2021年广东省湛江某高级中学高考数学模拟试卷

2021年广东省湛江第二高级中学高考数学模拟试卷(3月

份)

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分)

1.已知集合4={0,2,4},B=[y\y=2x,xeA),则力nB=()

A.[0,2,4}B.{4}C.{2,4}D.{0.1,2,4)

2.设命题p：x2+2x-3<0q：-5<x<1,则命题p成立是命题g成立的()条

件.

A.充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既不充分也不必要

3.已知X=2。"，y=lg|,Z=(|)°”,则下列结论正确的是()

A.x<y<zB.y<z<xC.z<y<xD.z<x<y

4,已知三棱锥P-ABC的底面ABC是边长为2的等边三角形，PA_L平面A8C,且PA=2,

则该三棱锥外接球的表面积为()

A.等B.20兀C.487rD.等

33

5.设{an}为等比数列，{匕}为等差数列，且方为数列{%}的前n项和.若a2=1,旬。=

16且=b6,贝US]]=()

A.20B.30C.44D.88

6.(%—1)。-2)7的展开式中”的系数为()

A.14B.28C.70D.98

7.将函数y=2sin(|x+号)图象上所有点的横坐标缩短为原来的5纵坐标不变，再

向右平移之个单位长度，得到函数y=g。)的图象，则下列说法正确的是()

A.函数g(x)的一条对称轴是x=3

B.函数g(x)的一个对称中心是©,0)

C.函数g(x)的一条对称轴是x=三

D.函数g(x)的一个对称中心是/,0)

8.如图所示，直线/为双曲线C：接一'=1缶〉0/>0）的一条渐近线，&,尸2是

双曲线C的左、右焦点，居关于直线/的对称点为FJ且居'是以尸2为圆心，以半焦

距c为半径的圆上的一点，则双曲线C的离心率为（）

A.V2

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9.2020年的“金九银十”变成“铜九铁十”，全国各地房价“跳水”严重，但某地

二手房交易却“逆市”而行.下图是该地某小区2019年12月至2020年12月间，当

月在售二手房均价（单位：万元/平方米）的散点图.（图中月份代码1〜13分别对应

2019年12月〜2020年12月）

1.00•,

0.98*,

0.96.

0.94

OI2345678910II1213〃份代码*

根据散点图选择y=a+和y=c+由nx两个模型进行拟合，经过数据处理得到

的两个回归方程分别为y=0,9369+0.0285正和y=0.9554+0.0306）X，并得到

以下一些统计量的值：

y=0.9369+0.0285V%y=0.9554+0.0306/nx

R20.9230.973

注：受是样本数据中x的平均数，亍是样本数据中y的平均数，则下列说法正确的是

（）

A.当月在售二手房均价y与月份代码x呈负相关关系

2021

B.由y=09369+0.0285a预测年3月在售二手房均价约为1.0509万元/平

方米

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C.曲线y=0.9369+0.0285y与y=0.9554+0.0306比x都经过点(％y)

D.模型丫=0.9554+0.0306/nx回归曲线的拟合效果比模型y=0.9369+

0.02854的好

10.下列命题中，真命题的是()

A.若z为实数，则W=zB.若』=2,则z为实数

C.若Z为实数，则W.Z为实数D.若，z为实数，则Z为实数

11.抛物线/=4y的焦点为尸，A,B是抛物线上两动点，P(2,2)是平面内一定点，下

列说法正确的有()

A,准线方程为x=-1

B.若一用+\BF\=8,则线段AB中点到x轴为3

C.A4PF的周长的最小值为遮+3

D.以线段A8为直径的圆与准线相切

12.已知函数丫=/(x)在R上可导且f(0)=1,其导函数尸(x)满足(x+1)/。)一

/(x)]>0,对于函数g(x)=詈，下列结论正确的是()

A.函数g(x)在(一8,-1)上为增函数

B.x=-1是函数g(x)的极小值点

C.函数g(x)必有2个零点

D.e2/(e)>eef(2)

三、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.已知函数/(x)=2*-2-x,则不等式/(2x+1)+/(I)>0的解集是

14.在直角三角形ABC中，ZC=90°,AB=4,AC=2,若而=|南，贝|丽・

CB=•

7.sina

15.右aG7T(-,7r),cos2cr=—,则江西G=____.

