将“一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面”中的“任意一条直线”减少，得到更简便的方法？一、探究两个平面平行的判定定理追问1

减少到一条可以吗？为什么？在如图所示的长方体中，A1B1在平面A1B1BA内，A1B1//平面ABCD，但平面A1B1BA与平面ABCD相交．追问2

根据基本事实的推论2，3，两条平行直线或两条相交直线都可以确定一个平面．由此可以想到，由“一个平面内的两条平行直线与另一个平面平行”和“一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行”，能否判断这两个平面平行？用语言和符号表示你的结论．一、探究两个平面平行的判定定理观察—探究如图（1），a，b分别是矩形硬纸片的两条对边所在直线，它们都和桌面平行．请观察硬纸片与桌面一定平行吗？如图（2），c，d分别是三角尺的两条边所在直线，它们都和桌面平行，请观察这个三角尺与桌面平行吗？你能从中总结出判定平面与平面平行的方法吗？GGB动画素材演示一、探究两个平面平行的判定定理平面与平面平行的判定定理一、探究两个平面平行的判定定理图形表示：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．αabPβ符号表示：线面平行面面平行转化，a∥α，b∥α

β∥α．

为什么不能用“一个平面内的两条平行直线平行于另一个平面”判断两个平面平行，而可以用“一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面”判断两个平面平行？联想平面向量基本定理，你能对面面平行判定定理做出进一步解释吗？

平面内的两条相交直线代表两个不共线向量，而平面内的任意向量可以表示为它们的线性组合，从而平面内的两条相交直线可以“代表”这个平面上的任意一条直线；而两条平行直线所表示的向量是共线的，用它们不能“表示”这个平面上的任意一条直线．平面与平面平行的判定定理的深入理解一、探究两个平面平行的判定定理问题3

在实际生活中，工人师傅将水平仪在桌面上交叉放置两次，如果水平仪的气泡两次都在中央，就能判断桌面是水平的，你能说明这么做的道理吗？二、应用定理，熟练掌握例1

如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1．求证：平面AB1D1//平面BC1D．

二、应用定理，熟练掌握看到要证明的结论，你能想到用什么方法？平面AB1D1和平面BC1D哪个平面中的两条相交直线平行另一个平面？又怎样证明一条直线平行于一个平面呢？二、应用定理，熟练掌握例1

如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1．求证：平面AB1D1//平面BC1D．

证明：因为ABCD-A1B1C1D1为正方体，∴．∴．∴四边形D1C1BA为平行四边形．∴D1A∥C1B．又

D1A平面BC1D，C1B平面BC1D，∴D1A∥平面BC1D．同理D1B1∥平面BC1D．又D1A∩D1B1＝D1，∴平面AB1D1//平面BC1D．

问题4

下面我们研究平面与平面平行的性质．类比直线与平面平行的研究，已知两个平面平行，我们可以得到哪些结论？三、探究并证明两个平面平行的性质定理如果两个平面平行，那么：（1）一个平面内的直线必平行另一个平面；（2）一个平面内的直线与另一个平面内的直线没有公共点，它们或者是异面直线，或者是平行直线．在分别位于两个平行平面内的直线中，平行是一种特殊情况，什么时候这两条直线平行呢？三、探究并证明两个平面平行的性质定理在如图所示的长方体中，平面A′C′与平面AC平行，在平面AC内过点D有平行于直线B′D′的直线吗？如果有，怎样画出这条直线？由直线B′D′和点D可以确定一个平面，这个平面也是平行直线DD′和BB′确定的平面，它与平面AC有唯一过点D的公共直线BD，直线BD与直线B′D′都在直线B′D′和点D确定平面内，且没有公共点，所以BD∥B′D′．图形表示：两个平面平行，如果一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行．符号表示：面面平行线性平行转化你能证明该性质定理吗？三、探究并证明两个平面平行的性质定理平面与平面平行的判定定理α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝ba∥b．

例2

求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等．四、应用定理，熟练掌握如图，α∥β，AB∥CD，且A∈α，C∈α，B∈β，D∈β．求证：AB＝CD．在本题条件下，要证明AB＝CD，你想到了什么？构造平行四边形．AB与CD是一个平行四边形的一组对边，那么另一组对边怎么构造呢？题目的条件如何使用？过平行线AB，CD作平面γ，与平面α和β分别相交于AC和BD．例2

求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等．四、应用定理，熟练掌握如图，α∥β，AB∥CD，且A∈α，C∈α，B∈β，D∈β．求证：AB＝CD．证明：过平行线AB，CD作平面γ，与平面α和β分别相交于AC和BD．∵α∥β，

∴BD∥AC．又AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．∴AB＝CD．五、巩固练习1．在描述箭头的括号处填上适当的词．2．教科书第142页练习第1，2，3题．（1）平面与平面平行的判定定理和性质定理分别是什么？利用它们分别可以证明什么样的命题？（2）在平面与平面平行的判定定理的探究中，为什么可以将“一个平面内任意一条直线平行于另一个平面，则两个平面平行”，转化为“一个平面内两条相交直线平行于另一个平面，则两个平面平行”？（3）回顾直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行的学习，你能发现什么规律吗？六、归纳小结教科书第143页练习第4题．教科书习题8.5第8题．七、布置作业目标检测1．如图，在三棱锥P-ABC中，D，E，F，R分别是棱PA，PB，PC，AB上的点，且平面DEF∥平面A