2024版高中同步新教材选择性必修第一册（人教A版）数学 第一章 空间向量与立体几何 空间直角坐标系 空间向量运算的坐标表示

第一章空间向量与立体几何1.3空间向量及其运算的坐标表示1.3.1空间直角坐标系1.3.2空间向量运算的坐标表示基础过关练题组一空间向量的坐标表示1.(多选题)(2023湖北黄冈红安一中月考)在空间直角坐标系Oxyz中,以下结论正确的是()A.点A(1,3,-4)关于x轴的对称点的坐标为(-1,-3,4)B.点P(-1,2,3)关于Oxy平面对称的点的坐标是(-1,2,-3)C.设i,j,k分别是x,y,z轴正方向上的单位向量,若m=3i-2j+4k,则m=(3,-2,4)D.M(-1,1,2),N(1,3,3)两点间的距离为32.(2023河南郑州登封月考)已知点P(2,3,-1)关于坐标平面Oxy的对称点为P1,点P1关于坐标平面Oyz的对称点为P2,点P2关于z轴的对称点为P3,则点P3的坐标为.

3.(2023湖北荆门一中月考)在三棱锥P-ABC中,∠ABC=90°,PB⊥平面ABC,AB=BC=PB=2,M,N分别是PC,AC的中点,建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz,则线段MN的中点坐标为.

题组二空间向量运算的坐标表示4.(2023北京首师大附属密云中学月考)已知向量a=(3,5,-1),b=(2,2,3),则向量2a-3b的坐标为()A.(0,4,-11)B.(12,16,7)C.(0,16,-7)D.(12,16,-7)5.(2022河北任丘第一中学月考)设O为坐标原点,M(5,-1,2),A(4,2,-1),若OM=AB,则点B的坐标为(A.(-1,3,-3)B.(9,1,1)C.(1,-3,3)D.(-9,-1,-1)6.(2022河北石家庄第四中学月考)已知点A,B,C,D的坐标分别为(0,1,2),(1,2,3),(1,3,1),(x,5,3),且A,B,C,D四点共面,则x=.

7.若向量a=(1,1,2),b=(1,2,1),c=(1,1,1),则(c-a)·2b=.

题组三利用空间向量的坐标运算解决平行和垂直问题8.(2022吉林长春外国语学校月考)如果A(1,5,-1),B(2,4,1),C(a,3,b+2)三点共线,那么a-b=()A.1B.2C.3D.49.(多选题)(2023湖南怀化月考)已知空间中三点A(2,1,-1),B(1,0,2),C(0,3,-1),则()A.|AB|=11B.ABC.cos∠ABC=1119D.A,B,C10.在△ABC中,∠C=90°,A(1,2,-3k),B(-2,1,0),C(4,0,-2k),则k=()A.10C.25D.±1011.(2023辽宁省实验中学月考)已知OA=(1,2,3),OB=(2,λ,3),OC=(4,2,k),若OA⊥平面ABC,则λ+k的值是()A.412.(2022天津河东期中)已知AB=(-2,3,5),AC=(4,1,a),AD=(6,b,-2).(1)若四边形ABCD为平行四边形,求实数a,b的值;(2)若四边形ABCD的对角线互相垂直,求实数a,b满足的关系式.题组四利用空间向量的坐标运算求夹角和模13.若向量a=(1,-2,3),b=(-2,3,-1),则|a+2b|=()A.27B.5C.2614.(2023河南郑州中学月考)若△ABC的三个顶点分别为A(0,0,2),B−32,12,2,C(-1,0,15.(2022重庆万州第二高级中学月考)已知点A(1,2,1),B(-1,3,4),D(1,1,1),若AP=2PB,则|PD|=16.(2023吉林长春外国语学校月考)已知空间向量a=(2,4,-2),b=(-1,0,2),c=(x,2,-1).(1)若a∥c,求|c|;(2)若b⊥c,求cos<a,c>的值.17.已知正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AB1⊥BC1,点O,O1分别是边AC,A1C1的中点,建立如图所示的空间直角坐标系.(1)求正三棱柱的侧棱长;(2)求异面直线AB1与BC所成角的余弦值.

能力提升练 题组一空间向量的坐标运算1.(2023广东佛山南海中学月考)已知空间向量a=(2,-1,2),b=(1,-2,1),则向量b在向量a上的投影向量是()A.43,−23,43B.C.23,−43,23D.(12.(2023河南许昌高级中学月考)已知a=(cosα,-1,sinα),b=(sinα,-1,cosα),则向量a+b与a-b的夹角为()A.90°B.60°C.30°D.0°3.(2022河南濮阳范县一中月考)已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),若向量a+kb与2a+b所成的角为锐角,则实数k的取值范围为.