ZZDoi1,\2

16.红外线自动测温门能有效避免测温者与被测温者的近距离接触，降低潜在的病毒感

染风险，为防控新冠肺炎，某厂生产的红外线自动测温门，其测量体温误差服从正

态分布N(0.1,0.32),从已经生产出的测温门中随机取出一件，则其测量体温误差在

区间(0.4,0.7)内的概率为.(附:若随机变量§服从正态分布NO，/),则p(〃_

<T<f<〃+cr)=68.27%,P(〃—2cr<f<〃+2a)=95.45%)

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.设各项都是正整数的无穷数列｛5｝满足：对任意neN*,有a”<记b=aan.

(1)若数列｛an｝是首项的=1,公比q=2的等比数列，求数列｛3｝的通项公式；

(2)若%=3n,证明：a1=2；

(3)若数列｛a.｝的首项的=1,cn=a即+i，｛d｝是公差为1的等差数列.记%=

n

—2-an,Sn=d]+dz4---Fdn_i+dn，问：使%+n•2"+i>50成立的最小正

整数〃是否存在？并说明理由.

18.在AABC中，a,h,c分别为角A,B,C对边，且△ABC同时满足下列四个条件中

的三个：①a?+c2=b2——ac.②1+cos2A=2sin2[；③a=遮；④b=2.

32

(1)满足△4BC有解的序号组合有哪些？

(2)在(1)的组合中任选一组，求△力BC的面积.

19.在一段时间内，分5次测得某种商品的价格万元)和需求量y(t)之间的一组数据为:

12345

价格X1.41.61.822.2

需求量y1210753

已知£i=D=62,目=i靖=16.6.

(1)求出y对x的线性回归方程；

(2)如价格定为1.9万元，预测需求量大约是多少？(精确到O.Olt).

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参考公式：小需署，a="技

20.如图，在四棱锥P-4BCD中，底面ABC。是边长为2

的正方形，KBAP=乙BCP=90°,

(1)证明：PDABCD；

(2)若直线8。与平面尸8c所成的角为30。，求二面角/--------------%

D-PB-C的大小.

21.已知椭圆G：冬+《=i(a>b>0)的离心率为多经过点B(0,l).设椭圆G的右顶

点为4,过原点。的直线/与椭圆G交于P,。两点(点。在第一象限)，且与线段

AB交于点M.

(I)求椭圆G的标准方程；

(II)是否存在直线/,使得ABOP的面积是△BMQ的面积的3倍？若存在，求直线/

的方程；若不存在，请说明理由.

22.已知QGR,函数f(%)=(—%2+ax)-ex.

(l)a=2时，求函数/(%)的单调区间；

(2)若函数/(%)在(-1,1)上单调递增，求〃的取值范围.

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答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：B={1,4,16}；

AC\B={4}.

故选：B.

可求出集合B,然后进行交集的运算即可.

考查描述法、列举法的定义，元素与集合的关系，以及交集的运算.

2.【答案】A

【解析】解：命题p：x2+2x—3<0,解得一3<x<1.

又q：—5<x<1,

则命题p成立是命题q成立的充分不必要条件.

故选：A.

命题p：x2+2x-3<0,解得一3cx<1.即可判断出命题p与q关系.

本题考查了一元二次不等式的解法、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属

于中档题.

3.【答案】B

【解析】解：•••20-4>2°=1,lg|<Igl=0,0<(|)0-4<(|)°=1,

•­y<z<x,

故选：B.

由2a4>i」g|<0,0<(|产<i,可得出x,y,z的大小关系.

