随机变量和数学期望

随机变量和数学期望第一页，共十四页，编辑于2023年，星期四复习引入随机变量随机变量的分布律估计一下他今晚完成作业的时间？k123456P(ξ=k)0.20.40.250.050.050.05ξ取值的加权平均数（时）第二页，共十四页，编辑于2023年，星期四数学期望一般地，如果随机变量ξ

可以取x1,x2,…,xn中的任意一个值，取这些值对应的概率分别为p1,p2,…,pn，那么随机变量ξ

的数学期望为Eξ=

x1p1+x2p2+…+xnpn.第三页，共十四页，编辑于2023年，星期四备注数学期望是以概率为权的随机变量的加权平均数；数学期望并不一定等同于常识中的“期望”——“数学期望”也许与随机变量的每个取值都不相等.第四页，共十四页，编辑于2023年，星期四例题一种填字彩票，购票者花1元买一张小卡，购买者在卡上填10以内的三个数字(允许重复).如果三个数字依次与开奖的三个有序的数字分别相等，得奖金600元.只要有一个数字不符(大小与次序)，无奖金.求购买一张彩票的期望收益.

解：中奖的概率为0.001，收益为599元；

不中奖的概率为0.999，收益为-1元.

期望收益第五页，共十四页，编辑于2023年，星期四数学期望的性质(1)设ξ是随机变量，c是任一实数，那么E(cξ)=cEξ.(2)设ξ是随机变量，ξ=η1+η2+…+ηn，ηi(i=1,2,…,n)都是存在数学期望的随机变量，那么Eξ=Eη1+Eη2+…+Eηn.(3)常数C的数学期望是常数本身，即EC=C.第六页，共十四页，编辑于2023年，星期四例题有一种叫做“天天奖”的彩票，每注售价2元，中奖的概率为1%，如果每注奖的奖金为50元，那么购买一注彩票的期望收益是多少元？

解：

期望收益（元）中奖的概率为0.01，收益为48元，不中奖的概率为0.99，收益为-2元.P(ξ

=48)=0.01；P(ξ

=-2)=0.99.所以购买一注彩票的期望收益是-1.5元，即损失1.5元.第七页，共十四页，编辑于2023年，星期四例题有一种叫做“天天奖”的彩票，每注售价2元，中奖的概率为1%，如果每注奖的奖金为50元，那么购买5注彩票的期望收益是多少元？

解：购买一注的期望收益Eξ=-1.5(元).

因此购买5注的期望收益为(元)第八页，共十四页，编辑于2023年，星期四例题已知ξ的概率分布律如下表所示： (1)求Eξ； (2)若η=2ξ-1，求Eη.x0123P(ξ=x)0.250.30.150.3第九页，共十四页，编辑于2023年，星期四随机变量的均值数学期望是随机变量取值的加权平均数，表示随机变量取值的平均水平，因此也叫做随机变量的均值.求下列表中随机变量ξ1和ξ2的数学期望.x123P(ξ1=x)0.20.60.2x-0.534P(ξ2=x)0.40.20.4第十页，共十四页，编辑于2023年，星期四x123P(ξ1=x)0.20.60.2ξ

取值与均值差的平方的加权平均数x-0.534P(ξ2=x)0.40.20.4第十一页，共十四页，编辑于2023年，星期四定义一般地，如果随机变量ξ

可以取x1,x2,…,xn中的任意一个值，对应的概率分布律为p1,p2,…,pn，随机变量的数学期望为Eξ，那么

叫做随机变量的方差.方差的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差.随机变量的方差或标准差刻画了随机变量取值的离散程度.第十二页，共十四页，编辑于2023年，星期四练习如果随机变量的概率分布律由下表给出：

求ξ的数学期望与方差.设η=cosξ，其中ξ的概率分布律同第1题，求Eη