题组二利用空间向量的坐标运算解决平行和垂直问题4.(2022福建A佳大联考)已知空间向量m=(-1,x,2),n=(1,3,y),其中x>0,y>0,若m⊥n,则xy的最大值是()A.65.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是CD,CC1的中点,则直线A1M与DN的位置关系是()A.平行B.垂直C.异面垂直D.异面不垂直6.(2022广东东莞四中期中)已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为BC的中点,N为侧面DCC1D1内的动点(包括边界),若MN⊥A1C,则三棱锥N-AA1D的体积的最小值为()A.17.(多选题)(2022湖北黄冈麻城二中期中)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,点P在侧面BCC1B1上运动(包括边界),并且总是保持AP⊥BD1,则以下结论正确的是()A.VB.点P必在线段B1C上C.AP⊥BC1D.AP∥平面A1C1D题组三空间向量的夹角和模的问题8.(2023广东肇庆鼎湖中学月考)如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是侧面ADD1A1上的一个动点(包括边界),满足BC1·BM=1,则BA.30°B.45°C.60°D.75°9.(2022山东省实验中学月考)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=π2,AB=AC=AA1=1,G,E分别为A1B1,CC1的中点,D,F分别为线段AC,AB上的动点(不包括端点),若GD⊥EF,则线段DF的长度的取值范围为()A.5C.210.(2022河北石家庄十七中月考)设全体空间向量组成的集合为V,a=(a1,a2,a3)为V中的一个单位向量,现建立一个“自变量”是向量,“因变量”也是向量的“向量函数”f(x):f(x)=-x+2(x·a)a,x∈V.(1)设u=(1,0,0),v=−12,0,−32,若f(u)=(2)对于V中的任意单位向量x,求|f(x)-x|的最大值和此时x和a的夹角.11.(2020山西太原五中月考,)如图,以棱长为1的正方体的三条共顶点的棱所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系Oxyz,点P在线段AB上,点Q在线段DC上.(1)当|PB|=2|AP|,且点P关于y轴的对称点为M时,求|PM|;(2)当点P是AB的中点,点Q在DC上运动时,探究|PQ|的最小值.