本题考查了指数值和对数值大小的比较，考查了计算能力，属于基础题.

4.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查的知识要点：面面垂直的判定，勾股定理的应用，球心的确定，球的表面积公

式的应用，属于中档题.

由于球中球心与球的小圆圆心的连线垂直于这个小圆，利用PA也垂直于这个小圆，即

可利用球心与小圆圆心建立起直角三角形，d=00'=1PA=1,根据题意可求出r是

底面三角形的外接圆的半径，利用d=7^二二/计算R即可，最后即可求出球的表面积.

【解析】

解：如图，PA_L平面A8C,连结尸。，延长至圆上交于H,

过。作007/P4交平面A2C于0',

则△PAH为Rt△,二。为斜边P”的中点，

为APAH的中位线，0'为小圆圆心，则。'为A”的中点

则丝=吧='

7JPAAH2

O'H=AO'=-V22-l2=00'=\PA=1,

332

则球的半径R=0H=V00'2+0'"2=+t=叵,

733

球的表面积为4TTR2=等.

故选：D.

5.【答案】C

【解析】解：设等比数列｛时｝的公比为q,由。2=1，%0=16,

得勺8=署=16,得q2=2.

•,«06==4,06—66=4,

又％为等差数列｛,｝的前〃项和，

Sil==llb6=44.

故选：C.

设等比数列｛%｝的公比为%由。2=1，臼0=16列式求得q2,进一步求出。6,可得生，

再由等差数列的前〃项和公式求解

本题考查等差数列与等比数列的通项公式及性质，训练了等差数列前“项和的求法，是

中档题.

6.【答案】D

【解析】解：(x-l)(x-2)7=x(x-2)7-(%-2)7

故展开式中d的系数为好•(一2/一1.C尹(-2)=98,

故选：D.

把(x-2)7按照二项式定理展开，可得(尤-l)(x-2)7的展开式中”的系数.

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本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基

础题.

7.【答案】C

【解析】解：将函数y=2sm(fx+?)图象上所有点的横坐标缩短为原来的;，

可得y=2sin(2x+空)的图象，

然后纵坐标不变，再向右平移g个单位长度，

得到函数y=g(x)=2sin(2x-4-^)=2cos2x的图象，

令x=求得g(X)=o，

可得C，0)是g(x)的一个对称中心，故排除4

令x=1，求得g(x)=_l,

可得X是g(x)的图象的一条对称轴，故排除8,故C正确；

令“会求得g(x)=VL可得#=之不是g(x)的图象的对称中心，故排除。，

故选：C.

利用诱导公式、函数y=4§沅(3刀+9)的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的图象的

对称性，判断各个选项是否正确，从而得出结论.

本题主要考查诱导公式、函数y=4sin(3x+s)的图象变换规律，以及正弦函数、余弦

函数的图象的对称性，属于基础题.

8.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查了双曲线的简单性质，点的对称问题，考查了运算能力和转化能力，属于中档

题.

先求出点F/的坐标，再根据&'是以尸2为圆心，以半焦距c为半径的圆上的一点，可得

(QfQ-。)2+(-警-0)2=C2,整理化简即可求出•

【解答】

解：直线/为双曲线C：接-3=1(£1>0/>0)的一条渐近线，则直线/为3/=、，

•••F1，尸2是双曲线C的左、右焦点，

•••Fi(-c,0),五2。0),

•••&关于直线/的对称点为设FJ为(x,y),

.y_ay+obx-c

■•-----—-.”■,

x+cb2a2

解得％=匕之lab

22

「f,b-a2ab、

•••FJ是以尸2为圆心，以半焦距C为半径的圆上的一点,

22、八、

二(,b--7a--C/2+./(--2a-b-0)2=C2,

整理可得4a2=c2,

即2Q=c,

£=2,

a

故选：C.

9.【答案】BD

【解析】

【分析】

直接由散点图判断A；取x=16求得y值判断8；分别写出两回归方程所过样本点的中

心判断C：由对应的相关指数的平方判断D.

