垂径定理 省赛获奖

24.1.2垂径定理1.理解圆的轴对称性。2.掌握垂径定理及推论，能用垂径定理及其推论进行有关计算和证明，进一步应用垂径定理解决实际问题。3.学习中通过对比理解垂径定理及其推论，应用中将实际问题转化为数学问题，培养建模思想和提高分析问题、解决问题的能力。学习目标：问题：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？实践探究把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．活动一如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？?思考活动二·OABCDE（1）是轴对称图形．直径CD所在的直线是它的对称轴（2）线段：AE=BE

把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，ＡＣ和ＢＣ重合，ＡＤ和ＢＤ重合．AA⌒⌒弧：ＡＣ＝ＢＣ，ＡＤ＝ＢＤ⌒⌒⌒⌒⌒⌒直径ＣＤ平分弦ＡＢ，并且平分ＡＢ及ＡＣＢ⌒⌒·OABCDE垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．即ＡＥ＝ＢＥＡＤ＝ＢＤ，ＡＣ＝ＢＣ⌒⌒⌒⌒思考：平分弦的直径垂直于这条弦吗？

CD⊥AB,

CD是直径

AE=BE可推得⌒⌒

AC=BC,⌒⌒

AD=BD.平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.BADCOE平分弦的直径垂直于弦（）CDBAO1.被平分的弦不是直径2.被平分的弦是直径

AB不是直径AM=BM,CD是直径

CD⊥AB可推得CD⊥AB,CD是直径AM=BMAC=BC,⌒⌒AD=BD.⌒⌒可推得ＤＣＡＢMＯ垂径定理：垂径定理的推论：

AB不是直径AC=BC,⌒⌒AD=BD.⌒⌒几何语言表达BADCOABDOABDOABCDO图1ABCDO图2OABCD图3图4图5图6ＥＥＥＥＥ下列哪些图形可以用垂径定理，你能说明理由吗？辨别是非练习2、按图填空：在⊙O中，（1）若MN⊥AB，MN为直径，则________，________，________；（2）若AC＝BC，MN为直径，AB不是直径，则________，________，________；（3）若MN⊥AB，AC＝BC，则________，________，________；（4）若AN=BN，MN为直径，则________，________，________．ＡＢNMCＯ⌒⌒判断下列说法的正误①平分弧的直径必平分弧所对的弦②平分弦的直线必垂直弦③垂直于弦的直径平分这条弦④平分弦的直径垂直于这条弦

⑤弦的垂直平分线一定经过圆心⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦

⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，必平分此弦所对的弧辨别是非37.4米7.2米

1300多年前,我国隋朝建的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为37.4m,拱高为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m).BODACR解决求赵州桥拱半径的问题例1.如图，用ＡＢ表示主桥拱，设ＡＢ所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与AB相交于点D，根据前面的结论，D是AB的中点，C是ＡＢ的中点，CD就是拱高．⌒⌒⌒.AEBO.AEBOF思路：（由）垂径定理——构造Rt△——

（结合）勾股定理——建立方程构造Rt△的“七字口诀”：

半径半弦弦心距1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．·OABE活动三2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．D·OABCE3.在直径是20cm的中，∠AOB的度数是，那么弦AB的弦心距是

.⊙O垂径定理的应用1.弓形的弦长为6cm，弓形的高为2cm，则这弓形所在的圆的半径为

.2.已知：P为内一点，且OP＝2cm，如果的半径是那么过P点的最短的弦等于

.⊙O⊙O已知：⊙O的半径为5,弦AB∥CD，AB=6，CD=8.求：AB与CD间的距离思考

1.在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，若油面宽AB=600mm，求油的最大深度.600练习ABCDP2.已知：如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于P，且∠APC=45°,AP=5,PB=1求CD的长E4.已知：如图，在同心圆O中，大⊙O的弦AB交小⊙O于C,D两点求证：AC=DBE某地有一座圆弧形拱桥圆心