答案与分层梯度式解析第一章空间向量与立体几何1.3空间向量及其运算的坐标表示1.3.1空间直角坐标系1.3.2空间向量运算的坐标表示基础过关练1.BCD4.A5.B8.B9.AB10.D11.D13.C1.BCD点A(1,3,-4)关于x轴的对称点的坐标为(1,-3,4),故A错误;点P(-1,2,3)关于Oxy平面对称的点的坐标为(-1,2,-3),故B正确;易知C正确;M(-1,1,2),N(1,3,3)两点间的距离为(1+1)2+(3−1)2故选BCD.2.答案(2,-3,1)解析点P(2,3,-1)关于坐标平面Oxy的对称点P1的坐标为(2,3,1),点P1关于坐标平面Oyz的对称点P2的坐标为(-2,3,1),所以点P2关于z轴的对称点P3的坐标为(2,-3,1).3.答案1解析由题意可得A(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2),所以M(0,1,1),N(1,1,0),则线段MN的中点坐标为124.A由题意可得2a-3b=(6,10,-2)-(6,6,9)=(0,4,-11).故选A.5.B设B(x,y,z),由OM=AB得(5,-1,2)=(x-4,y-2,z+1),∴x−4=5,y−2=−1,z+1=2,∴x=9,y=1,z=1.6.答案3解析由A,B,C,D四点共面,知∃λ,μ∈R,使得AB=易得AB=(1,1,1),AC=(1,2,-1),AD=(x,4,1),故λ7.答案-2解析易得c-a=(0,0,-1),2b=(2,4,2),∴(c-a)·2b=0+0-2=-2.8.B∵A(1,5,-1),B(2,4,1),C(a,3,b+2)三点共线,∴AB=λBC,即(1,-1,2)=λ(a-2,-1,b+1),∴λ=1,λ(a−2)=1,λ9.AB根据题意,可得AB=(-1,-1,3),AC=(-2,2,0),BC=(-1,3,-3).对于A,|AB|=1+1+9=11,A正确;对于B,AB·AC=2-2+0=0,则AB⊥AC,B正确;对于C,cos∠ABC=cos<BA,BC>=BA·BC|BA||BC|=−1+3+911×1910.D由题意得CB=(-6,1,2k),CA=(-3,2,-k).∵∠C=90°,∴CB·CA=-6×(-3)+1×2+2k×(-k)=-2k2+20=0,∴k=±10.11.D易得AB=(1,λ-2,0),AC=(3,0,k-3).若OA⊥平面ABC,则OA⊥AB,OA⊥即OA·AB=1+2(λ-2)=0,OA·AC=3+3(k-3)=0,所以λ=32,k=2,故λ+k12.解析(1)因为AB=(-2,3,5),AD=(6,b,-2),且−26≠5−2,所以AB,AD不共线.由四边形ABCD为平行四边形,知AC=AB+AD,所以(4,1,a)=(-2,3,5)+(6,b,-2(2)由题意得BD=AD−AB=(8,b-3因为四边形ABCD的对角线互相垂直,所以BD·AC=0,即32+b-3-7a=0,故7a-b13.C∵a=(1,-2,3),b=(-2,3,-1),∴a+2b=(-3,4,1),∴|a+2b|=9+16+1=2614.答案30°解析由题得AB=−32,12,0,AC=(-1,0,0),所以|AB|=1,|AC|=1,15.答案77解析设P(x,y,z),则AP=(x-1,y-2,z-1),PB=(-1-x,3-y,4-z).由AP=2PB,得(x-1,y-2,z-1)=2(-1-x,3-y,4-z),∴x=-13,y=83,z=3,故PD=43,−516.解析(1)因为a∥c,所以存在实数k,使得c=ka,又a=(2,4,-2),c=(x,2,-1),所以x则|c|=12(2)因为b⊥c,且b=(-1,0,2),c=(x,2,-1),所以b·c=-x+0-2=0,解得x=-2,所以c=(-2,2,-1),故cos<a,c>=a·c|a||c|17.解析(1)设正三棱柱的侧棱长为h.由题意得A(0,-1,0),B(3,0,0),C(0,1,0),B1(3,0,h),C1(0,1,h),则AB1=(3,1,h),BC1=(-3,1,h).因为AB1⊥BC1,所以AB1·BC1=-3+1+h2=0,所以(2)由(1)可知AB1=(3,1,2),BC=(-3,所以AB1·BC=-3+1=-2,|AB所以cos<AB所以异面直线AB1与BC所成角的余弦值为66能力提升练1.A2.A4.D5.C6.B7.BD8.C9.A1.A由题可知a·b=6,|a|=3,故向量b在向量a上的投影向量是a·ba|2·a=69×(2,-1,2)2.A根据题意,a+b=(cosα+sinα,-2,sinα+cosα),a-b=(cosα-sinα,0,sinα-cosα),则(a+b)·(a-b)=(cos2α-sin2α)+(sin2α-cos2α)=0,故向量a+b与a-b垂直,即它们的夹角为90°,故选A.3.答案k解析易得a+kb=(1-k,1,2k),2a+b=(1,2,2).由题意得(a+kb)·(2a+b)>0且a+kb,2a+b不共线,∴1-k+2+4k>0,且1−k1解得k>-1且k≠12∴实数k的取值范围为k|4.D由题意得m·n=-1×1+3x+2y=0,即3x+2y=1.因为x>0,y>0,所以1=3x+2y≥23x×2y,解得xy≤124,当且仅当3x=2y=12,即x=16,y5.C以D为原点,DA,DC,DD1的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系Dxyz,设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则A1(2,0,2),M(0,1,0),D(0,0,0),N(0,2,1),∴A1M=(-2,1,-2),DN=(0,2,1),∴A1M·DN=0,∴A1M⊥DN,又DN⊂平面DCC1D1,A1M⊄平面DCC1D1,M∈平面DCC1D1,且M∉6.B以D为坐标原点,DA,DC,DD1的方向分别为x轴,y轴,则A1(1,0,1),C(0,1,0),M12设N(0,a,b),0≤a≤1,0≤b≤1,易得A1C=(-1,1,-1),MN=−12,a−1,b.∵MN⊥A1C,∴MN·A1C=12+a-1-b=0,即a-b=12,∴b=a-12,12≤a≤7.BD∵P在侧面BCC1B1上运动(包括边界),平面BCC1B1∥平面AA1D1D,∴P到平面AA1D1D的距离即为C到平面AA1D1D的距离,此距离等于正方体的棱长,∴VP−AA1D=13S△A以D为坐标原点,DA,DC,DD1的方向分别为x轴,y轴则A(1,0,0),P(x,1,z)(0≤x≤1,0≤z≤1),B(1,1,0),D1(0,0,1),B1(1,1,1),C(0,1,0),∴AP=(x-1,1,z),BD1=(-1,-1,1),B1C=(-1,0∵AP⊥BD1,∴AP·BD1=1-x-1+z=0,∴∴P(x,1,x),∴CP=(x,0,x),∴CP=−xB1C,即B1,P,C三点共线,∴P必在线段B1易知C1(0,1,1),∴BC1=(-1,0,1),又AP=(x-1,1,x),∴AP·BC1=1-x+x=1≠0,∴AP与易知A1(1,0,1),D(0,0,0),∴A1C1=(-1,1,0),DA1=(1,0,1),又AP=(x-1,1,x),∴AP=xDA1+A1C1(其中0≤x≤1),∴AP,DA1,A1C1故选BD.8.C以D为坐标原点,DA,DC,DD1的方向分别为x轴,y轴∵M是侧面ADD1A1上的一个动点,∴可设点M(x,0