本题考查散点图，考查两随机变量间的关系的应用，是基础题.

【解答】

解：由散点图可知，y随x的增加而增加，故A错误；

2021年3月，此时x=16,代入J=09369+0.0285正，求得L0509,故8正确；

曲线y=0.9369+0.0285a经过点(我.亍＞曲线y=0.9554+0.0306mx经过点Qn%,y)，

故C错误；

因为0.973＞0.923,所以模型;=09554+0.03062nx回归曲线的拟合效果比模型;=

0.9369+0.0285百的好，故£＞正确.

故选：BD.

10.【答案】ABC

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【解析】解：对于A,设2=。+儿，因为z为实数，所以b=0,于是z=a-bi=a,

为实数，所以A对；

对于8,设2=。+儿，贝Uz=a—bi,因为z=z,所以b=—b,于是b=0,所以z为

实数，所以8对；

对于C,因为z为实数，由A知W=z,所以W-z=z2为实数，所以C对；

对于。，举反例，令z=l+i,则z=l—i，所以z-z=2,即z-z为实数，但z不为实

数，所以。错.

故选：ABC.

分别用复数的基本概念和基本运算判断即可.

本题以命题真假判断为载体，考查了复数的基本概念，属于基础题.

11.【答案】BC

由抛物线的定义可得|4F|=|44'|,则|AP|+|4F12PAi=3,当且仅当P,A,A'三点

共线时，取得等号，

所以△APF的周长的最小值为|PF|+\PA'\=6+3，故C正确；

因为点A,B没有任何条件限制条件，可以是抛物线上任意两点，

所以以线段AB为直径的圆与准线不一定相切，故。错误.

故选：BC.

求得抛物线的准线方程，可判断A;由抛物线的定义和中点坐标公式，可判断8；由抛

物线的定义和三点共线取得最值的性质，可判断G由于A，B两点不确定，可判断。.

本题考查抛物线的定义、方程和性质，以及直线和抛物线的位置关系，考查方程思想和

运算能力，属于中档题.

12.【答案】BD

【解析】

【分析】

本题考查了导数与函数单调性的关系，函数极值与零点个数判断，函数单调性应用，属

于中档题.

利用导数判断g(x)的单调性，再根据极小值和单调性判断即可.

【解答】

解：。，⑺二7膂，

•.-(%+l)［//(x)-/(x)］>0.

.•.当x<-l时，f(x)-/(x)<0；当%>-1时，f(x)-/(x)>0,

二当x<-1时，g'(x)<0；当三>—1时,g'(x)>0,

・•・g(x)在(一8,-1)上单调递减，在(一1,+8)上单调递增，故A错误；

由上述可知x=-1是g(x)的极小值点，故8正确；

g(x)的极小值为g(—l)=e/(-l),

故当或-1)>0时，g(x)没有零点，故C错误；

由g(x)在(一1,+8)上单调递增可得g(2)<g(e),即曾<等，

•••ee/(2)<e2/(e),故。正确.

故选：BD.

13.【答案】［-1,+8)

【解析】解：根据题意，函数=2,一2-x,有/(—x)=2T-2X=-(2X-2-x)=

-/(%),则函数/(x)为奇函数，

又由/''(%)=2xln2+2-xln2=(2Z+2-x)ln2>0,函数/(x)在/?上为增函数；

f(2x+1)+/(I)>0=>f(2x+1)>-/(l)=f(2x+1)>/(-I)=2x+12-1,

解可得x>-1；

即不等式的解集为［-1,+8),

故答案为：［-1,+8)

根据题意，分析可得函数/(X)为奇函数且在R上为增函数，进而可以将/(2x+l)+

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/■(I)>0转化为/(2x+1)>/(—1)即2x+1>-1,解可得x的取值范围，即可得答案.

本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，注意分析函数f(x)的奇偶性与单调性.

