2023人教版·文科数学新课标高考总复习专项演练：第十一章 概率 11-2高考数学考点难点分析

11-2A组专项基础训练(时间：45分钟)1．(2015·全国卷Ⅰ)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为()A.eq\f(3,10)B.eq\f(1,5)C.eq\f(1,10)D.eq\f(1,20)【解析】列举出所有结果，并分析其中的勾股数，根据古典概型求解．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果：(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，其中勾股数只有(3，4，5)，所以概率为eq\f(1,10).故选C.【答案】C2．甲乙两人一起去游泰山，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是()A.eq\f(1,36)B.eq\f(1,9)C.eq\f(5,36)D.eq\f(1,6)【解析】最后一个景点甲有6种选法，乙有6种选法，共有36种，他们选择相同的景点有6种，所以P＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6)，所以选D.【答案】D3．(2015·广东)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为()A.eq\f(5,21)B.eq\f(10,21)C.eq\f(11,21)D．1【解析】根据古典概型的概率公式求解．从15个球中任取2个球共有Ceq\o\al(2,15)种取法，其中有1个红球，1个白球的情况有Ceq\o\al(1,10)·Ceq\o\al(1,5)＝50(种)，所以P＝eq\f(50,Ceq\o\al(2,15))＝eq\f(10,21).【答案】B4．(2014·江西)掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于()A.eq\f(1,18)B.eq\f(1,9)C.eq\f(1,6)D.eq\f(1,12)【解析】掷两颗骰子，点数有以下情况：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共36种，其中点数之和为5的有(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，共4种，故所求概率为eq\f(4,36)＝eq\f(1,9).【答案】B5．连掷两次骰子分别得到点数m、n，则向量(m，n)与向量(－1，1)的夹角θ>90°的概率是()A.eq\f(5,12)B.eq\f(7,12)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,2)【解析】∵(m，n)·(－1，1)＝－m＋n<0，∴m>n.基本事件总共有6×6＝36(个)，符合要求的有(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，…，(5，4)，(6，1)，…，(6，5)，共1＋2＋3＋4＋5＝15(个)．∴P＝eq\f(15,36)＝eq\f(5,12)，故选A.【答案】A6．若A、B为互斥事件，P(A)＝0.4，P(A∪B)＝0.7，则P(B)＝________．【解析】因为A、B为互斥事件，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，故P(B)＝P(A∪B)－P(A)＝0.7－0.4＝0.3.【答案】0.37．(2014·江苏)从1，2，3，6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是________．【解析】取两个数的所有情况有：{1，2}，{1，3}，{1，6}，{2，3}，{2，6}，{3，6}，共6种情况．乘积为6的情况有：{1，6}，{2，3}，共2种情况．所求事件的概率为eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).【答案】eq\f(1,3)8．(2014·南昌二模)用两种不同的颜色给图中三个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，则相邻两个矩形涂不同颜色的概率是________．【解析】由于只有两种颜色，不妨将其设为1和2，若只用一种颜色有111；222.若用两种颜色有122；212；221；211；121；112.所以基本事件共有8种．又相邻颜色各不相同的有2种，故所求概率为eq\f(1,4).【答案】eq\f(1,4)9．(2014·济南模拟)设连续掷两次骰子得到的点数分别为m，n，令平面向量a＝(m，n)，b＝(1，－3)．(1)求使得事件“a⊥b”发生的概率；(2)求使得事件“|a|≤|b|”发生的概率．【解析】(1)由题意知，m∈{1，2，3，4，5，6}，n∈{1，2，3，4，5，6}，故(m，n)所有可能的取法共36种．a⊥b，即m－3n＝0，即m＝3n，共有2种：(3，1)，(6，2)，所以事件a⊥b的概率为eq\f(2,36)＝eq\f(1,18).(2)|a|≤|b|，即m2＋n2≤10，共有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)6种，其概率为eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).10．(2015·天津)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数．(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．①用所给编号列出所有可能的结果；②设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A发生的概率．【解析】(1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3，1，2.(2)①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15种．②编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共9种．因此，事件A发生的概率P(A)＝eq\f(9,15)＝eq\f(3,5).B组专项能力提升(时间：25分钟)11．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于()A.eq\f(1,10)B.eq\f(1,8)C.eq\f(1,6)D.eq\f(1,5)【解析】如图所示，从正六边形ABCDEF的6个顶点中随机选4个顶点，可以看作随机选2个顶点，剩下的4个顶点构成四边形，有A、B，A、C，A、D，A、E，A、F，B、C，B、D，B、E，B、F，C、D，C、E，C、F，D、E，D、F，E、F，共15种．若要构成矩形，只要选相对顶点即可，有A、D，B、E，C、F，共3种，故其概率为eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).【答案】D12．(2014·湖北)随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1，点数之和大于5的概率记为p2，点数之和为偶数的概率记为p3，则()A．p1＜p2＜p3B．p2＜p1＜p3C．p1＜p3＜p2D．p3＜p1＜p2【解析】随机掷两枚质地均匀的骰子，所有可能的结果共有36种．事件“向上的点数之和不超过5”包含的基本事件有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(4，1)共10种，其概率p1＝eq\f(10,36)＝eq\f(5,18).事件“向上的点数之和大于5”与“向上的点数之和不超过5”是对立事件，所以“向上的点数之和大于5”的概率p2＝eq\f(13,18).因为朝上的点数之和不是奇数就是偶数，所以“点数之和为偶数”的概率p3＝eq\f(1,2).故p1＜p3＜p2.【答案】C13．(2015·南昌二模)2014年3月8日发生的马来西亚航空公司MH370失联事件，引起了全世界人们长达数周的密切关注．为了消除人们对航空安全的担忧，某航空公司决定对该公司所属的波音777­200，波音777­300，空客A350，空客A380四架客机进行集中安全大检查．若检测人员分两周对客机进行全方位的检测，每周检测两架客机，则波音777­200，波音777­300两架客机在同一周被检测的概率为()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,6)【解析】设波音777­200，波音777­300，空客A350，空客A380四架客机分别记为A，B，C，D，检测人员分两周对客机进行全方位的检测，每周检测两架客机基本事件是：(A，B；C，D)，(A，C；B，D)，(A，D；B，C)；(B，C；A，D)，(B，D；A，C)，(C，D；A，B)，共6种．其中波音777­200，波音777­300两架客机在同一周被检测即(A，B；C，D)，(C，D；A，B)，共2种，所以波音777­200，波音777­300两架客机在同一周被检测的概率为P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).【答案】B14．(2014·课标全国Ⅰ)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________．【解析】所有的基本事件共有Aeq\o\al(3,3)＝6个，2本数学相邻的排法有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)＝4种．故2本数学书相邻的概率为eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).【答案】eq\f(2,3)15．(2015·四川)一辆小客车上有5个座位，其座位号为1，2，3，4，5.乘客P1，P2，P3，P4，P5的座位号分别为1，2，3，4，5，他们按照座位号从小到大的顺序先后上车．乘客P1因身体原因没有坐自己的1号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就座：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位；如果自己的座位已有乘客就座，就在这5个座位的剩余空位中任意选择座位．(1)若乘客P1坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4种坐法．下表给出了其中两种坐法，请填入