14.【答案】18

【解析】解：在直角三角形ABC中，4c=90。，AB=4,

AC1

cos/.CAB=――=-

AB2

若而=|丽，则CD-CB=(AD-AC)■(AB-AC)

23232

=AD-AB-AD-AC-AC-ABAC=-AB--AB-AC-AC-ABAC

22

351

=-xl6--x4x2x-+4=18

222

故答案为：18.

在直角三角形ABC中，求得再由向量的加减运算，运用平面向量

基本定理，结合向量数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，化简计算即可得

到所求值.

本题考查向量的加减运算和数量积的定义和性质，主要是向量的平方即为模的平方，考

查运算能力，属于中档题.

15.【答案】4：

222

【解析】解：因为a£6，初cos2a=看cosa-sinal-tana

cos2a+sin2a1+tan2a'

整理可得taMa=I可得tcma=-：

164

.sinasina43

mi——=--=—tana=-

人」sin(詈+a)-cosa4-

故答案为：

4

利用二倍角的余弦公式，同角三角函数基本关系式化简己知可求tana的值，利用诱导公

式，同角三角函数基本关系式化简所求即可得解.

本题主要考查了二倍角的余弦公式，同角三角函数基本关系式，诱导公式在三角函数化

简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题.

16.【答案】13.59%

【解析】解：由红外线自动测温门测量体温误差服从正态分布N(0.1,0.32),

得4=0.1,a=0.3.

・•・测量体温误差在区间(040.7)内的概率为：

P(0.4<f<0.7)=P(〃4-a<fV〃+2a)=1[P(〃-2crVf<〃+2t7)—PQi—a<

f</z+a)]=13.59%.

故答案为：13.59%.

由已知可得正态分布曲线的对称轴，结合。与2。原则求解测量体温误差在区间(0.407)

内的概率.

本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量〃和。的应

用，考查曲线的对称性，属于基础题.

17.【答案】解：(1”.•数列｛册｝是首项的=1,公比q=2的等比数列，

n

A

an—2t，

。]=%==2-1

b=a1，bn=aan=a2n-12；

(2)根据反证法排除的=1和%>3.

证明:假设的H2,a1=1和%>3

①当的=时，瓦=.与瓦=矛盾，•,的

1aal=%=13・W1；

②当的>时，即的又九<

3>3=br=aal,aan+1,

・,・&<1与%>3矛盾；

由①②可知%=2.

(3)首先｛册｝是公差为1的等差数列，

证明如下：.

・・Qn<Qn+l，

时,

•••n>2an_i<an,

ClnNQyi-1+1,

-an>am+(n-m)(m<n)，

aa-(即+即

'Qa^+i+l-an+l+[n+l+1D]7+1-CnNan+1-Qn,

由题设1之册+1-anf

又见

i+i-an>1,

a—

•••n+inn=1»

即是等差数列.

｛an｝

又的首项的=

｛an｝1,

=Zl»

几n对此式两边乘以得

:.Sn=—(2+2,+3・2^+…+.2),2,2sli=——2,2^—

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3-24-----n-2n+1

两式相减得Sn=2+22+23+…+2”-n•2n+1=2n+1-n-2n+1-2S„+n-2n+1=

2n+1-2,+n-2n+1>50,

即2n+i>52,

当nN5时，2n+1=64>52,即存在最小正整数5使得%+展2"i>50成立.

【解析】本题考查数列的通项与求和，掌握等差数列与等比数列的通项与求和是关键,

属于中档题.

(1)利用等比数列的通项公式求出即=2"T,再求数列｛%｝的通项公式；

(2)根据反证法排除的=1和%23,即可证明：的=2；

(3)首先｛5｝是公差为1的等差数列，an=n,再利用错位相减法，即可得出结论.

18.【答案】解：(1)由条件①得cosB=30=—2acxL=—^,

J2ac32ac3

由条件②得1+2COS2A-1=1—cosA,即2cos2力+cosA-1=0,

解得cos4=1或cos4=-1(舍去)，因为A6(0,几)，所以4=%

因为cosB=——<--=cos—,且B6(0,7T),

而y=cos%在(0,7T)单调递减，所以等<B<71,

所以4+8>g+与=7T,与4+8<7T矛盾，

所以△不能同时满足①②，

当①③④作为条件时：有炉=+c2—2QCCOSB,即C2+2C=1,解得C=&-1,

所以△ABC有解，

当②③④作为条件时，有急=高，即,=高，解得S讥8=1，

2

因为BG(0,7r),

所以8=壬△ABC为直角三角形,

所以△ABC有解，

综上所述，满足有解三角形的所有组合为：①③④或②③④；

(2)若选择组合①③④，因为Be(0,兀)，

所以sinB=V1—cos2S=J］一(弟2=

所以△ABC的面积S=-acsinB=-xV3x(V2—1)x—=上史，

22vy32

若选择组合②③④，因为B=5，

所以C=J22-(V3)21，

所以△4BC的面积S=-x1xV3=—•

22

【解析】(1)利用余弦定理由条件①得cos8=—乌由条件②得4=或由于4+8＞升

3J3

y=7T,与A+B＜兀矛盾，所以△48C不能同时满足①②，

经验证①③④作为条件和②③④作为条件，△4BC都有解，

(2)若选择组合①③④，由cosB计算出sinB,再利用三角形面积公式即可求出结果，

若选择组合②③④，因为8=3利用勾股定理求出。的值，再利用三角形面积公式即

可求出结果.

本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的运用，考差了考生的计算能力和解

决问题的能力，是中档题.

19.【答案】解：(I)、•以=式1.4+1.6+1.8+2+2.2)=1.8,

y=^(12+10+7+5+3)=7.4,

£i=i%i%=62,左=1"=166

.b=_62-5x1.8x7.4__1]

*,一辞-5?—16.6-5X1.82—一''

a=y—bx=7.4+11.5x1,8=28.17

故)，对X的线性回归方程为y=28.1-11.5x：

(2)当x=1.9时，

y=28.1-11.5x1.9=6.25(f).

故价格定为1.9万元时，预测需求量大约是6.25(t).

【解析】本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是中档题.

(1)由已知表格中的数据求得匕与;的值，则线性回归方程可求；

(2)在(1)中求得的回归方程中，取％=1.9求得y值即可.

20.【答案】证明：(1)由4BCO为正方形，可得|

BC1CD,p

又乙BCP=90°,•••BC1CP,/；

/I\

又CDClCP=C,BC1平面PCD,/!\

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而PDu平面PC。，•••BC1PD,

同理可得B41PD,而B4nBC=B,

PD平面ABCD；

解：（2）以。为坐标原点，分别以D4,DC,OP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐

标系.

设DP=a(a>0),则4(2,0,0),8(2,2,0),C(0,2,0),P(0,0,a),

BC=(-2,0,0),CP=(0,-2,a).DB=(2,2,0),

设平面P8C的一个法向量为沅=(与41/1),

m-BC-2xi-0,取Z]=2,得记-(0,a,2)；

则

jn-CP=—2y1+az1=0

由直线8。与平面PBC所成的角为30。，

可得s讥30。=黑鬻/，解得a=2,则前=（0,0,2），

设平面PBD的一个法向量为记=（x2,y2,z2）,

:募I,Lo'取=f得元=(T1，O).

由

一一»mn21

cos<m,n>=——=厂厂=一

|7n|-|n|2yf2-y/22

由图可知二面角。-PB-C为锐二面角，则二面角D-PB-C的大小为最

【解析】（1）由ABCD为正方形，可得BCJ.CD,再由4BCP=90。，得BC_LCP,由直

线与平面垂直的判定可得BC，平面PC。，得到BC1PD,同理可得EALPD,再由直

线与平面垂直的判定得PDJ•平面ABCD；

（2）以。为坐标原点，分别以D4,DC,QP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

设DP=a（a>0）